導語：如何才能寫好一篇數(shù)學建模實例分析，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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關(guān)鍵詞：游梁式抽油機；懸點載荷

一、問題描述

目前，開采原油廣泛使用的是有桿抽油系統(tǒng)（垂直井，電機旋轉(zhuǎn)運動通過四連桿機構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)槌橛蜅U的垂直運動）。電機旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)化為抽油桿上下往返周期運動，帶動設(shè)置在桿下端泵的兩個閥的相繼開閉，從而將地下上千米深處蘊藏的原油抽到地面上來。

有桿抽油系統(tǒng)是一個復雜系統(tǒng)，例如，地面懸點一個沖程的運動規(guī)律：位移函數(shù)、速度函數(shù)、加速度函數(shù)；地下的泵功圖計算，以及利用泵功圖估計油井產(chǎn)量等問題。

抽油桿系統(tǒng)的動力學研究一直是人們研究的熱點問題[1]-[6]。因為該系統(tǒng)動力學極其復雜。例如，抽油機懸點載荷包含靜載荷、摩擦載荷和動載荷影響，以及受抽油桿柱軸向振動，泵閥水力損失，柱塞液體摩擦載荷對抽油桿柱軸向振動底部的影響等因素。

為了對抽油桿系統(tǒng)的動力學研究有更深入的理解，本文給出兩組抽油桿系統(tǒng)數(shù)據(jù)（如下列與圖4），利用下列給出的懸點懸點位移（單位m），求出懸點的一個沖程的運動規(guī)律：位移函數(shù)、速度函數(shù)、加速度函數(shù)。

可以直觀發(fā)現(xiàn)，橫坐標 所表示的沖程周期在兩者之間誤差可忽略。對比圖2與圖5發(fā)現(xiàn)兩者的縱坐標誤差較大。當反復驗證所提供的四連桿游梁各個尺寸時發(fā)現(xiàn)，所提供的尺寸存在一定的不足，并且題設(shè)中數(shù)據(jù)所表現(xiàn)的狀況與所提供的抽油機各尺寸之間同樣存在不符現(xiàn)象。因此，將原始的懸點位移曲線乘以一個系數(shù)后所得曲線如圖4所示，此時發(fā)現(xiàn)圖4與圖5之間誤差下降。

在此問題的求解過程中，假設(shè)了 與 兩個常量，這兩個常量題設(shè)并未提供但卻非常重要，在反復驗證并比較之后在一個范圍之內(nèi)選取了較為合適的值，其值假定為： ， 。這兩個值的選取在一定程度上影響最終的結(jié)果曲線。

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本文主要闡述了滾筒卸載式中間驅(qū)動技術(shù)和直線摩擦式中間驅(qū)動技術(shù)的原理，在此基礎(chǔ)上建立了能夠描述中間驅(qū)動帶式輸送機的連續(xù)動力學模型。分析了影響其動態(tài)特性的輸送帶弧長及非均布載荷兩種因素，并結(jié)合井下具體工況介紹了各自的優(yōu)缺點。

關(guān)鍵詞：帶式輸送機;中間驅(qū)動;動力學分析

一、 研究背景和意義

帶式輸送機運行狀況與煤礦安全高效的生產(chǎn)息息相關(guān)，結(jié)合礦井地形復雜，環(huán)境惡劣，以及一些特殊彎曲巷道的實際情況，為了確保輸送機可靠穩(wěn)定運行，對其動態(tài)特性、控制策略、狀態(tài)監(jiān)控與綜合保護等方面的問題開展研究工作就顯得十分重要。

現(xiàn)有的帶式輸送機通常是通過對帶式輸送機進行靜力學計算后乘以一個備用安全系數(shù)來設(shè)計系統(tǒng)的主參數(shù)。如果不進行動力學分析，就會發(fā)生輸送機故障事故，常見的故障有皮帶跑偏或蛇行、打滑、斷帶、疊帶和皮帶著火等，這些故障嚴重的影響到煤礦生產(chǎn)。

在現(xiàn)實的生產(chǎn)工作中，帶式輸送機的靜態(tài)計算結(jié)果與實際運行工況存在較為明顯的差別，對于大型帶式輸送機，必須先進行靜態(tài)計算，在此基礎(chǔ)上再進行較為精確的動力學分析方法進行分析。為此，必須在充分考慮動態(tài)特性影響因素的基礎(chǔ)上，全面地對帶式輸送機進行系統(tǒng)細致地動力學分析，從而合理地進行動態(tài)設(shè)計，并結(jié)合其靜態(tài)特性最終保證其高效安全運行。

二、課題的主要研究內(nèi)容

（一） 研究目標

建立能夠正確描述中間驅(qū)動帶式輸送機的動力學方程，針對同忻礦中間驅(qū)動帶式輸送機進行完善的動力學分析，根據(jù)輸送帶的載荷情況及運輸能力推導出合理的起動和制動加速度曲線。

（二）中間驅(qū)動帶式輸送機簡介

一般情況下，帶式輸送機均為頭部驅(qū)動且集中驅(qū)動，最大程度上滿足驅(qū)動裝置和輸送帶強度，因此，我國的礦用帶式輸送機的長度是有限制。然而，由于輸送帶負載及所受阻力的因素，輸送機的運輸增加線路，輸送帶張力呈線性增加，如圖1所示。輸送帶上的載荷越大，帶式輸送機的運距越長，輸送帶在輸送機頭部的張力就會越大，而且在輸送機頭部的驅(qū)動處張力最大。

通常情況下，為了保證帶式輸送機的運行安全，設(shè)計時常選用強度較高的輸送帶，增大安全系數(shù)，從而大大增加了輸送帶的制造成本。由于運量大運距長，驅(qū)動裝置的功率也會很大，增加了裝置設(shè)備的設(shè)計及制造難度，且體積增大，從而增加了井下的空間要求。

（三） 中間驅(qū)動技術(shù)的分類

目前，關(guān)于中間驅(qū)動技術(shù)研究的方法有：直線摩擦驅(qū)動法、膠輪驅(qū)動法、直線電機驅(qū)動和滾筒驅(qū)動技術(shù)等。經(jīng)過科研人員大量的研究，現(xiàn)在常用的兩種中間驅(qū)動技術(shù)是：直線摩擦式中間驅(qū)動技術(shù)和滾筒卸載式中間驅(qū)動技術(shù)。

1.直線摩擦式中間驅(qū)動技術(shù)

由圖2所示，中間驅(qū)動裝置的輸送帶緊貼在輸送機承載段輸送帶的下面，分布在輸送機中間部位。當兩個輸送帶有相對運動的趨勢，兩輸送帶的接觸面便會產(chǎn)生很大的摩擦力。當中間驅(qū)動裝置運轉(zhuǎn)時，其輸送帶會與依附的輸送機承載段輸送帶之間產(chǎn)生摩擦，中間驅(qū)動裝置的驅(qū)動力依靠兩輸送帶之間產(chǎn)生的摩擦力傳遞給輸送機承載段輸送帶，達到減少帶式輸送機頭部驅(qū)動裝置的驅(qū)動力和功率的效果，這就是直線摩擦式中間驅(qū)動技術(shù)的工作原理。

2. 滾筒卸載式中間驅(qū)動技術(shù)

如圖3所示，將中間驅(qū)動裝置安裝在帶式輸送機承載段輸送帶上，其中中間驅(qū)動部分依靠驅(qū)動滾筒對輸送帶進行驅(qū)動。依據(jù)帶式設(shè)輸送機的靜力學方法進行受力分析，輸送帶張力在驅(qū)動滾筒的相遇點以及分離點處，都滿足歐拉公式，輸送帶各點張力值可以求出具體數(shù)值，經(jīng)過對比，輸送帶張力值經(jīng)由中間驅(qū)動裝置會有所下降。

3.滾筒卸載式中間驅(qū)動帶式輸送機存在的問題

雖然滾筒卸載式中間驅(qū)動技術(shù)應(yīng)用很廣泛，但是，仍然存在一些技術(shù)問題，在理論分析和設(shè)計計算時應(yīng)主要考慮以下幾個方面：

（1）合理分配驅(qū)動功率。輸送帶張力的變化直接受驅(qū)動功率的影響，驅(qū)動功率的合理分配是保證整條帶式輸送機安全穩(wěn)定運轉(zhuǎn)的重要因素。對于整條帶式輸送機，主驅(qū)動還是需要頭部驅(qū)動部分，中間驅(qū)動裝置僅作為輔助驅(qū)動裝置。

（2）帶速同步問題。 驅(qū)動電動機的特性差異、制造質(zhì)量不等，以及驅(qū)動滾筒磨損等原因，會導致在各驅(qū)動裝置處，輸送帶的帶速不同。目前，國內(nèi)外專家通過安裝液力調(diào)速裝置來實現(xiàn)帶速同步問題。

（3）動力學分析。滾筒卸載式中間驅(qū)動帶式輸送機的動力學分析相關(guān)研究空白較多，基礎(chǔ)薄弱，涉及較少。由于帶式輸送機在運行式，輸送帶張力與靜態(tài)理論分析時得出的帶張力不相符，所以在理論設(shè)計計算時，選用較大的安全系數(shù)，這樣不僅造成了不必要的成本浪費，還在輸送機實際運行過程中存在安全隱患。

綜上所述，只有通過帶式輸送機靜態(tài)理論分析和動態(tài)分析相結(jié)合、軟啟動技術(shù)、電控技術(shù)與檢測技術(shù)等互相配合，才能解決這些問題。

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1.1 數(shù)學建模教學的現(xiàn)狀調(diào)查

目前，高中的生源一部分是統(tǒng)招的初中畢業(yè)生，一部分是外地的借讀生。這些學生大部分對學習數(shù)學建模的興趣和積極性不高，這里一個主要的原因是他們的數(shù)學計算基礎(chǔ)比較薄弱，知識結(jié)構(gòu)非常不健全。筆者對青島膠南一中5個班級的學生進行問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有59.2%的學生認為數(shù)學建模中計算不重要；僅有25.3%的學生對數(shù)學建模中的計算方法感興趣；有53.6%的學生認為進行數(shù)學建模運算目的是應(yīng)付考試；55.7%的學生認為所學的數(shù)學計算方法內(nèi)容太多、太難。

1.2 目前數(shù)學建模教學存在的問題

目前高中數(shù)學教育受傳統(tǒng)數(shù)學教學的影響較為深刻，傳統(tǒng)數(shù)學課程設(shè)置、教學內(nèi)容、思想和方法手段在高中教師的教學理論中根深蒂固，與數(shù)學建模的教學特點和目標要求相差較遠。

1）教學內(nèi)容偏重于理論，對應(yīng)用不夠重視，喜歡傳統(tǒng)的推理和古典的方法，對于現(xiàn)代的前沿方法卻簡而代之。

2）多媒體教學手段沒有充分應(yīng)用，粉筆加黑板仍是教師主要的授課工具，使數(shù)學建模教學缺乏直觀性、趣味性，體現(xiàn)不出數(shù)學建模教學生動活潑、貼近現(xiàn)實的特點。

3）數(shù)學建模教學沒有和計算機軟件教學結(jié)合起來，就算數(shù)學模型建立起來，也因計算機軟件不會操作而導致不能得到精確的求解和計算。這種問題大大削弱了數(shù)學建模解決實際問題的優(yōu)越性，不利于培養(yǎng)應(yīng)用型人才。這都說明數(shù)學建模教學存在嚴重問題，教改已經(jīng)迫在眉睫。

1.3 數(shù)學建模教學中迫切需要加入計算機技術(shù)

由前面關(guān)于數(shù)學建模教學中存在的問題可以看出，在數(shù)學建模教學中，缺乏現(xiàn)代化的教學手段和計算方法是導致數(shù)學建模教學不能廣泛開展的重要原因。這就需要在數(shù)學建模教學中融入計算機教學，通過多媒體教學的直觀特點，提高學生分析問題、建立模型的能力，通過MATLAB等計算軟件的學習，減少對模型求解的繁瑣計算，有利于提高學生學習數(shù)學建模的興趣，提高建立模型、求解模型的能力。因此，在數(shù)學建模教學中融入計算機技術(shù)是必要的。

2 在高中數(shù)學建模教學中融入計算機教學的方法與途徑

在高中采用計算機技術(shù)對學生進行數(shù)學建模思想與方法的訓練，有三種途徑。

2.1 數(shù)學建模課程中加入計算機軟件的內(nèi)容。

數(shù)學建模課程所包含的模型，可以跟許多計算軟件聯(lián)系起來，因為許多模型，如線性規(guī)劃模型、回歸模型、微分方程模型、概率統(tǒng)計模型等，建立模型后用MATLAB或LINGO就可以進行計算。所以在高中數(shù)學建模教學內(nèi)容中融入軟件計算的內(nèi)容，有著非常重要的作用。

2.2 將數(shù)學建模與軟件計算融合的方法有機地貫穿到傳統(tǒng)的數(shù)學課程中去

這種途徑使學生在學習數(shù)學基礎(chǔ)理論知識的同時，初步獲得數(shù)學建模的知識和技能，獲得用計算機軟件求解模型的能力，為他們?nèi)蘸笥盟鶎W的知識解決實際問題打下基礎(chǔ)。那么，在實際的數(shù)學教學中，教師如何將這種思想滲透到教學內(nèi)容中去呢？

1）高中數(shù)學的基本概念如函數(shù)、導數(shù)、三角、向量、積分等都是數(shù)學模型，因此，每引入一個新概念或開始一個新內(nèi)容，都應(yīng)通過多媒體課件教學展示一些直觀的、豐富的，能提高學生學習興趣的實例，向?qū)W生展示該概念或內(nèi)容的應(yīng)用性。

2）建立函數(shù)關(guān)系在數(shù)學建模中非常重要，因為用數(shù)學建模的方法解決實際問題的許多實例首先都是建立目標函數(shù)，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。然后借助計算機語言，將模型轉(zhuǎn)化為程序，為模型的求解做準備。

3）利用一階導數(shù)求解函數(shù)的極值問題，可以引導學生建立線性規(guī)劃模型，轉(zhuǎn)化成無條件極值或者條件極值問題，在此插入拉格朗日乘數(shù)法，讓學生掌握求解條件極值的方法，及如何運用數(shù)學軟件來進行計算。

4）概率統(tǒng)計模塊當中，一些統(tǒng)計量的計算，公式較為繁瑣，如果用數(shù)學軟件，或者用Excel，都可以很方便地對數(shù)據(jù)進行處理，求出想要的各個統(tǒng)計量，甚至可以畫出統(tǒng)計量的圖，直觀形象，使用便捷。

2.3 在數(shù)學建模教學中融入計算機教學應(yīng)注意的問題

首先，采用由簡到繁、由易到難的循序漸進思想，逐步將軟件計算滲透到數(shù)學建模教學中。其次，在教學中選取的教學實例應(yīng)該來源于生產(chǎn)或生活，讓學生透過實例來理解概念和模型，從而逐步掌握建立這種模型的方法。實例中所用到的模型應(yīng)該體現(xiàn)數(shù)學建模的初級方法和思想，在教學中的舉例應(yīng)具有代表性，切忌泛泛的一堆實例的堆積，卻不能提煉出數(shù)學的內(nèi)涵來，畢竟建模的根本目的是用數(shù)學和計算機來解決實際問題。最后，應(yīng)注重計算機與課堂教學的整合。用MATLAB、LINGO等軟件計算出的結(jié)果、描繪的圖形精確而可信，讓學生更加體會到利用建模和計算機結(jié)合解決實際問題的優(yōu)越性，也可以提高學生的學習興趣，感覺課堂內(nèi)容充實生動，這樣可以取得很好的教學效果。

3 膠南一中數(shù)學建模教學與計算機教學融合的實踐研究

隨著數(shù)學建模教學越來越深入到高中數(shù)學教育中，膠南一中也逐步對數(shù)學建模教學增加了認識，在所承教的班級中進行了詢問式調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有20%以上的學生對數(shù)學建模有濃厚的興趣。于是，2009年初，教師開始在學生中利用課余時間開展公開課，請有興趣的學生報名參加，并在公開課上講解一些數(shù)學建模實例和計算機軟件的使用。通過小測驗，讓學生對某個實際問題建立模型求解，找出答案比較新穎的學生，指導他們建立和求解數(shù)學模型。

比如，以2006年的考題“易拉罐的最優(yōu)設(shè)計”為例，請學生想辦法設(shè)計出自己認為最合理、最優(yōu)的易拉罐來。學生對這個問題表現(xiàn)出濃厚的鉆研興趣，大家紛紛討論起來，有的畫出了圖形，有的在測量和演算，不久，就有不少學生提出較為優(yōu)秀的方案。但是，學生對線性規(guī)劃、運籌學、最優(yōu)化等課程很陌生，也不懂MATLAB等數(shù)學軟件的操作，所以他們對自己的方案只能有個大致構(gòu)架，卻不會進行精密的演算和論證。這樣，教師把這些學生組成興趣小組，對他們進行培訓，主要是講解一些最優(yōu)設(shè)計、線性規(guī)劃等課程中的基本方法以及如何用數(shù)學軟件來處理數(shù)據(jù)，由此一來，大家對數(shù)學建模有了深層次的認識。

2010年開始，學校組織了數(shù)學建模興趣班，采用推薦加考查的方式組成兩隊，利用暑假時間對學生進行培訓，培訓內(nèi)容包括“數(shù)學建模方法及其應(yīng)用”“線性規(guī)劃”“非線性規(guī)劃”“最優(yōu)化”等和MATLAB等數(shù)學軟件。

在高中數(shù)學建模教學中，融入計算機軟件教學，不僅可以培養(yǎng)學生的跨學科應(yīng)用的能力，還讓學生學會了如何分析和解決問題。而高中數(shù)學教師學歷層次普遍較高，專業(yè)知識較為扎實，在講授知識內(nèi)容的同時能夠注意數(shù)學建模思想的滲透，能夠把利用計算機軟件培養(yǎng)學生具有應(yīng)用數(shù)學方法解決實際問題的意識和能力放在首位，因此在高中數(shù)學建模教學中融入計算機教學是可行的，是符合社會發(fā)展和人才需求形勢的。

參考文獻

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[3]韓中庚.數(shù)學建模方法及其應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2009.

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一、問題提出

很多學生對數(shù)學的認識是繁、難，在生活中應(yīng)用太少，這是走入純數(shù)學誤區(qū)的表現(xiàn)，末能把數(shù)學真正學活.其實數(shù)學的發(fā)展與生產(chǎn)、生活發(fā)展同步的，學習數(shù)學的目的就是為了更好的提高生產(chǎn)效率和生活質(zhì)量.隨著“數(shù)學應(yīng)用意識”教育的不斷深入，提高數(shù)學應(yīng)用性的教育迫在眉睫。

數(shù)學應(yīng)用性包括兩個層次：一是數(shù)學的精神、思想和方法；二是數(shù)學建模.所謂“數(shù)學建模”，就是對遇到的實際問題進行抽象和假設(shè)之后，運用數(shù)學工具（包括數(shù)學符號、語言、幾何圖形等）得到一個數(shù)學結(jié)構(gòu)（數(shù)學模型）.通過數(shù)學建模能力的培養(yǎng)，使學生可以從熟悉的環(huán)境中引入數(shù)學問題，增加與生活、生產(chǎn)的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的數(shù)學應(yīng)用意識、鞏固學生的數(shù)學方法、培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識以及分析和解決實際問題的能力，這正是素質(zhì)教育和數(shù)學教育的目的。

二、如何培養(yǎng)初中生的數(shù)學建模能力

數(shù)學建模能力的培養(yǎng)和形成不是也不可能短期完成，必須結(jié)合具體教學內(nèi)容，有系統(tǒng)、有針對性、循序漸進地進行.在初中階段筆者認為可分以下幾個階段進行：

1.立足教材，扎實基礎(chǔ)

教師首先要根據(jù)教學大綱和教材，注重學生數(shù)學基礎(chǔ)的系統(tǒng)教學.一般地，數(shù)學體系可分為純數(shù)學和應(yīng)用數(shù)學兩個范疇，我們要正確認識兩者之間的關(guān)系，純數(shù)學是應(yīng)用數(shù)學的基礎(chǔ)，應(yīng)用數(shù)學是純數(shù)學的發(fā)展與深化.沒有廣泛而扎實的數(shù)學基礎(chǔ)，數(shù)學應(yīng)用意識就很難形成，培養(yǎng)數(shù)學建模能力就成為一句空話。

2.教學中注意建模思想的滲透

數(shù)學建模能力的培養(yǎng)是一個循序漸進的過程.因此，從初一開始，就應(yīng)有意識地逐步滲透建模思想.在教學中滲透建模思想不是簡單把實際問題引入，而是根據(jù)所學數(shù)學知識與實際問題的聯(lián)系，在教學中適時地進行滲透.

（1）以具體實例引入概念

概念課著重于學生對概念的認知，而大多數(shù)概念往往由實例引入，因此可引入生活中的相關(guān)例子，將概念具體化，培養(yǎng)學生對實際問題的分析、抽象、概括能力.

例如，在水塘中投進一塊石頭，水面上產(chǎn)生圈圈蕩漾的水波，便是一個個圓的形象，然后使學生抽象出圓的概念以及圓心、半徑等.

（2）幾何課注意操作與分析結(jié)合

數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門科學.生活中的幾何問題隨處可見，教材中，每章開頭的引入和部分例題、練習中都有數(shù)學應(yīng)用的例子，教師可充分利用這些例子對學生進行建模訓練。

例如：“解直角三角形”的引入部分：修建揚水站時，要沿著斜坡鋪設(shè)水管，水管AB的長度可以直接量出，斜坡與水平面夾角∠A可以通過測角器測出，如何求出點到水平面的距離？

建立模型：RtABC,已知∠A,AB,求BC的長.

還有同一章中6.4應(yīng)用舉例中出現(xiàn)的：屋頂人字架、燕尾槽、大壩、山坡等實際問題.令教師在教學時有較大發(fā)展空間.

（3）復習課要注重知識的系統(tǒng)運用

復習課由于學習知識已較為系統(tǒng)完整，可考慮適當引入綜合運用本章節(jié)知識的有關(guān)問題，適當提高學生建模能力，強化學生應(yīng)用數(shù)學的意識.

在解決實際問題時，應(yīng)鼓勵學生大膽提出自己的建模方法，然后再補充.當學生自己找到建模方法后，就會獲得成功的滿足，產(chǎn)生愉快的學習情緒。

3.引導學生從數(shù)學的角度看生活

在數(shù)學教學中，應(yīng)注意引導學生自覺地應(yīng)用數(shù)學思維來分析生活實踐中的現(xiàn)象，學會將問題的本質(zhì)進行概括、歸納，抽象為數(shù)學語言，并用相關(guān)數(shù)學知識來分析解決問題。

例如：在足球比賽場上，甲、乙兩名隊員互相配合向?qū)Ψ角蜷TMN進攻，當甲帶球沖向A點時，乙已跟隨沖到B點，此時甲是自己直接射門好，還是迅速將球回傳給乙讓乙射門好？

分析：在真正的足球比賽中，情況會很復雜，這里僅用數(shù)學方法從靜止的兩點加以考慮，如果兩個點到球門距離相差不大，要確定較好的射門位置，關(guān)鍵是看這兩個點各自對球門MN的張角大小，當張角較小時，則球容易被對方守門員攔截。

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（北京農(nóng)學院，北京 102206）

摘 要：本研究運用層次聚類法,建立了一套大學生數(shù)學建模能力評價方法,使評價工作變得更科學、合理、公正.最后通過實例驗證了此種方法的可行性.此種方法可以公正客觀地評價大學生數(shù)學建模能力，有助于教育研究機構(gòu)對學生數(shù)學建模能力的調(diào)查和研究，既能對學生的個人發(fā)展提出改進措施和努力方向，又能為教育科研工作者開展數(shù)學建模培訓提供更全面具體的指導,為數(shù)學建模競賽選拔更優(yōu)秀的人才.

關(guān)鍵詞 ：層次聚類法；數(shù)學建模能力；評價；模型

中圖分類號：O242.1 文獻標識碼：A 文章編號：1673-260X（2015）04-0001-03

基金項目：北京農(nóng)學院教改立項（5046516450）

目前,隨著數(shù)學建模在各個領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用,許多學校開始把數(shù)學建模能力作為一個重要的研究方向.數(shù)學建模能力是綜合運用知識解決實際問題的數(shù)學能力，是一個比較模糊的難以簡單量化的能力.因此,要更好地對大學生數(shù)學建模能力進行評價，并因材施教,揚長避短的培養(yǎng)數(shù)學建模能力,需要一個科學的評價體系來對大學生的數(shù)學建模能力進行科學準確的評價.

積極有效地開展大學生數(shù)學建模競賽，提高大學生的數(shù)學建模能力，亟需建立一套完備的大學生數(shù)學建模能力評價指標體系.目前，對大學生數(shù)學建模能力的研究主要集中在：（1）對大學生數(shù)學建模能力培養(yǎng)的研究[1-3]，主要是從教育工作者的角度對大學生數(shù)學建模能力培養(yǎng)提出若干對策與建議，這方面研究較多，但這些建議往往是由工作經(jīng)驗或感想得出，沒有理論依據(jù)，說服力不強；（2）對大學生數(shù)學建模能力評價的研究[4,5]，有層析分析法和主成分分析法.這些研究雖然簡單地列舉了評價指標，但形不成體系，由于忽略了數(shù)學模型的應(yīng)用，因此主觀因素較大，客觀性和準確性受到質(zhì)疑.針對以上問題，筆者通過搜集整理眾多學者的理論和觀點,建立一套適用于大學生的數(shù)學建模能力評價體系,采用層次聚類法,并通過我校學生的實例驗證評價體系的實用性和可行性.

1 基于層次聚類法的大學生數(shù)學建模能力評價模型

層次聚類法又稱為分層聚類法，是研究樣品（或指標）分類問題的一種多元統(tǒng)計方法.所謂“類”是指相似元素的集合.聚類分析能將樣品（或指標）按其在性質(zhì)上的“親疏程度”進行分類，產(chǎn)生多個分類結(jié)果.

假設(shè)研究對象為n個學生，記為A={x1,x2,…,xn}，學生的m個分類特征記為B={y1,y2,…,ym}.每個對象相應(yīng)于這些指標所取數(shù)值的向量記為

X={xi1,xi2,…,xim} (i=1,2,…,n)，

其中xik表示第i個學生的第k個指標，于是得到m×n矩陣，稱為原始矩陣，記為

層次聚類法的基本步驟如下：

（1）首先將數(shù)據(jù)各自作為一類，每個類只包含一個數(shù)據(jù)，此時類間距離就是數(shù)據(jù)間的距離，這時有n類，計算n個數(shù)據(jù)兩兩間的距離，得到數(shù)據(jù)間的距離陣；

（2）合并類間距離最小的兩類為一新類，這時類的個數(shù)減少一個；

（3）計算新類與其它各舊類間的距離矩陣.若合并后類的個數(shù)等于“1”，轉(zhuǎn)到（5），否則回到（2）；

（4）畫譜類聚類圖；

（5）決定分類的個數(shù)和各類的成員.

本文采用馬氏距離法定義類與類之間的距離，dij2(M)=(Xi-Xj)’∑-1(Xi-Xj)其中，∑表示指標的協(xié)方差矩陣，即：

馬氏距離不但排除了各指標之間相關(guān)性的干擾，并且還不受各指標量綱的影響.除此之外，它還有一些優(yōu)點，例如，可以證明將原始數(shù)據(jù)做一些線性變換后，馬氏距離仍不變.若在某一步，第i類和第j類合并成第r類，則新類其它舊類之間的距離公式為drk=max{dik,djk},(k≠i,j)，其中dik,djk分別表示新類中所包含的第i類和第j類與沒有被合并到新類中的某個k類的類之間的距離.

2 實例分析

2.1 確立數(shù)學建模能力評價指標體系

建立科學準確的評價指標體系,是評價工作最基本、最關(guān)鍵的一步,必須遵循一定的原則，這些原則包括:（1）具有普遍性.指建立的指標體系面向的是全體學生，因此在設(shè)計量化方案的時候，必須具有普遍性，符合學生的知識結(jié)構(gòu)和認知規(guī)律.（2）具有科學性.指設(shè)立的指標體系要符合科學發(fā)展規(guī)律,反映學生的數(shù)學建模能力,指標要素之間要避免重疊,并具有整體完備性.（3）具有指導性.能正確體現(xiàn)教學指導思想、教學改革與發(fā)展方向,并能反映數(shù)學建模能力的正確導向作用.（4）具有可測性.要求指標可通過實際觀察對事物某一方面的情況, 能加以度量并獲得量化的結(jié)果.

按照上述原則,分析和吸取大多數(shù)學者的觀點和共同之處, 經(jīng)課題組共同討論后，確定了以下指標體系：（1）創(chuàng)新能力，包括創(chuàng)新思維能力和創(chuàng)新實踐能力，是對已有的知識和理論，進行不同程度的再組合、再創(chuàng)造，從而獲得新穎、獨特、有價值的新觀念、新思想和新方法的能力；（2）協(xié)作能力，指能綜合地運用各種交流和溝通的方法進行合作，尊重理解他人的觀點與處境，評價和約束自己的行為，共同確立目標并努力去實現(xiàn)目標；（3）基礎(chǔ)知識掌握程度，用數(shù)學建模選修課的分數(shù)來衡量；（4）分析解決問題能力，指能閱讀、理解對問題進行陳述的材料，通過分析、比較、綜合、抽象與概括，運用類比、歸納和演繹進行推理，能合乎邏輯的、準確地加以表述并解決問題.分析能力強的人，往往學術(shù)有專攻，技能有專長，在自己擅長的領(lǐng)域內(nèi)，有著獨到的見解和成就.看似非常復雜的問題，經(jīng)過梳理之后，變得簡單化、規(guī)律化，從而輕松求解，這就是分析解決問題的魅力；（5）計算機應(yīng)用能力，指利用計算機軟件的強大數(shù)據(jù)處理功能和網(wǎng)絡(luò)巨大的信息量，通過編程和查找資料，對數(shù)學模型進行求解的能力.

最后，通過構(gòu)造比較矩陣，計算比較矩陣的特征值和特征向量，并對其進行一致性檢驗，一致性比例指標符合要求，說明構(gòu)造合理.數(shù)學建模能力評價體系如表1.

2.2 大學生數(shù)學建模能力評價

現(xiàn)以我校2013屆學生為例，調(diào)查時抽取一定數(shù)量的學生，考察學生的五項數(shù)學建模能力，即創(chuàng)新能力、協(xié)作能力、基礎(chǔ)知識掌握程度、分析解決問題能力和計算機應(yīng)用能力.每項能力采取百分制記分，通過被試者做一組試題或問題解決的方式，主對學生在各組問題上的完成程度和表現(xiàn)出的個人能力進行量化評價，采取定性和定量相結(jié)合的方式，客觀問題定量評價，主觀問題由老師定性進行打分，評價數(shù)據(jù)如表2.通過spss軟件得到聚類結(jié)果表3和使用平均聯(lián)接的樹狀圖表4.

2.3 評價結(jié)果分析

表2所示顯示了系統(tǒng)聚類法的聚類結(jié)果，可以看到聚類結(jié)果分為以下幾類.第一類：學生1、2、4、8、9、10、12、13、15；第二類：學生3、5、7、11、14；第三類：學生6.其中第三類學生6非常優(yōu)秀，在協(xié)作能力，基礎(chǔ)知識掌握程度，計算機應(yīng)用能力方面有顯著優(yōu)勢，具備良好的創(chuàng)新能力和分析解決問題能力，是數(shù)學建模的一流學員；第二類學生良好，有一定的數(shù)學基礎(chǔ)，具備良好的創(chuàng)新能力和計算機應(yīng)用能力.如學生7在基礎(chǔ)知識掌握程度方面有顯著優(yōu)勢，學生11在協(xié)作能力和分析解決問題方面表現(xiàn)突出，是數(shù)學建模的優(yōu)勢學員；第一類學生創(chuàng)新能力不足，思維有些僵化，雖然具備一定的建模思想，有良好的分析解決問題能力，能與人進行交流和合作，但個人素質(zhì)相對平均.如學生1、2、12、13對數(shù)學建模的思路和方法還停留在簡單模式中，不能多角度多側(cè)面地看問題，沒有思考和創(chuàng)新，不能在條件相同的情況下提出較多的觀點和意見，發(fā)散思維能力較差.究其原因，是因為學生還沒有從高中階段的學習狀態(tài)調(diào)整過來，思維模式單一，創(chuàng)新能力不夠，對于數(shù)學建模的模式不習慣，這類學生對數(shù)學建模有一定的興趣，但能力不夠，需要多加培養(yǎng)，是數(shù)學建模的潛在學員.

3 結(jié)束語

本文運用層次聚類法對大學生數(shù)學建模能力進行評價，力求評價更具科學性，為數(shù)學建模人才的選拔提供參考.與其它評價方法相比，本方法具有以下優(yōu)點：（1）融合了定性分析和定量分析的雙重優(yōu)勢；（2）操作簡單，只需輸入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)果.（3）評價體系適用面廣，方法具有普遍性，可作為學院內(nèi)部選拔學生，也可作學院之間的比較，聚類結(jié)果科學合理，較符合實際.評價結(jié)果表明，該模型可以科學公正客觀的評價大學生數(shù)學建模能力，使學生了解自己的實際水平，找到自己的優(yōu)勢和劣勢，既可以對學生個人發(fā)展提供改進措施和努力方向，又能為教育科研工作者開展數(shù)學建模教育和輔導提供更全面具體的指導,有助于教育研究機構(gòu)對大學生數(shù)學建模能力的調(diào)查和研究，為數(shù)學建模競賽選拔更優(yōu)秀的人才.

參考文獻：

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篇6

一、七橋問題

故事發(fā)生在18世紀歐洲東普魯士（現(xiàn)為俄羅斯的加里寧格勒）一個名叫哥尼斯堡的城市近郊。這里的普雷蓋爾河穿城而過，河中有兩個島，兩岸與兩島之間架有七座橋。當時城中居民熱烈討論著這樣一個問題：一個散步者怎樣走才能不重復地走遍所有的七座橋而回到原出發(fā)點？首先介紹問題發(fā)生的背景，歐拉開創(chuàng)了數(shù)學的一個新的分支———圖論與幾何拓撲引導的故事，激發(fā)學生的學習興趣。其次引導學生對問題進行簡化假設(shè)，將實際問題抽象成數(shù)學問題。由于關(guān)心的是能否不重復地走完七座橋而對于橋的長短，島的大小等因素都不重要，因此可進行簡化假設(shè)，不考慮陸地的地形，不考慮橋的形狀及長短，把四塊陸地用4個點A、B、C、D表示，七座橋用相應(yīng)的點之間的連線（曲線段或直線段）表示。問題轉(zhuǎn)換成從某個點出發(fā)能否不重復地把圖形一筆畫出來，這樣便簡化了原問題而突出了問題實質(zhì)。七橋問題就抽象成通常所說的一筆畫問題，即下筆后再不能離開紙，每一條不能重復，只畫一次，畫時任兩條線允許交叉而過。之后對問題詳解，對圖形的結(jié)構(gòu)作分析可以看出，除去起點或終點外，凡途徑的點都應(yīng)有進有出，即連接點的曲線必須是偶數(shù)條，我們可以把這類型的點叫偶點，因為只有起點或終點才可能有進無出或有出無進，這時可能有奇數(shù)條曲線與這樣的點連接，這樣的點叫做奇點，這說明，要想一筆不重復地畫出圖形，奇點的個數(shù)要么0個，要么2個，而在圖中4個點都是奇點，因而圖形不可能一筆畫出，歐拉就是用“一筆畫”作為七橋問題的一個模型，而解決了這個難題。由此我們可知要使得一個圖形可以一筆畫，必須滿足如下兩個條件：1.圖形必須是連通的。2.圖中的“奇點”個數(shù)是0或2。我們也可以依此檢驗圖形是不是可一筆畫出?；仡^也可以由此判斷“七橋問題”，4個點全是奇點，可知圖不能“一筆畫出”，也就是不存在不重復地通過所有七橋。最后舉一反三，讓學生體驗哪些圖形可以一筆畫出。

小結(jié)：歐拉之所以能解決七橋問題，是因為他將實際問題抽象成數(shù)學問題，并加以證明及解決。這個過程正是數(shù)學建模的縮影。通過這個實例的講解，讓學生感受到數(shù)學建模的過程：實際問題抽象、簡化問題，明確變量和參數(shù)根據(jù)某種定律建立變量和參數(shù)間數(shù)學關(guān)系（數(shù)學模型）解析地或近似地求解該數(shù)學模型解釋、驗證求解結(jié)果應(yīng)用于實際。

二、椅子能在不平的地面放穩(wěn)嗎

這是日常生活中常見的問題，學生會很感興趣，并且利用函數(shù)介值定理就能很好解決。在課堂上，通過老師的引入，讓學生自己分析。提示學生，通常椅子四只腳著地才能放穩(wěn)，引導學生對模型進行假設(shè)，四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面;地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。設(shè)椅子中心不動，四條腿的下端用A，B，C，D表示，中心點為O。用對角線AC與x軸的夾角θ來表示椅子的位置。A，B，C，D四點距地面的距離分別設(shè)為a，b，c，d，它們都是旋轉(zhuǎn)角θ的函數(shù)。在假設(shè)的前提下，a，b，c，d均為θ的連續(xù)函數(shù)，且（a+b）（c+d）=0，令f（θ）=a+b，g（θ）=c+d，且θ=0時，不妨設(shè)g（0）=0，f（0）＞0，于是椅子問題抽象成了如下問題：已知：f（θ），g（θ）是連續(xù)函數(shù);對任意θ，f（θ）·g（θ）=0;且g（0）=0，f（0）＞0.證明：存在θ0，使f（θ0）=g（θ0）=0。結(jié)論：如果地面是連續(xù)變化的，則四條腿能夠同時落地。這個證明利用介值定理就可使問題解決，非常巧妙而簡單。

篇7

1.數(shù)學經(jīng)濟模型對于經(jīng)濟學研究的重要性

一般情況下，單獨的依靠數(shù)學模型是不夠解決所有的經(jīng)濟學問題，很多經(jīng)濟領(lǐng)域中的問題是需要從微觀角度進行細致的分析才能夠總結(jié)出其中的規(guī)律。要想利用數(shù)學知識來解決經(jīng)濟學中所出現(xiàn)的問題，就一定要建立適當?shù)慕?jīng)濟學模型。運用數(shù)學建模來解決經(jīng)濟學中的問題并不是沒有道理的，很多時候從經(jīng)濟學的角度僅僅能夠知道問題的方向和目的，至于其中的過程并不能有著詳細的分析，而利用數(shù)學模型就可以徹底的解決這一問題。數(shù)學建?？梢酝ㄟ^自身在數(shù)字、圖像以及框圖等形式來更加真實地反映出現(xiàn)有經(jīng)濟的實際狀況。

2.構(gòu)建經(jīng)濟數(shù)學模型的一般步驟

要想利用數(shù)學模型來更好的解決現(xiàn)有的經(jīng)濟學問題，主要分為兩個步驟，第一先要分清楚問題發(fā)生的背景并且熟悉問題，然后要通過假設(shè)的形式來完善現(xiàn)有的經(jīng)濟學問題，通過抽象以及形象化的方式來構(gòu)建一些合理的數(shù)學模型。運用數(shù)學知識和技巧來描述問題中變量參數(shù)之間的關(guān)系。這樣可以得出一些有關(guān)經(jīng)濟類的數(shù)據(jù)，進而將建模中得到的數(shù)據(jù)與實際情況進行對比和分析，最終得出結(jié)果。

3.應(yīng)用實例商品提價問題的數(shù)學模型:

3.1問題

現(xiàn)如今經(jīng)濟學在很多的商場中都有所運用，例如同樣的商品要想獲得最大的經(jīng)濟效益，既要考慮到規(guī)定的售價，又要考慮到銷售的數(shù)量，如果定價過低，則銷售數(shù)量較多，如果定價較高，利潤是大了，但是卻影響了銷售數(shù)量。怎樣定價才能夠缺乏經(jīng)濟效益的最大化成為了現(xiàn)如今需要考慮的重要問題。這其中就涉及到了數(shù)學建模與經(jīng)濟效益之間的關(guān)系，通過繪圖來找出如何定價才能夠使得商品的邊際效應(yīng)最大化。

3.2實例分析

例如某商場在銷售某種商品的時候，設(shè)為單品價格為30元，每年平均可銷售2萬件，如果商品每提價1元，則銷售量就減少了0.2萬，要想使得總的銷售收入不少于70萬，則該商品的最高應(yīng)該如何定價。針對于這樣的問題就可以利用數(shù)學的思維來計算，假設(shè)提價為x元，提價后的商品單價就是30+x元，則提價后的銷售總量就是(20000－2000x/1)件，則可以得出(30+x)(30000－2000x/1)大于等于700000，這樣就可以準確的計算出最高定價應(yīng)該如何制定。

4.數(shù)學在經(jīng)濟學中應(yīng)用的局限性

4.1經(jīng)濟學不是數(shù)學概念和模型的簡單匯集

數(shù)學在經(jīng)濟中的運用是有著一定的局限性，利用數(shù)學知識和數(shù)學模型來解決一些經(jīng)濟學中的現(xiàn)象，這種情況并不是數(shù)學的一種延伸和探索，而是利用數(shù)學來更加方便的去解釋經(jīng)濟學中的一些現(xiàn)象。經(jīng)濟學作為社會科學的分支學科，已經(jīng)成為了人類社會發(fā)展和科學進步的重要學科，而人類受活動和道德的影響也逐漸的對經(jīng)濟學產(chǎn)生了依賴，經(jīng)濟學的發(fā)展不可能成為一種抽象的，可以用公式直接計算出的一種科學，只有融入數(shù)學知識和數(shù)學模型，才會更好的輔助經(jīng)濟學的發(fā)展。

4.2經(jīng)濟理論的發(fā)展需從自身獨有的研究視角出發(fā)

在經(jīng)濟理論的發(fā)展當中，很多時候需要從自身獨有的研究視角出發(fā)去觀察去發(fā)現(xiàn)，利用數(shù)學模型來輔助經(jīng)濟學的分析和研究是具有重要的影響，但是數(shù)學建模的應(yīng)用并不是無條件的適用于任何的場所，而是具有一定的條件，在經(jīng)濟學的領(lǐng)域當中數(shù)學建模的運用是有著特定的領(lǐng)域，并不是無節(jié)制的可以運用到任何的領(lǐng)域當中。

4.3數(shù)學計量分析只是輔助經(jīng)濟理論工具之一

利用數(shù)學建模來解決現(xiàn)有的經(jīng)濟類問題是一種常用的方式，但是這種方法并不是萬能的。因為很多經(jīng)濟類的問題當中并不是可以完全依靠數(shù)學建模來解決的，很多時候還是需要高校中的教師利用經(jīng)濟學的思維方式進行解決。所以為了更好的促進經(jīng)濟學的教育和發(fā)展，就一定要適當?shù)呐c數(shù)學建模進行融合，這樣才會有利于經(jīng)濟學的發(fā)展。

4.4數(shù)學經(jīng)濟建模應(yīng)用十分廣泛

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數(shù)學建模思想

數(shù)學建模就是指為了實現(xiàn)某一個特定的目標，借助各類數(shù)學符號、公式以及圖表，將特定的客觀世界事物本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系進行表達的過程。數(shù)學建?？梢杂糜诮鉀Q生活中的很多實際問題，其利用實際事物之間的數(shù)量關(guān)系以及內(nèi)在規(guī)律，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，并借助數(shù)學方法進行求解，以達到解決實際問題的目的。隨著計算機技術(shù)的不斷發(fā)展，在數(shù)學知識與計算機技能相結(jié)合下，數(shù)學建模思想在解決實際問題方面效果越來越明顯。

數(shù)學建模按照建立模型的數(shù)學方法可以分為初等模型、幾何模型、微分方程模型、統(tǒng)計回歸模型、數(shù)學規(guī)劃模型等。按照模型的表現(xiàn)特性又有幾種分法，可以分為確定性模型和隨機性模型，靜態(tài)模型和動態(tài)模型，線性模型和非線性模型，離散模型和連續(xù)模型。

數(shù)學建模思想與高等數(shù)學教學融合的必要性

數(shù)學建模思想對于打破傳統(tǒng)的教學模式非常有效果，其能夠充分調(diào)動學生的學習主體性和探究性。在數(shù)學建模的過程中，學生需要對教師提出的實際問題進行分析、并借助數(shù)學知識將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，然后，構(gòu)建解決該數(shù)學問題的數(shù)學模型，并最終得出模型的解決方法。這些過程中，學生的實際動手能力以及創(chuàng)新能力得到了顯著的提升。不僅如此，數(shù)學建模過程，并不是一個學生可以獨立完成的，其需要小組成員相互配合，依靠團隊的力量共同完成。所以，數(shù)學建模過程中，學生的團隊合作能力也是有所增強。這對于學生將來的工作和生活都是有所幫助的。

數(shù)學建模思想在高等數(shù)學教學中的應(yīng)用

1 數(shù)學概念以及定理教學中數(shù)學建模思想的應(yīng)用

高等數(shù)學中相關(guān)的數(shù)學概念有很多。而且，都具有很強的抽象性。例如：導數(shù)概念以及微積分概念等。解決生活中的實際問題很多都會用到導數(shù)的概念，導數(shù)可以用來表示變速直線運動的即時速度以及經(jīng)濟生產(chǎn)中的成本變化率等。教師在教學過程中，可以對這些問題進行數(shù)學建模，在建模的過程中，引出導數(shù)的概念。

2 數(shù)學建模思想在實際問題解決中的應(yīng)用

高等數(shù)學中，很多公式都是具有實際意義的。所以，教師在教學過程中，要盡量選取一些實際問題，并借助數(shù)學建模思想加以解決。例如：高等數(shù)學中涉及到的一階微分方程：

這個常微分方程可以用來表示某一生產(chǎn)企業(yè)的新產(chǎn)品銷售模型，同時，其也可以看做是銷售機構(gòu)的銷售模型，在生物研究領(lǐng)域，其亦被稱為是Logistic模型。是用來描述在某特定約束條件下，生物數(shù)量的增長情況。

3 實例分析

常微分方程是高等數(shù)學課程中的重要教學內(nèi)容，其是高等數(shù)學知識解決實際問題的重要手段。下面以實際例子對數(shù)學建模思想在高等數(shù)學教學中的應(yīng)用進行分析。

例1：在產(chǎn)品供應(yīng)鏈中，甲廠是負責為乙廠生產(chǎn)零部件的。乙廠將甲廠生產(chǎn)的設(shè)備零件進行組裝，制成成品，并進行銷售。二者形成了供給關(guān)系。如果沒有甲廠的零配件，乙廠就無法進行產(chǎn)品生產(chǎn)，面臨著供貨困難的局面。而甲廠需要靠提供零部件，來維持生產(chǎn)經(jīng)營，從中獲利。所以，二者是相互依存的關(guān)系。現(xiàn)在利用數(shù)學模型討論二者之間的量化關(guān)系。

模型建立：假設(shè)甲廠生產(chǎn)的零配件數(shù)量為x（t），乙廠的產(chǎn)品數(shù)量為y（t），甲廠的零件生產(chǎn)增長率為r，乙廠產(chǎn)品生產(chǎn)能力為a，乙廠不依靠甲廠生產(chǎn)產(chǎn)品的生產(chǎn)率為d，甲廠供給乙廠生產(chǎn)零件的能力為b。則有：

微分方程組的求解通常在高等數(shù)學中往往局限于某幾種特定模型，但遠遠不能滿足實際需求，該方程無解析解，可采用MATLAB進行求解得到數(shù)值解。

從這個實例中我們看到了數(shù)學知識在實際問題中的應(yīng)用，微分方程知識的具體應(yīng)用，從提出問題到最終得到周期有規(guī)律的曲線都表明引入數(shù)學建模思想是使得高等數(shù)學教學具體化、形象化的有效工具。

結(jié)論

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關(guān)鍵詞：數(shù)學建模能力 培養(yǎng)興趣 學習的能動性

一、引言

2003年教育部頒布的中學數(shù)學課程標準里，數(shù)學建模成了十分重要的組成部分，標志著數(shù)學建模正式進入我國中學數(shù)學教學中。中學生接觸的大多數(shù)是傳統(tǒng)的文字應(yīng)用題，帶有很強的人工化，形式化，對數(shù)學建模相對生疏。課本上傳統(tǒng)的文字應(yīng)用題往往條件清楚準確、不多不少、結(jié)果唯一確定，解出的結(jié)果很少要求學生思考是否符合實際。因此，就更加不會去考慮是否需要調(diào)整和修改已有的模型。而這些正是數(shù)學建模過程的難點和重點。數(shù)學建模強調(diào)用所學的數(shù)學知識解決問題，提倡的是“想用、能用、會用”的“用”數(shù)學的意識。這正是新課標指出的：“數(shù)學教學應(yīng)從學生實際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學生自主學習的問題情境， 引導學生通過實踐、思考、探索、交流，獲得知識，形成技能，發(fā)展思維，學會學習，促使學生在教師指導下生動活潑地、主動地、富有個性地學習?！?/p>

二、如何培養(yǎng)和提高中學生建模能力

數(shù)學建模教學應(yīng)結(jié)合正常的數(shù)學內(nèi)容進行切入，把培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學的意識落實在平時的教學過程中，以教材為載體，以改革教學方法為突破口，通過對教學內(nèi)容的科學加工、處理和再創(chuàng)造達到在學中用，在用中學，進一步培養(yǎng)學生的用數(shù)學意識以及分析和解決實際問題的能力。要教會學生建模，培養(yǎng)學生如下幾方面的能力是關(guān)鍵。

（一）培養(yǎng)“翻譯”能力

1.審題。包括對題意的整體理解和局部理解，以及分析關(guān)系、領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)。就是弄清題目所述的事件和研究對象；抓住題目中的關(guān)鍵字句，正確把握其含義；根據(jù)題意，弄清題中各有關(guān)量的數(shù)量關(guān)系；抓住題目中的主要問題，正確識別其類型。

2.問題轉(zhuǎn)化。將實際問題抽象為數(shù)學問題，建模的直接準備就是審題的最后階段從各種關(guān)系中找出最關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系，將此關(guān)系用有關(guān)的量及數(shù)字、符號表示出來，即可得到解決問題的數(shù)學模型。一般有關(guān)系分析法，列表分析法和圖像分析法。

（二）培養(yǎng)用數(shù)學分析意識和創(chuàng)造能力

第一，教師在教學中應(yīng)注意在從具體到抽象的學習過程中， 讓學生對數(shù)學知識的來龍去脈有著清晰的認識，而非橫空出世。即要結(jié)合學生熟悉的事物善于深入淺出地提出數(shù)學問題、講解數(shù)學問題，把數(shù)學與生活緊密地結(jié)合起來；第二，教師要合理引導學生發(fā)揮主觀能動性，體驗數(shù)學的再創(chuàng)造過程，從而自我建構(gòu)數(shù)學知識，形成數(shù)學思想方法的活動。即要營造一個激勵探索和理解的氣氛，讓學生在觀察體驗、動手實踐的基礎(chǔ)上學會把眼前的問題與自己已有的知識體驗之間發(fā)生關(guān)聯(lián)，從中有效地學習方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想，學習建模思想、轉(zhuǎn)化思想、整體思想和概率統(tǒng)計思想等方法。

（三）培養(yǎng)想象力

想象力是人類特有的一種思維能力，是人們在原有知識的基礎(chǔ)上，將新感知的形象與記憶中的形象相互比較、重新組合、加工處理，創(chuàng)造出新形象的能力。愛因斯坦曾說過：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉?！?/p>

實例一：某人平時下班總是按預定時間到達某處，然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時提早了三十分鐘到達該處，于是此人就沿著妻子來接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時提前了十分鐘到家，問此人共步行了多長時間？

這是一個測試想象能力的簡單題目，似乎條件不夠，無法回答。但只要換一種想法，問題就迎刃而解了。假設(shè)他的妻子遇到他后載著他仍舊開往會合地點，那么他就不會提前回家了。提前的十分鐘從何而來？顯然是由于節(jié)省了從相遇點到會合點，又從會合點返回相遇點這一段路的緣故，故由相遇點到會合點需開5分鐘。而此人提前了三十分鐘到達會合點，故相遇時他已步行了二十五分鐘。

（四）培養(yǎng)發(fā)散性思維及創(chuàng)新能力

所謂發(fā)散性思維，是指針對同一問題，沿著不同的方向去思考，從不同角度、不同側(cè)面對所給信息或條件加以重新組合，橫向拓展思路、縱向深入探索研究、逆向反復比較，從而找出多種合乎條件的可能答案、結(jié)論或假說的思維過程和方法，即常說的“條條道路通羅馬”。

實例二：華盛頓大學教授卡蘭得卡給學生出了一道題：“試證明怎么能夠用一個氣壓計測定一棟高樓的高度”。

一個學生給出了如下答案：“把氣壓計拿到高樓頂部，用一根長繩子系住氣壓計，然后把氣壓計從樓頂向樓下墜，直到墜到街面為止；然后把氣壓計拉上樓頂，測量繩子放下的長度。這長度即為樓的高度?！薄鞍褮鈮河嬆玫綐琼?，讓它斜靠在屋頂?shù)倪吘壧?。讓氣壓計從屋頂落下，用秒表記下它落下的時間，然后用落下的距離等于重力加速度乘以下落時間的平方的一半算出建筑物的高度?！薄翱梢栽谟刑柕娜兆釉跇琼斢浵職鈮罕淼母叨群退白拥拈L度，又測出建筑物影子的長度，就可以利用簡單的比例關(guān)系，算出建筑物的高度?！薄斑€有一個最基本的測量方法。拿著氣壓表，從一樓登梯而上，登樓時，用符號標出氣壓表上的水銀高度，這樣可以用氣壓表的單位得到這棟樓的高度。這個方法最直截了當?！薄爱斎?，如果還想得到更精確的答案，可以用一根弦的一端系住氣壓表，把它像一個擺那樣擺動，然后測出街面和樓頂?shù)膅值 （重力加速度）。從兩個g值之差，在原則上就可以算出樓頂高度?！薄叭绻幌拗朴梦锢韺W方法回答這個問題，還有許多其他方法。例如，拿上氣壓表走到樓房底層，敲管理人員的門。當管理人員應(yīng)聲時，你對他說下面一句話，‘親愛的管理員先生，我有一個很漂亮的氣壓表。如果你告訴我這棟樓的高度，我將把這個氣壓表送給您?！碑斎蛔詈筮@個只不過是一個笑話。這種近乎抬杠的方法我們并不提倡，但他這種不被傳統(tǒng)固有知識所限制，舉一反三，努力提出新方案的思維方式，正是我們提倡的發(fā)散性思維。

（五）培養(yǎng)表達的能力

中學建模的結(jié)果常常需要以解題報告或論文的形式寫出來，這就要求教師引導學生逐步達到能夠?qū)⒆约核龅墓ぷ饔脺蚀_嚴密的語言表述出來，加強對學生的寫作和表達能力的鍛煉。教師可以通過一些具體的例子來分組鍛煉學生合作建模并表述建模過程，之后分組指導并改進論文，選取較為優(yōu)秀的論文作為建模課程的范例進行講解，引導學生展開討論，從而改進建模方法和解題過程，提高學生的解題能力和寫作能力。

三、實例分析

（一）問題及分析

某油田計劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，用來運送成品油的要求。兩煉油廠的具置由附圖所示，其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩個區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。

■

若所有管線的鋪設(shè)費用均為每千米7.2萬元。 鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用為21.4（萬元/千米），油田設(shè)計院希望通過數(shù)學方法設(shè)計一種建設(shè)費用最省方案。

（二）建立模型及求解

由于A廠、B廠與鐵路的位置一定，但由于A廠、B廠分別在郊區(qū)與城區(qū)，而鋪設(shè)在城區(qū)管線還需要增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用。故可按如下情形進行討論：車站可能建在Ⅰ區(qū)，可能建在Ⅱ區(qū)。為此，分如下情形討論：

■

■

方案（1） 設(shè)AT=x，TM=y，則x■=25+CT■，CT=■，TD=20-■由RtFMT∽RtBDT可得：■=■=■

則MD=20-■-y=5，BD=8，MF=■

可得 BF=BT-FT

=■■，

總費用 W=7.2（AT+TB）+21.4BF

=7.2（x+■+21.4■■，

由于W為關(guān)于x的一元函數(shù)，為使總費用最小，只需求導并令導數(shù)等于零即可。即解方程■=0，則可得x即轉(zhuǎn)接點的位置，從而得到最佳設(shè)計方案及最省費用。

由計算得：x=6.69，Wmin=294.43。

方案（2） 設(shè)MT=y，則DT=5-y，管線長度L=AQ+QT+BT，

由RtTQM∽RtTAC可得： ■=■=■，

所以 TQ=■■，QM=■，

則AQ=AT-QT=■■，BT=■=■，

因此，總費用 W=7.2（AT+TB）+21.4（QT+TB）=7.2（■+■）+21.4（■■+■）

由于W是關(guān)于y的一元函數(shù)，對y求導并令倒數(shù)等于零即可。

從而可以得到最佳設(shè)計方案及最省費用：y■=0，W■=383.654。

四、結(jié)語

在中學數(shù)學教學過程中融入數(shù)學建模思想， 一方面能使學生逐步熟悉和掌握利用數(shù)學方法來解決實際問題。這將使學生對數(shù)學方法的運用產(chǎn)生興趣，并逐步提高解決實際問題的能力。另一方面對于從事多年傳統(tǒng)數(shù)學教學的教師來說，也是一項轉(zhuǎn)變教學觀念，更新教學方法的實踐，能使教師的數(shù)學教學從與實際脫節(jié)的理論傳授方式向?qū)嶋H的應(yīng)用數(shù)學模式轉(zhuǎn)化。

參考文獻：

[1]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學教育概論[M].北京： 高等教育出版社，2004.

篇10

什么是數(shù)學模型？何為數(shù)學建模？這是我們首先要理解的概念。

“數(shù)學模型一般是實際事物的一種數(shù)學簡化……使用數(shù)學語言描述的事物就稱為數(shù)學模型。”更確切地說，“數(shù)學模型就是對于一個特定的對象為了一個特定目標，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)。數(shù)學結(jié)構(gòu)可以是數(shù)學公式，算法、表格、圖示等。”①課程標準中說：“方程、方程組、不等式、函數(shù)等都是基本的數(shù)學模型?！边@是就“數(shù)與代數(shù)”這部分內(nèi)容中列舉的數(shù)學模型的外延。

“數(shù)學建?！痹谡n程標準中解釋得比較詳細：“從現(xiàn)實生活或者具體情境中抽象出數(shù)學問題，是建立模型的出發(fā)點；用符號表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，是建立模型的過程；求出模型的結(jié)果并討論結(jié)果的意義，是求解模型的過程?！弊x了這段話老師們肯定會說：我們在教學學生解決實際問題的過程不就是這樣嗎？只不過數(shù)學問題是現(xiàn)成的，我們已經(jīng)提供給學生了，關(guān)鍵是引導學生分析題中的數(shù)量關(guān)系，理清解決問題的思路與步驟，準確列出分步算式、綜合算式或方程，再算出結(jié)果，檢驗后寫上答語。是的，這是數(shù)學建模與解模過程的一部分，但這里的數(shù)學模型已經(jīng)預設(shè)了，一般不需要學生“從現(xiàn)實生活或者具體情境中抽象出數(shù)學問題”，我們沒有了數(shù)學建模的出發(fā)點，所以這樣的教學便稱不上是數(shù)學建模的教學。

數(shù)學建模就是用數(shù)學語言描述實際現(xiàn)象的過程。這里的實際現(xiàn)象既包涵具體的自然現(xiàn)象，如自由落體現(xiàn)象，也包涵抽象的現(xiàn)象，如顧客對某種商品所取的價值傾向。這里的描述不但包括外在形態(tài)、內(nèi)在機制的描述，也包括預測、試驗和解釋實際現(xiàn)象等內(nèi)容。具體地說：建立教學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學結(jié)構(gòu)的過程。因此，“數(shù)學建模是一種數(shù)學的思考方法，是運用數(shù)學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻劃并‘解決’實際問題的一種強有力的數(shù)學手段?！雹谟纱丝梢姅?shù)學建模一般有這樣幾個過程：1、模型準備；2、模型假設(shè)；3、模型建立；4、模型求解；5、模型分析；6、模型檢驗；7、模型應(yīng)用。③

那么，教師如何幫助學生體會建模過程，樹立模型思想呢？

一、教師主導，學生主體。小學生的生活經(jīng)驗比較少，數(shù)學知識、技能水平都比較低。所以，在小學階段引導學生體會建模過程、樹立模型思想勢必要在教師的指導幫助下進行。教師要根據(jù)學生的年齡特征與認知水平，選擇學生感興趣的、通過合作與努力能夠成功建模的生活問題，讓學生來體會、研究。

二、夯實“四基”，提升素養(yǎng)。小學階段是學生打基礎(chǔ)的階段，所以新課程標準提出“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學學習，使學生獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必須的數(shù)學的基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗?！痹诮M織引導學生開展有效的數(shù)學學習活動與訓練過程中，使學生掌握扎實的基本知識和技能，滲透基本的數(shù)學思想方法，積累基本的活動經(jīng)驗。夯實了這些基礎(chǔ)，學生對進一步學習數(shù)學才有信心與興趣，其數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展與提升才成為可能。

三、課中滲透，感悟模型。在平時的數(shù)學課堂教學過程中，教師要有意識地讓學生在許多直觀或貼近生活的實例中進行有效地綜合比較，抽象出它們所具有的共性，再用數(shù)學的語言或符號等進行概括，從而讓學生體會到學習新知的過程就是數(shù)學建模的過程。例如教學分數(shù)與除法之間的關(guān)系時，通過大量的實例使學生從中抽象出它們的共性是：被除數(shù)÷除數(shù)=被除數(shù)/除數(shù)，最終用數(shù)學符號概括出：a÷b=a/b(b≠0)的結(jié)論。

四、重點訓練，體會建模。數(shù)學建模的過程是一個綜合運用的過程，所以我們重點訓練的基礎(chǔ)內(nèi)容很多。如計算，包括估算與口算；分析數(shù)量間的關(guān)系等等。如果學生相關(guān)的能力沒有訓練到位，將影響學生體會數(shù)學建模的過程?？v觀小學階段的數(shù)學內(nèi)容，比較容易組織幫助學生建立的數(shù)學模型是簡易方程。因此，在學習了這部分內(nèi)容以后，我們便可以幫助學生體會數(shù)學建模，樹立模型思想了?？梢詣?chuàng)設(shè)學生熟悉的生活情境，如家中的收支結(jié)余問題、找規(guī)律填數(shù)問題等等。教師要引導幫助學生經(jīng)歷完整的數(shù)學建模的過程，要用學生喜歡的方式表達解模過程，可以是列式解答，也可以是小論文。在學生完成學習任務(wù)以后，一定要進行激勵性評價，讓學生感受到建模的成功及數(shù)學模型思想的生活價值，從而提高學習數(shù)學的信心與興趣

[參考文獻]