導(dǎo)語：如何才能寫好一篇函數(shù)思想，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

1　對應(yīng)思想

同學(xué)們可能對初中函數(shù)定義的“變量說”情有獨鐘，覺得容易理解.但請看下面的問題：已知x=2，3，4，5，y=1，能建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系嗎？類似的問題還有很多.這里的y是常數(shù)，不符合初中“變量”的概念，但是能建立y關(guān)于x的函數(shù).

高中采用“對應(yīng)說”，第一突破了“變量說”中對變量概念的限制，解決了上面的例子提出的問題；第二可以將函數(shù)運用于各種不同的研究對象.初中定義中的“變量”將研究范圍限制在實數(shù)集，“對應(yīng)說”研究的范圍更寬泛，如實數(shù)與數(shù)軸上的點之間的對應(yīng)關(guān)系，各種幾何圖形的周長、面積、體積與幾何圖形的大小之間的對應(yīng)關(guān)系等，這些對應(yīng)關(guān)系都可以歸結(jié)為函數(shù)關(guān)系.

對應(yīng)是人的思維對兩個集合之間聯(lián)系的把握.中學(xué)數(shù)學(xué)中的各種表示、運算、函數(shù)及變換等都是對應(yīng).　通過對應(yīng)關(guān)系，我們可以由此及彼去認識事物，如對應(yīng)關(guān)系：t　s=vt，　當(dāng)速度v已知時，　可以通過測量時間t計算路程s；對于普通溫度計，人們通過溫度與水銀柱高度的對應(yīng)關(guān)系，可以從水銀柱的高度得知溫度的高低，因此，對應(yīng)思想的建立是人的認識能力的突出表現(xiàn).　對應(yīng)也可以看成是一種特殊的“關(guān)系”，其實函數(shù)概念的第三次擴張就是“關(guān)系說”.法國數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy，1789～1857）在1821年的《解析教程》中這樣定義函數(shù)：在某些變量之間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變量的值，其他變量的值也可隨之確定，則將最初的變量稱為自變量，其他各個變量為函數(shù).這個定義中，函數(shù)表達了變量之間的“關(guān)系”，而不關(guān)心用什么字母，是否用式子，或用一個式子還是多個式子來表示的問題，它樸素地反映了函數(shù)中的辯證因素.

2　等價變換的思想

變形、代換、轉(zhuǎn)化等是化簡數(shù)學(xué)問題的常見手段.但是在化簡過程中必須保持問題的等價性.很多同學(xué)常常缺乏這樣的意識，對初始問題“大刀闊斧”地處理后，改變了問題的等價性，而使得問題的解決出現(xiàn)了漏洞.那么如何提高化簡問題的等價意識呢？函數(shù)的定義域意識就是一個有效的方法.在函數(shù)的定義中，集合M稱為函數(shù)y=f（x）的定義域，它是f作用對象的集合，可以說是f生長的“土壤”，函數(shù)的一切性質(zhì)都是在這個基礎(chǔ)上演變的.同學(xué)們在研究函數(shù)性質(zhì)時，應(yīng)樹立“定義域優(yōu)先”的意識.例如在判斷函數(shù)奇偶性時，首先要判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)是函數(shù)的子集等.

例如，已知函數(shù)f（x）的定義域是0，1，求函數(shù)f（2x）的定義域.

所謂函數(shù)f（x）的定義域是0，1，就是指f的作用對象必須在區(qū)間0，1內(nèi)，或者說只有在區(qū)間0，1上，f才有意義.因此要使函數(shù)f（2x）有意義，2x必須在區(qū)間0，1內(nèi)，即0≤2x≤1，0≤x≤12，則函數(shù)f（2x）的定義域為0，12.同學(xué)們今后在解決數(shù)學(xué)問題時，首先要思考研究對象存在的條件或范圍是什么，而且這個條件隨著對象的轉(zhuǎn)換相應(yīng)變化，這樣才能保持問題的等價性.

篇2

例1：已知0＜a＜1，x≠x且x、x∈（，∞），試比較+與的大小，并說明你的理由。

分析：若本題用作差的方法來比較大小，則通分后分子、分母的結(jié)構(gòu)都非常復(fù)雜，并且分子分母的取值符號不易確定。細心觀察式子：、與=2•，顯然它們都與函數(shù)f（x）=相關(guān)，因此問題轉(zhuǎn)化為比較f（x）+f（x）與2f（）的大小，聯(lián)想函數(shù)圖像就可解決。

解：設(shè)f（x）=，對y=變形得y=•即y-=，令x′=x-，y′=y-，則y′=（反比例函數(shù)）（如圖），由于y=f（x）在x∈（，∞）上的圖像是向下凸的，所以對于x≠x且x、x∈（，∞），函數(shù)圖像上兩點A（x，f（x））、B（x，f（x））連結(jié)弦AB的中點M（，），若過M作x軸的垂線交曲線弧于點N（，f（）），則N總在M的下方，所以＞f（），即f（x）+f（x）＞2•f（），當(dāng)0＜a＜1，x≠x且x、x∈（，∞）時必有+＞。

例2：已知橢圓C：+=1，P（a，0）是X軸上的動點，求點P到橢圓C上動點Q的最近距離g（a），并就g（a）=4時求a的值。

分析：動點P（a，0）到橢圓C：+=1上的動點Q（x，y）的距離是關(guān)于x、y的二元函數(shù)，欲求二元函數(shù)的最值，須將多元函數(shù)一元化，因此可以用橢圓的參數(shù)方程解之。

解：設(shè)Q（5cosθ，3sinθ）是橢圓C：+=1上的動點，則 |PQ|=（5cosθ-a）+（3sinθ）=16cosθ-10acosθ+（a+9）。若令t=cosθ，f（t）=16t-10at+（a+9），t∈［-1，1］，則問題轉(zhuǎn)化為求二次型函數(shù)f（t）=16t-10at+（a+9），t∈［-1，1］的最小值。數(shù)形結(jié)合易得：當(dāng)a＜-1，即a＜-時，y=f（-1）=（a+5）；當(dāng)-1≤a≤1時，即-≤a≤時，y=f（a）=（16-a）；當(dāng)a＞1，即a＞時，y=f（1）=（a-5）。

注意到|PQ|=，得g（a）=|a+5|（a＜-）（-≤a≤）|a-5|（a＞），即為所求。

若g（a）=4，則易得a=±9。

例3：已知實系數(shù)一元二次方程ax+bx+c=0，若ax+bx+c+t（x-k）=0對于一切實數(shù)t都有實數(shù)根，試求實數(shù)k與方程ax+bx+c=0的根的關(guān)系。

解：聯(lián)想到函數(shù)f（x）=ax+bx+c，由條件f（x）+t（x-k）=0對于一切實數(shù)t都有實數(shù)根，當(dāng)然對t=0該方程也有實數(shù)根，即方程ax+bx+c=0有實數(shù)根x≤x。而ax+bx+c+t（x-k）=0，即ax+bx+c=-t（x-k），由條件f（x）+t（x-k）=0對于一切實數(shù)t都有實數(shù)根，即兩曲線y=ax+bx+c與y=-t（x-k）對于t為任何實數(shù)都有交點。數(shù)形結(jié)合（如圖）便知x≤k≤x為所求。

另解：對于一切實數(shù)t，方程ax+bx+c+t（x-k）=0都有實數(shù)根，=（b+t）-4a（c-kt）≥0對于一切t∈R都成立，從而得到t+（2b+4ak）t+（b-4ac）≥0的解是R，=（2b+4ak）-4（b-4ac）≤0，即a（ak+bk+c）≤0。

例4：當(dāng)a為何值時不等式log（x-2x+a）+3＞0存在正數(shù)解？

解：log（x-2x+a）+3＞0?圳0＜x-2x+a＜8?圳-x+2x＜a＜-x+2x+8，聯(lián)想到函數(shù)f（x）=-x+2x、φ（x）=-x+2x+8、ψ（x）=a，則原題題意即：存在x＞0，使f（x）＜ψ（x）＜φ（x），數(shù)形結(jié)合便得a∈（-∞，9）。

的方程；（2）設(shè)a＞0，如果過點（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，證明：-a＜b＜f（a）。

解（1）：f′（x）=3x-1，曲線y=f（x）在點M（t，f（t））處的切線的方程為y-（t-t）=（3t-1）（x-t），即y=（3t-1）x-2t為所求。

證明（2）：過點（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，存在實數(shù)a、b使關(guān)于t的方程2t-3at+（a+b）=0有三個不相等的實數(shù)根。

令g（t）=2t-3at+（a+b），則g′（t）=6t（t-a）（注意到條件a＞0）。

當(dāng)t∈（-∞，0）或t∈（a，+∞）時g′（t）＞0，當(dāng)t∈（0，a）時g′（t）＜0，

函數(shù)g（t）在t∈（-∞，0）是增函數(shù)，在t∈（0，a）是減函數(shù)，在t∈（a，+∞）上是增函數(shù)，函數(shù)g（t）在t=0處取得極大值g（0）=（a+b），在t=a處取得極小值g（a）=b-（a-a）=b-f（a）。

2t-3at+（a+b）=0有三個不相等的實數(shù)根，

必須極大值（a+b）＞0且極小值b-f（a）＜0，即-a＜b＜f（a）。

例題6：（2008理科卷Ⅱ22題）設(shè)函數(shù)f（x）=，（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）如果對于任何x≥0，都有f（x）≤ax，求實數(shù)a的取值范圍。

解（1）：f′（x）==，顯然f′（x）=0，得cos=-，即x=2kπ+，k∈Z或x=2kπ+，k∈Z，

當(dāng)f′（x）＜0時，x∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z，

當(dāng)f′（x）＞0時，x∈（2kπ-，2kπ+），k∈Z，

函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是x∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z，

函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是x∈（2kπ-，2kπ+），k∈Z。

解（2）：若令g（x）=ax-f（x）=ax-，則g′（x）=a-=a-=-+a=3（-）+a-。

顯然當(dāng)a≥時g′（x）≥0，即g（x）在x∈［0，+∞）是增函數(shù)，得g（x）≥g（0）=0，

所以當(dāng)a∈[，+∞)時對于一切x≥0都有f（x）≤ax。

當(dāng)0＜a＜時，令φ（x）=sinx-3ax，則φ′（x）=cosx-3a。當(dāng)x∈［0，arccos3a）時得φ′（x）＞0，因此φ（x）在x∈［0，arccos3a）上單調(diào)遞增，有φ（x）＞φ（0）=0，這時ax＜，而當(dāng)x∈［0，arccos3a）時f（x）=＞＞ax，不合題設(shè)。

當(dāng)a＜0時存在x=使f（）=＞•a，即a＜0時存在x=使f（x）＞ax不合題設(shè)。

綜上所述，a∈[，+∞)即為所求。

例題7：（2008全國卷Ⅰ理科19題）已知函數(shù)f（x）=x+ax+x+1，a∈R，（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（-，-）內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍。

解（1）：f′（x）=3x+2ax+1，令=4a-12=4（a+）（a-），

顯然，當(dāng)-≤a≤時≤0，此時f′（x）≥0對于一切實數(shù)x成立，

當(dāng)a∈［-，］時f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函數(shù)。

當(dāng)a∈（-∞，-）∪（，+∞）時＞0，這時f′（x）=0有兩個不等實數(shù)根：

x=--，x=-+，

因此，f′（x）＞0得x∈（-∞，-），x∈（-，+∞）時f（x）單調(diào)遞增，

f′（x）＜0得x∈（-，-）時f（x）單調(diào)遞減。

解（2）：若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-，-）內(nèi)是減函數(shù)，

則（-，-）?哿（-，-），

-≥-，并且-≤-，

即2-a≤，并且≥a-1，解之得a∈［2，+∞）。

篇3

關(guān)鍵詞：建模思想；反比例函數(shù)；人教版；研究方法；函數(shù)

中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）07-205-01

一、在對反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)認識中，要首先研究了解其概念

就反比例函數(shù)概念而言，通俗來講，一般而言，如果說兩個變量的每一組對應(yīng)值的乘積都是一個不為0的常數(shù)，則可以就說這兩個變量成反比例。其形式可以寫為y=k/x（k為常數(shù)，k≠0，x≠0），當(dāng)這個函數(shù)關(guān)系成立時，該函數(shù)就叫做反比例函數(shù)。相比較一次函數(shù)，二次函數(shù)，反函數(shù)有它自己的特征和概念，二次函數(shù)的函數(shù)是二次的，而反比例函數(shù)的函數(shù)是一次的，一次函數(shù)是另外的一種函數(shù)。

在教學(xué)過程中，把建模思想運用到教學(xué)過程中，對學(xué)生的教育可以對比記憶、繪圖記憶，努力融入數(shù)學(xué)思想，這樣可以更好的把握反比例函數(shù)的概念，理解的也可以更深刻。

二、利用數(shù)學(xué)的建模思想，研究反比例函數(shù)的圖像，然后再根據(jù)圖像判斷其性質(zhì)，這對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究使很有必要的

研究反比例函數(shù)，來研究其性質(zhì)和圖像的特征和函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)反比例函數(shù)的概念和函數(shù)的表達式來研究其單調(diào)性。

根據(jù)反比例函數(shù)的表達式，描點來畫其圖像，可以看出反函數(shù)的圖像是一條雙曲線，從圖像上來看，可以發(fā)現(xiàn)它是關(guān)于原點對稱，由奇偶函數(shù)的概念可知反函數(shù)是奇函數(shù)。

而一次函數(shù)的圖像是一條直線，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，根據(jù)每個函數(shù)的表達式的不同，每種函數(shù)的圖像也不相同，當(dāng)然，其性質(zhì)也不可能相同。反比例函數(shù)是九年義務(wù)教育中學(xué)的最后一種函數(shù)，同學(xué)們通過對其他函數(shù)的學(xué)習(xí)，對這一類函數(shù)多少已經(jīng)有些了解，了解如何去研究這一類函數(shù)的性質(zhì)，去研究這一類函數(shù)的圖像，在教學(xué)過程中，融入數(shù)學(xué)中的建模思想，親手自己畫圖像，并且研究圖像，通過與一二此函數(shù)的對比研究和反復(fù)記憶，來更深刻的理解和明白反比例函數(shù)，加深對反比例函數(shù)的進一步的研究，更深刻地理解和記憶反比例函數(shù)。

三、在反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，要充分將建模思想融入進去，并且能夠根據(jù)實際情況來舉例研究，這樣對反比例函數(shù)本身的學(xué)習(xí)會有很大的幫助，對理解也會有很大的幫助

建模思想是數(shù)學(xué)研究中一個很重要的思想，也是在學(xué)習(xí)中對學(xué)習(xí)和知識的研究和掌握很有幫助的一種思想，學(xué)習(xí)反函數(shù)的過程中，充分運用建模思想，在學(xué)習(xí)完其基本知識后，再出一些相關(guān)的題目，或者根據(jù)生活中的一些情況進行講解，這對反函數(shù)的認知有很大的幫助。

實時的針對反比例函數(shù)出一些題目，例如，根據(jù)性質(zhì)如何來判斷它是哪一種函數(shù)，或者，告訴學(xué)生們某一函數(shù)的表達式，讓他們來判斷是什么函數(shù)，說明其性質(zhì)，并且能夠準確的畫出圖像。性質(zhì)、圖像、表達式之間能夠靈活的轉(zhuǎn)換是學(xué)習(xí)函數(shù)、弄明白函數(shù)的一個重要的方法，一個重要的要求，這也是在數(shù)學(xué)中建模思想的要求，是數(shù)學(xué)建模思想中一項很重要的思想，即建模思想中的模型分析和模型檢驗。

四、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，還有很重要的一項要求即要列出重點，強調(diào)重點，這是一項很重要的工作。當(dāng)然，對于反比例函數(shù)的研究與學(xué)習(xí)，也是一樣的

數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象，簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數(shù)學(xué)手段。所以在學(xué)習(xí)中要強調(diào)一些很重要的東西，比如說函數(shù)性質(zhì)等，在反比例函數(shù)中，要突出強調(diào)其表達式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)于原點對稱，是奇數(shù)函數(shù)，并且重點研究一下它的圖像，讓同學(xué)們可以明白哪部分是重點，如何學(xué)習(xí)，并且要好好的學(xué)習(xí)記憶。建模思想本身就是數(shù)學(xué)類的思想，強調(diào)重點、重點記憶更是學(xué)習(xí)的一個重要手段。所以，在研究中，要把建模思想很好的融入進來。

總之，當(dāng)今時代的發(fā)展，建模思想早已是數(shù)學(xué)中很重要的思想，對于九年義務(wù)的教育，對于反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)，要掌握其概念、表達式、性質(zhì)和特點，數(shù)學(xué)本身就是一門很枯燥的學(xué)科，過多的都是理論化的東西，將建模思想融入學(xué)習(xí)，對掌握反比例函數(shù)是很有幫助的，也是很有必要、很重要的。

參考文獻：

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[2] 劉玉紅；反比例函數(shù)圖像的一個結(jié)論及其應(yīng)用[J]；中學(xué)數(shù)學(xué)雜志；2014年02期

[3] 王建霞；反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)（第二課時）[A]；河北省教師教育學(xué)會第一屆教學(xué)設(shè)計創(chuàng)新論壇論文集[C]；2011年

[4] 劉 軍；從反比例函數(shù)的易錯題談函數(shù)的學(xué)習(xí)[J]；數(shù)理化解題研究（初中版）；2014年05期

篇4

高考對函數(shù)與方程思想的考查，通常以選擇題和填空題的形式考查函數(shù)與方程思想的簡單應(yīng)用，而在解答題中，則從更深層次，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處，從思想與相關(guān)能力綜合的角度進行考查．

1．函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用

例1 直線y=kx+1和雙曲線x2－y2=1的左支交于兩點，求k的取值范圍．

分析：本題題意簡單明了，是將解析幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決．

解：將直線方程代入雙曲線方程得到(1－k2)x2－2kx－2=0 （*），

在(－∞,－1］上有兩相異實數(shù)根，即得到1－k2≠0Δ=4(2－k2)>0(x1+1)+(x2+1)

1

這種方法固然可行，但如果我們注意到一個邏輯關(guān)系，方程（*）如果有負根，則必定在(－∞,－1］內(nèi)（這是因為直線和雙曲線的左支交于兩點），因此就只需方程（*）有兩負根即可．

則有1－k2≠0Δ=4(2－k2)>0x1+x2=2k1－k20 ，

而以上四個不等式則可以通過觀察得到解，則有1

點評：解析幾何的本質(zhì)就是用方程來研究曲線，理所當(dāng)然就應(yīng)該運用方程思想來解決解析幾何問題.

2．函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用

例2 已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n項和，使得Sn達到最大值的n是 ．

分析：可先求出通項公式，并得到Sn是關(guān)于n的一元二次函數(shù)表達式，結(jié)合二次函數(shù)求解．

解：先求通項公式，由a1+a3+a5=105，得到a3=35，由a2+a4+a6=99，得a4=33．

故an=a4+(n－4)(－2)=41－2n，

Sn=－n2+40n，Sn是一個關(guān)于n的二次函數(shù)，當(dāng)n=20時，取得最大值．

點評：數(shù)列本質(zhì)上是函數(shù).

本題在求出通項公式的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了Sn關(guān)于n的函數(shù)．函數(shù)思想不僅僅是使用函數(shù)的方法研究和解決函數(shù)問題，更重要的是構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，用函數(shù)的方法，

解決與函數(shù)有關(guān)的其它問題．

3．函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用

例3 若關(guān)于x的方程4x+a•2x+a+1=0有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

分析：本題是關(guān)于x的方程，若把2x看作一個變量，則問題變?yōu)槎畏匠淘谀硡^(qū)間上有解，即根的分布問題，為求a的范圍，可以根據(jù)二次方程根的分布，解不等式組，也可以分離參數(shù)．

解法1：令t=2x(t>0)，則原方程化為t2+at+a+1=0，問題轉(zhuǎn)化為方程在(0,+∞)上有實數(shù)解，求a的取值范圍．

則有由a2－4(a+1)≥0－a+Δ2>0 ，解得a≤2-22，

解法2：令t=2x(t>0)，則原方程化為t2+at+a+1=0，變形得

a=-1+t21+t

=-(t2－1)+2t+1

=-［（t-1）+2t+1］

=［（t+1）+2t+1-2］

≤-（22-2）=2-22．

點評：解法1的思路是換元后轉(zhuǎn)化為一元二次方程在區(qū)間(0,+∞)上有實數(shù)解，求參數(shù)a的取值范圍；

解法2是換元后運用分離參數(shù)法把參數(shù)a作為t的函數(shù)，求函數(shù)的值域，這種方法的實質(zhì)都是解不等式，求參數(shù)范圍．

4．函數(shù)與方程思想在立體幾何中的應(yīng)用

例4 正方形ABCD，ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD平面ABEF，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a(0

分析：由于點M、N分別在異面直線AC和BF上移動，MN的最小值則可以理解為AC、BF之間的距離，當(dāng)然也要注意到AC和BF是線段而不是直線，MN的最小值未必是異面直線AC和BF之間的距離．

解：構(gòu)建MN的目標函數(shù)，用代數(shù)方法解決如下：

過M作MOAB于O點，連結(jié)ON，由題設(shè)可得到，

則由MOBC=AMAC=AOAB=2－a2，

所以MO=2－a2，

又FNFB=2－a2=AOAB，

ON∥AF，則ON=a2，

則在直角三角形MON中，

MN=（2-a2）2+（a2）2

=(a－22)2+12，

當(dāng)且僅當(dāng)a=22時，

線段MN取到最小值為22．

點評：求立體幾何中的最值問題，不妨將該問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題．

5．函數(shù)與方程思想在三角中的應(yīng)用

例5 求函數(shù)y=(sinx+a)(cosx+a)的最值(0

分析：遇到sinx+cosx與sinxcosx相關(guān)的問題，常采用換元法，再將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，用sinx+cosx表示sinxcosx．

解：令sinx+cosx=t，則有t∈［－2，2］，

sinxcosx=t2－12，

則y=12(t+a)2+a2－12，

由0

知道－2≤－a

當(dāng)t=－a時，ymin=a2－12，

當(dāng)t=2時，ymax=a2+2a+12．

點評：本題的關(guān)鍵是抓住sinx+cosx與sinxcosx的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問題．

6．函數(shù)與方程思想在二項式定理中的應(yīng)用

例6 設(shè)(2－x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a1+a3+a5= ．

分析：本式為二項展開式的偶數(shù)項系數(shù)之和，而不是偶數(shù)項二項式系數(shù)之和，可通過賦值法求解．

解：令f(x)=(2－x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，

則令x=1可以得到f(1)=(2－1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1

令x=－1可以得到f(-1)=(2+1)5=a0－a1+a2－a3+a4－a5=35

兩式相減再除以2得到a1+a3+a5=－121．

點評：通過賦值法解決方程問題，則賦予了二項式更豐富的內(nèi)涵．

7．函數(shù)與方程思想在概率統(tǒng)計中的應(yīng)用

例7 某電器商經(jīng)過多年的經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，本店每個月售出的電冰箱的臺數(shù)ξ是一個隨機變量，它的分布列如下：

ξ123……12

P112112112……112

設(shè)每售出一臺冰箱，電器商獲利300元，如銷售不出而囤積于倉庫，則每臺每月需花保管費用100元.

（1）若電器商月初購入x臺電冰箱，則其月收益的期望值是多少？

（2）電器商每月初購多少臺電冰箱才能使自己月平均收益最大？

分析：本題是利用概率的知識來解決的實際問題，同樣可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題求解．

解：（1）設(shè)x為月初電器商購進的冰箱臺數(shù)，只需考慮1≤x≤12的情形，

此時電器商每月的收益

y=300x(ξ≥x)300ξ－100(x－ξ)（ξ

則Eξ=300x(px+px+1+…+p12)+［300－100(x－1)］p1+［2×300－100(x－2)］p2 +…+［300(x－1)－100］px－1

=300x(12－x+1)•112+112［300×x(x－1)2－100×(x－1)x2］

=253(－2x2+38x)．

（2）x∈N，

x=9或10時收益最大．

點評：概率中的很多問題可以結(jié)合函數(shù)與方程思想解決．

篇5

一、運用函數(shù)的有關(guān)概念研究數(shù)列

數(shù)列的通項公式an以及前n項和Sn均是關(guān)于變量n的表達式，因此在解題過程中,尤其是遇到等差、等比這兩類特殊的數(shù)列時,可以將它們看成函數(shù),運用函數(shù)的性質(zhì)和特點來解決問題.對于等差數(shù)列｛an｝，它的通項公式an=a1+(n-1)?d，可以寫成an=dn+(a1-d)，它是n的一次函數(shù)(特殊地,當(dāng)公差為0時是常數(shù)函數(shù))，對應(yīng)的函數(shù)為an=f(n)＝An+B（A,B為常數(shù)）；等差數(shù)列前n項和Sn=na1+n(n-1)2?d ,可以寫成Sn=d2n2+(a1-d2)n ，Sn是n的二次函數(shù)（缺常數(shù)項）,對應(yīng)的函數(shù)為Sn=f(n)=An2+Bn（A,B為常數(shù)）.對于等比數(shù)列{an}，它的通項公式an=a1?qn-1，可化為an=(a1q )?qn，對應(yīng)的函數(shù)為an=A?qn（A為常數(shù)）, 前n項和公式Sn=a1?(1-qn)1-q(q≠1) ，可化為Sn=a1q-1?qn-a1q-1 ，對應(yīng)的函數(shù)為Sn=K?qn-K(K是常數(shù)且q≠0,q≠1)，運用這些特殊函數(shù)，可以快速找到解決數(shù)列問題的突破口.

【例1】 設(shè)等差數(shù)列{an}與{bn},它們的前n項和分別為Sn和Tn,若SnTn=2n3n+1

，求anbn .

思路導(dǎo)引：等差數(shù)列前n項和Sn對應(yīng)的函數(shù)為:Sn=An2+Bn （A,B為常數(shù)），

由SnTn=2n3n+1

，設(shè)Sn=K?2n2,Tn=K?(3n+1)?n ，其中K≠0.

當(dāng)n=1時，anbn=S1T1 =12 ；

當(dāng)n≥2時，anbn =Sn-Sn-1Tn-Tn-1 =

K?2n2-K?2(n-1)2K?(3n+1)?n-K?［3(n-1)+1］?(n-1) =2n-13n-1 ；

綜上所述：anbn =2n-13n-1 (n∈N*).

【例2】 在等比數(shù)列{an}中,前n項和為Sn,已知S2=3,S4=15,求Sn.

思路導(dǎo)引：由題設(shè)知，公比q≠1考慮到等比數(shù)列前n項和對應(yīng)的函數(shù)為：Sn=K?qn-K(K是常數(shù)且q≠0,q≠1,則有：

K?q2-K=3，K?q4-K=4

K=1，q=2

或K=1，q=-2

所以，Sn=2n-1或Sn=(-2)n-1.

二、以函數(shù)圖象為工具，直觀簡化數(shù)列問題

函數(shù)圖象是函數(shù)特征的直觀體現(xiàn)，利用函數(shù)圖象解決數(shù)學(xué)問題（以形助數(shù)）是我們解決問題中經(jīng)常采用的手段.等差、等比數(shù)列的通項及求和公式與一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)都有聯(lián)系，應(yīng)用相應(yīng)函數(shù)的圖象能直觀有效地簡化某些數(shù)列問題.

【例3】 在等差數(shù)列{an}中,若a1＜0,且S3=S15,試問這數(shù)列的前幾項之和最小?

思路導(dǎo)引:Sn對應(yīng)的函數(shù)為f(n)=An2+Bn（A,B為常數(shù)）,因為a1＜0所以對應(yīng)的二次函數(shù)圖象為開口向上且過原點的拋物線, 由f(3)=f(15)知拋物線最低點的橫坐標為n=3+152=9（如圖1所示），即n=9時, Sn最小.

圖1

變式題：（1992年全國高考試題）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a3=12,S12＞0,S13＜0,指出S1,S2,S3，…,Sn中哪一個最大?

思路導(dǎo)引: 由S12＞0,S13＜0知Sn對應(yīng)二次函數(shù)的圖象為開口向下且過原點的拋物線（如圖2）,與橫軸的一個交點的橫坐標為0,另一個交點的橫坐標在區(qū)間（12，13）內(nèi),可見其頂點橫坐標在區(qū)間（6，6.5）內(nèi),離對稱軸最近的整數(shù)為6，

所以當(dāng)n=6時,Sn 最大.

圖2

評述:本題的一般解法是利用S12=12(a1+a12）2=6(a6+a7)＞0 ,

S13=12(a1+a13)2 =12a7＜0，

得a1＞a2…＞a6＞0＞a7＞…,故當(dāng)n=6時,Sn最大.

而利用函數(shù)圖象，解法直觀,簡單快捷.

三、利用函數(shù)的性質(zhì)化解數(shù)列問題

數(shù)列的通項公式及前n項和公式均是變量n的函數(shù)，深入挖掘并利用函數(shù)的性質(zhì)可以大大簡化解題過程，函數(shù)的單調(diào)性、最值性、周期性等性質(zhì)在數(shù)列中應(yīng)用廣泛.

【例4】 已知數(shù)列{an}的通項an=(n+1)?(1011)n(n∈N*) ，試問該數(shù)列{an}有沒有最大項？若有，求出最大項的項數(shù)；若沒有，說明理由.

思路導(dǎo)引: 由于該數(shù)列不是直接與等差、等比數(shù)列相關(guān)的數(shù)列,形式看起來比較復(fù)雜,但若從函數(shù)角度，可利用單調(diào)性來研究：an+1-an=(n+2)?(1011 )n+1-(n+1)?(1011 )n=(1011 )n?9-n11

當(dāng)n＜9時, an+1-an＞0，即an+1＞an；

當(dāng)n=9時,an+1-an=0 ,即an+1=an;

當(dāng)n＞9時, an+1-an＜0,即an+1＜an；

故a1＜a2＜a3＜…＜a9=a10＞a11＞a12…,這說明數(shù)列{an}中存在最大項,為第9項或第10項.

評述:本題也可以化歸為解不等式組an≥an-1an≥an+1

來解決,但計算繁雜，而利用函數(shù)的單調(diào)性更能發(fā)現(xiàn)數(shù)列的變化趨勢，顯得更簡捷.

【例5】 已知函數(shù)f(x)=a?bx的圖象過點A(4,14 )和點B(5,1),記an=logf(n)2，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，整數(shù)104是否為數(shù)列{anSn}中的項？若是，求出相應(yīng)的項；若不是，則說明理由.

思路導(dǎo)引：易求出an=2n-10,Sn=n(n-9),an?Sn=2n3-28n2+90n,觀察an?Sn的形式特點，建立函數(shù)f(n)=an?Sn=2n3-28n2+90n，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)易求得該函數(shù)的極大值與極小值. 由f′(n)=6n2-56n+90＞0n＜2或n＞8,則,所以f(n)極大=f(2)=84,f(n)極小=f(8)=-48，所以數(shù)列{an}前8項不含104；

因為數(shù)列{an}從第8項起是遞增數(shù)列，且f(22)=9724＜104,f(23)=11592＞104.

所以，104不是數(shù)列{anSn}中的項.

篇6

由于小學(xué)生年齡的限制，他們對具體的、靜止的、常量的事物容易理解，對動態(tài)的、變化的、運動的現(xiàn)象難于把握，學(xué)生對函數(shù)概念的理解有一個過程。但作為教師我們不能無視函數(shù)思想的重要性，還應(yīng)該著眼于學(xué)生的長遠發(fā)展及終身發(fā)展。因此，我們在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)針對小學(xué)生的特點，將函數(shù)思想進行適度的滲透，突出本質(zhì)，主要在以下兩個層次的滲透：

層次一：函數(shù)概念的滲透

函數(shù)思想在人教版一年級上冊教材中就有滲透。如讓學(xué)生觀察《20以內(nèi)進位加法表》，發(fā)現(xiàn)加數(shù)的變化引起的和的變化的規(guī)律等，都較好地滲透了函數(shù)的思想，其目的都在于幫助學(xué)生形成初步的函數(shù)概念。

層次二：函數(shù)表示法的滲透

要想把函數(shù)思想融入課堂教學(xué)成就要深入鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行函數(shù)思想方法滲透的各種因素。如：小學(xué)數(shù)學(xué)中幾何圖形的周長，面積和體積公式，實際上就是用解析法來表示變量之間關(guān)系的函數(shù)關(guān)系式。如圓面積公式S=πr2，圓面積隨著半徑的變化而變化。

結(jié)合自己的實踐和思考，筆者認為小學(xué)階段函數(shù)思想的滲透主要有以下幾個關(guān)鍵點：

一、在名數(shù)向常數(shù)的過渡過程中滲透函數(shù)思想

小學(xué)低年級學(xué)生所學(xué)習(xí)的數(shù)的概念是在熟悉具體事物的基礎(chǔ)上逐漸建立起來的。低年級數(shù)數(shù)、比較數(shù)的大小等知識的學(xué)習(xí)，可以看作是學(xué)生對量的認識由名數(shù)向常數(shù)的過渡過程。如通過3本書、2支筆等來認識3和2，前者我們稱之為名數(shù)，后者稱之為常數(shù)。顯然后者脫離了具體的事物，具有了數(shù)所特有的抽象性。由此可見，常量的概念不是一下子就建立起來的，對常量的概念的建立，首先必須通過由名數(shù)向常數(shù)的過渡。正如同懷特海所說：“人類認識到7條魚和7天之間的共同點，才使思想史前進了一大步，才具有了‘純數(shù)學(xué)觀念’?！倍鴮嵨锱c常數(shù)之間的過渡過程，恰恰可以滲透一一對應(yīng)的函數(shù)思想。

二、在數(shù)的計算中滲透函數(shù)思想

一方面可在四則運算意義中滲透函數(shù)思想。四則運算是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，而當(dāng)我們用函數(shù)的觀點看這些運算意義時，對這些運算就有了新的認識。我們可結(jié)合不同形式的計算練習(xí)，豐富對函數(shù)思想的滲透。如填一填、連一連的題目蘊含著函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、等量關(guān)系及變量的滲透等豐富的代數(shù)思想。四則運算中的和、差、積、商的變化規(guī)律是進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)。但由于變化規(guī)律比較復(fù)雜，考慮到兒童的接受能力，在通用教材中除了對商不變規(guī)律作了明確的闡述以外，對其他的一些規(guī)律只是作了一些滲透。我在計算教學(xué)中，緊緊抓住教材中的某些練習(xí)題，適當(dāng)滲透一些和、差、積、商的變化規(guī)律，讓學(xué)生積累一些感性的認識而并不作為教學(xué)要求。這樣，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生初步的函數(shù)觀念，另一方面又可以發(fā)展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的計算能力。

三、在規(guī)律的探尋中滲透函數(shù)思想

現(xiàn)行《數(shù)學(xué)課程標準》把“探索規(guī)律”作為滲透函數(shù)思想的一個重要內(nèi)容，“探索規(guī)律”實際上就是培養(yǎng)學(xué)生的“模式化”思想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律就是發(fā)現(xiàn)一個“模式”，并能夠用多種方法表達“模式”的特點。讓學(xué)生通過觀察數(shù)列、圖形等變化的規(guī)律，探索模式，合理推測發(fā)展趨勢，都可以適時地滲透函數(shù)思想。

四、在公式教學(xué)中滲透函數(shù)思想

學(xué)生在小學(xué)階段學(xué)習(xí)了一些速度、時間、路程這樣的數(shù)量關(guān)系，從變化的觀點看，它們都反映了一定的函數(shù)思想。如：三年級學(xué)習(xí)長方形的周長計算時，介紹了字母公式，這就為形成表達式減小了困難。教師可以以此為滲透點，在學(xué)生已知面積、體積計算公式的基礎(chǔ)上，使幾何圖形或幾何體的邊長（或半徑、高）發(fā)生變化，從而引起面積或體積也發(fā)生變化。通過改變看問題的角度，從變化的觀點看待邊長（或半徑、高）與面積或體積的關(guān)系，并由此引出變量之間關(guān)系的第二種表示方法――代數(shù)式。

篇7

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù) 數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)思想 初中數(shù)學(xué)

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）11A-0084-02

數(shù)學(xué)新課程標準明確提出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重滲透數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)形結(jié)合思想是指導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要數(shù)學(xué)思想之一，掌握數(shù)形結(jié)合的方法，可以極大地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生終身受益。二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，集中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，是訓(xùn)練數(shù)形結(jié)合方法的良好載體。結(jié)合初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)教學(xué)，探尋滲透數(shù)形結(jié)合思想的有效策略，是一項值得教師研究的課題。

一、解析二次函數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，闡釋數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)思想的直接呈現(xiàn)。很多教師為了應(yīng)對考試，在日常教學(xué)中偏重于數(shù)學(xué)知識的傳授，而忽略了數(shù)學(xué)思想的教育，制約了學(xué)生的全面發(fā)展。二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)課程中占有十分重要的地位，是函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想的良好載體。教師應(yīng)認真地研讀教材，闡釋其中包含的數(shù)形結(jié)合思想，促使學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想形成直觀的認知。

在學(xué)次函數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)具備了一次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，也初步了解數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。因此，在學(xué)次函數(shù)知識時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借鑒前面的學(xué)習(xí)方法，從掌握圖象和性質(zhì)出發(fā)展開教學(xué)。在學(xué)習(xí)這些知識時，教師要適時向?qū)W生滲透：不論是[y=ax2]型的圖象特征，還是[y=ax2]、[y=a（x+m）2]和[y=a（x+m）2+k]三種二次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，以及一般二次函數(shù)[y=ax2+bx2+c]的圖象與[y=ax2]的圖象之間的關(guān)系，都不可避免地需要對函數(shù)關(guān)系式和圖象進行研究，這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)必然會涉及函數(shù)表達式與圖形的結(jié)合，需要通過觀察圖象找出其中的變化規(guī)律。同時，這部分內(nèi)容還需要學(xué)生能夠運用二次函數(shù)解決實際生活中的求“最值”的問題，這類問題也可以通過對函數(shù)關(guān)系式的化簡，作圖解答，進一步體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

二、分析二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，滲透數(shù)形結(jié)合思想

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是重點也是難點，是數(shù)形結(jié)合思想的集中體現(xiàn)。教師組織學(xué)生學(xué)習(xí)這一部分知識時，通過指導(dǎo)學(xué)生運用正確的作圖方法，按照列表、描點、連線的作圖步驟，正確地作出二次函數(shù)的圖象之后，引導(dǎo)學(xué)生認真觀察圖象，積極思考，進行判斷和歸納，發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)圖象變化的規(guī)律，得到二次函數(shù)的性質(zhì)，有效地滲透數(shù)形結(jié)合思想。

在學(xué)習(xí)“二次函數(shù)[y=ax2]（a不等于0）的圖象和性質(zhì)”時，教師引導(dǎo)學(xué)生通過對函數(shù)關(guān)系式的解析，確定了自變量的取值范圍，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，用表格的形式列出隨著自變量[x]的變化相應(yīng)的[y]值，然后，按照表格列出的每組數(shù)據(jù)在坐標系內(nèi)描點，再把描出的點連接起來，得到二次函數(shù)[y=ax2]的圖象，再指導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，包括圖象的形狀、開口方向、頂點坐標、函數(shù)增減性的變化趨勢等。通過這種由“數(shù)”與“形”結(jié)合的方法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)[y=ax2]的圖象是拋物線，這個拋物線的頂點坐標為（0，0），對稱軸是[y]軸，當(dāng)[a]>0時，二次函數(shù)[y=ax2]圖象開口向上;當(dāng)[a]<0時，二次函數(shù)[y=ax2]圖象開口向下。在分析二次函數(shù)[y=ax2]的性質(zhì)時，學(xué)生親身體驗了“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)換，對數(shù)形結(jié)合思想有了比較具體的認知。

由上例可知，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)本身就是數(shù)形結(jié)合思想的良好載體，也是對學(xué)生進行數(shù)形結(jié)合思想教育的有效方式。教師在引導(dǎo)學(xué)生作圖、觀察、推理的過程中，直接向?qū)W生滲透了數(shù)形結(jié)合思想，給學(xué)生留下深刻的印象。

三、借助二次函數(shù)的研究方法，理解數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，數(shù)學(xué)知識的研究方法恰好也可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想。在學(xué)次函數(shù)的內(nèi)容時，教師在數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)下，按照探討函數(shù)知識的常用步驟和方法，幫助學(xué)生分析研究二次函數(shù)性質(zhì)的思路，明確研究步驟，讓學(xué)生學(xué)會應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想探究數(shù)學(xué)知識的一般方法，掌握解決數(shù)學(xué)問題的具體步驟，加深學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解。

在學(xué)習(xí)“二次函數(shù)”的內(nèi)容時，教師為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，在上課伊始，就結(jié)合實際生活問題創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境：擬建設(shè)一個是長方形的溫室，周長是120米，溫室內(nèi)部有通道，分別與長方形的兩邊相隔2米和1米，那么，設(shè)溫室的種植面為[y]，其中一條邊長是[x]，兩者之間的關(guān)系式是什么？這種實際問題的解答需要學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識。學(xué)生在理解題意時存在困難，教師提示學(xué)生可以先根據(jù)題目畫圖，能比較直觀地呈現(xiàn)出等量關(guān)系，進而列出y與x之間的關(guān)系式。學(xué)生通過畫圖，對于長方形的長和寬一目了然，順利地列出[y=（60-x-4）][（x-2）=-x2+58-112]的函數(shù)解析式。最后，直接引出了二次函數(shù)的定義，以及二次函數(shù)相關(guān)的“二次項系數(shù)”“一次項系數(shù)”和“常數(shù)項”的概念。這樣的引入方法，也是運用了數(shù)形結(jié)合思想方法，促使學(xué)生深入理解數(shù)形結(jié)合思想，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

由上例來看，通過利用數(shù)形結(jié)合的方法，按照“先畫出圖象，再總結(jié)性質(zhì)，最后運用數(shù)學(xué)語言進行描述”的三個步驟，分析二次函數(shù)的研究方法，讓學(xué)生深入理解數(shù)形結(jié)合思想。

四、通過二次函數(shù)的習(xí)題解答，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)不能通過簡單機械的記憶來完成，而是要通過實際應(yīng)用把數(shù)學(xué)思想內(nèi)化，成為學(xué)生數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣。練習(xí)題的解答是滲透數(shù)學(xué)思想的重要方式。在完成了二次函數(shù)知識的學(xué)習(xí)后，教師可以選擇一些典型的練習(xí)題目，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想、方法，形成獨特的應(yīng)用體驗，從而使數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)生的頭腦中扎根，自覺地指導(dǎo)學(xué)生的解題過程，提高學(xué)生的解題能力。

在學(xué)習(xí)“二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]（[a≠0]）的圖象和性質(zhì)”的知識后，教師結(jié)合本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)目標，出示練習(xí)題：拋物線y=x2-3x+2不經(jīng)過（ ）。A. 第一象限;B. 第二象限;C. 第三象限;D第四象限。判斷拋物線所在的象限是學(xué)次函數(shù)的內(nèi)容后需要掌握的知識點。本題具有一定的典型性，教師先讓學(xué)生自己解答，有學(xué)生很快就給出了C答案?！盀槭裁茨?？請說說你的解題方法?！苯處熖岢鰡栴}，引發(fā)學(xué)生深入思考。學(xué)生說：“我選取了這條拋物線的頂點、與x軸的交點三個點，并且判斷了拋物線的開口方向是向上，畫了個簡圖，通過看圖發(fā)現(xiàn)拋物線不過第三象限。”教師肯定了學(xué)生的回答，并進一步強調(diào)：“通過畫圖解決二次函數(shù)問題是一種快速準確的方法。同學(xué)們要學(xué)會應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的解題方法，把抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為形象直觀的圖形，提高解題效率?！睂W(xué)生在解題中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的解題方法，使數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)化到學(xué)生的知識能力結(jié)構(gòu)中，更好地指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

借助典型的二次函數(shù)練習(xí)題，讓學(xué)生在解題過程中體會數(shù)形結(jié)合思想，升華對數(shù)形結(jié)合思想的認識，獲得應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法解題的親身體驗，強化學(xué)生自覺應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法解題的行為，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

篇8

一次函數(shù)反映的是數(shù)量關(guān)系與變化規(guī)律，是最基本的函數(shù)，學(xué)好一次函數(shù)是學(xué)好函數(shù)的基礎(chǔ)。對于學(xué)生而言，一次函數(shù)學(xué)好了，真正做到數(shù)形結(jié)合，再學(xué)習(xí)后面的反比例函數(shù)和二次函數(shù)便會容易得多。本文結(jié)合教學(xué)實踐，對一次函數(shù)中“數(shù)形結(jié)合”的思想進行探討，以指導(dǎo)學(xué)生更好地理解函數(shù)的精髓，掌握解題方法。

一、從數(shù)到形，以形助數(shù)

例1　一個沙漏中有100g沙子，沙子以每秒鐘10g的速度漏出。沙漏中余下的沙子y（單位g）與沙漏時間x（單位s）之間的函數(shù)圖象是（）。

解析：y為余下的沙子，隨著沙漏時間的增長，剩余的沙子y必然減少，因此，該函數(shù)一定是減函數(shù)，由此可以排除A和C選項。沙子最多時候為20g，漏完之后為0g，因此y的區(qū)間一定是0～20，由此可以排除D選項，因此本題正確答案應(yīng)為B。

二、從形到數(shù)，量化入微

例2　有一種玩具小汽車的車速可以在1分鐘之內(nèi)加速到10m/s，之后以每秒5米的速度提高車速，最高車速為每秒40m，達到40秒之后便保持40m/s的速度行駛。假設(shè)時間為x（單位：s），車速為y（單位：m），則y與x的函數(shù)圖象如下圖所示。

（1）根據(jù)圖象，寫出當(dāng)1≤x≤7時，y與x的函數(shù)關(guān)系式。

（2）計算車速要想達到35m/s時，需要多長時間。

（3）求出在多長時間之后，小汽車的速度就不再提高。寫出小汽車車速達到40　m/s之后，y與x的函數(shù)關(guān)系式。

解析：（1）根據(jù)題意可知，此玩具汽車的速度分為三個部分，首先是第1秒內(nèi)提高到10　m/s，之后以5　m/s的速度提速，在提到40　m/s的速度后便勻速行駛。當(dāng)1≤x≤7時，小汽車是在10　m/s的基礎(chǔ)上，以5m/s的速度加速。因此可以得出y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=10+5（x-1）。

（2）車速達到35m/s，代入函數(shù)式，35=10+5（x-1）。經(jīng)計算得出，x=6。即在6秒時，小汽車的車速可以達到35m/s。

（3）由題意可知，小汽車車速在達到40m/s之后，便不再加速，即y≤40。經(jīng)計算可以得出，x=7時車速可以達到40　m/s，此時車速不再提高。在x≥7時，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=40。

在解答此類題目時，首先應(yīng)充分理解題意。應(yīng)注意觀察分段函數(shù)圖象的形狀特征，從而確定函數(shù)解析式，然后再利用函數(shù)圖象的性質(zhì)來解答題目。

三、數(shù)形結(jié)合，復(fù)雜變簡單，抽象化具象

例3　在某工廠中，有一批圓珠筆需要組裝。工人甲和乙各每分鐘組裝10支。后來工人甲因身體不舒服回家休息，剩余的全部由工人乙獨自組裝。剩余圓珠筆數(shù)量y（支），組裝時間為x（分鐘），y與x的函數(shù)圖象如下圖。

請結(jié)合圖象回答下列問題：

（1）根據(jù)圖中信息，工人甲一共組裝了多長時間，工作量是多少？

（2）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式。

（3）組裝完所有圓珠筆一共工作了多長時間？工作量是多少？

解析：（1）根據(jù)圖象中提供的信息可知，需要組裝的圓珠筆共400支，在組裝完200支以后，剩余圓珠筆數(shù)量的組裝速度開始減緩。由此可知，甲乙共一起組裝了200支。由此可以得出甲乙共同工作時間為10分鐘，甲組裝的圓珠筆為100支。

（2）根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)0≤x≤10時，y=400-（10+10）x=400-20x；當(dāng)10≤x≤30時，y=200-10（x-10）=300-10x。

篇9

【關(guān)鍵詞】變量 函數(shù) 規(guī)律

近年來全國各地的中考填空題最后一題常以找規(guī)律題壓軸，考查學(xué)生的各種綜合能力，進行人才選拔。因此，找規(guī)律題的找規(guī)律引起了數(shù)學(xué)教師們的高度重視。 本人在數(shù)學(xué)教學(xué)和探索過程中也得出了幾點感悟。

一、找規(guī)律題考查的是學(xué)生的形式抽象邏輯思維和歸納推理能力

初中數(shù)學(xué)找規(guī)律問題是考查的啊學(xué)生的形式抽象邏輯思維及歸納推理能力，很抽象，是由個別到一般的推理問題。初一的學(xué)生已具備了抽象邏輯思維和各種推理能力，并隨著年齡的增長而提高。初中數(shù)學(xué)找規(guī)律問題正好符合這個階段學(xué)生的認知發(fā)展。學(xué)生通過找規(guī)律問題的探究可以發(fā)展以下幾種能力：1.閱讀能力，特別是符號語言、圖形語言。2.觀察能力：觀察數(shù)和圖形的變化。3.綜合分析能力。4.歸納總結(jié)能力。5.發(fā)散思維和創(chuàng)造性思維。

二、找規(guī)律與函數(shù)的關(guān)系（本文中n均為正整數(shù)）

觀察下列各組數(shù)據(jù)，找出規(guī)律，并分別求出第n個數(shù)的表達式。

例1：4、7、10、13…… 第n個數(shù)是（ ）

例2：1、3、9、27…… 第n個數(shù)是（ ）

例3：1、3、7、13…… 第n個數(shù)是（ ）

例4：1、3、7、15…… 第n個數(shù)是 （ ）

例1、2題直接根據(jù)序號n和對應(yīng)的數(shù)字很容易找出規(guī)律，但是例3、4題直接根據(jù)序號n和對應(yīng)的數(shù)字很難找出規(guī)律。有沒有一種通用的辦法可以解決以上四種數(shù)字找規(guī)律問題呢？本人經(jīng)過長期的探索和驗證，發(fā)現(xiàn)找規(guī)律就是找序號和對應(yīng)數(shù)字之間函數(shù)關(guān)系的過程，且根據(jù)相鄰兩數(shù)差或商的情況可以確定規(guī)律與哪種函數(shù)有關(guān)。

函數(shù)的定義是：在一個變化過程中，存在兩個變量x、y，若x有一個值，y唯一的值與它對應(yīng)，那么y與x是函數(shù)關(guān)系，其中x是自變量，y是x的函數(shù)。在找規(guī)律題中 ，也存在兩個變量：序號n和對應(yīng)的數(shù)y，且它們之間是一一對應(yīng)的，所以數(shù)y是序號n的函數(shù)。因此找規(guī)律題的探索其實就是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、寫出函數(shù)關(guān)系式的過程。初中的數(shù)字找規(guī)律題的函數(shù)關(guān)系主要是和一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)有密切關(guān)系。

（一）等差

觀察一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)x1=n時，y1= kn+b，當(dāng)x2=n時，y2= k（n+1）+b，則y2―y1= k（n+1）+b―kn+b= k，發(fā)現(xiàn)一個數(shù)減去相鄰的前一個數(shù)差為常數(shù)k。

發(fā)現(xiàn)相鄰兩數(shù)差分別為：6、18、54…… 差中等商，商為3，即y=ax+k中底數(shù)a=3。

n 1 2 3 4

例13：1、3、7、15…… 第n個數(shù)是

分析：先在對應(yīng)的數(shù)字上方寫出序號1、2、3、4……相鄰兩數(shù)差分別為：2、4、8，差中等商，商為2。第n個數(shù)是2n-1。

試一試：

例14：2、5、14、41…… 第n個數(shù)是

注意：對于等差和等商這兩種類型可以只列出三個數(shù)即可，但為了區(qū)別差中等差還是差中等商，應(yīng)列出四個數(shù)來分析，比如例11和例14題。

三、掌握好以上四種類型可以解決更多的找規(guī)律問題

1.圖形找規(guī)律問題：只要把圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)字問題即可

例15：平面內(nèi)的一條直線可以將平面分成兩個部分，兩條直線最多可以將平面分成四個部分，三條直線最多可以將平面分成七個部分……

篇10

課前思考

“成正比例的量”是人教版六年級下冊第三單元教學(xué)的內(nèi)容，這節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)認識了比和比例的知識、常見的數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上進行編排的。這是一節(jié)概念課，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生理解正比例的意義，能找出生活中成正比例量的實例，并能應(yīng)用知識解決一些實際問題，同時初步滲透函數(shù)思想。

本人曾多次執(zhí)教過這節(jié)課，但每次總覺得課堂氣氛沉悶，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高，學(xué)生只是機械的跟著老師完成下面的教學(xué)環(huán)節(jié)：

教師出示例題中的表格，引導(dǎo)學(xué)生觀察并回答下列問題。

表中有哪兩種量？它們是相關(guān)聯(lián)的量嗎？

寫出幾組這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比，并比較比值的大小。

這兩種量成正比例嗎？為什么？

思考一

“為什么？”——為什么要學(xué)習(xí)“正、反比例這部分的知識”？在六年級的教學(xué)內(nèi)容中正比例和反比例一直是一個重要的內(nèi)容，這部分內(nèi)容肩負了幫助學(xué)生完成一次認識上飛躍的重要任務(wù)。學(xué)生將從大量對“常量”的認識經(jīng)驗中逐步過渡到認識“變量”，這是函數(shù)思想滲透的重要契機。即“學(xué)習(xí)這部分的知識有助于逐步培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維，更好的實現(xiàn)小學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的銜接”。

思考二

“是什么？”——這一知識的本質(zhì)是什么？教材中用了一大段語言（共65個字）描述了成正比例的量和正比例關(guān)系，其實它就是學(xué)生今后要繼續(xù)學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)的雛形，是研究兩個相關(guān)聯(lián)的變量之間的一種數(shù)學(xué)模型。說到函數(shù)，老師們可能并不陌生，雖然小學(xué)階段不出現(xiàn)函數(shù)這一概念，但在小學(xué)階段始終都滲透著函數(shù)思想，因為有變化的地方都蘊含著函數(shù)思想。

思考三

“怎么學(xué)?”——抓住本質(zhì)，激活元認知，滲透函數(shù)思想。

函數(shù)的核心是“把握并刻畫變化中的不變，其中變化的是‘過程’，不變的是‘規(guī)律’（關(guān)系）?！币虼艘獮閷W(xué)生提供熟悉的、直觀的情境讓學(xué)生感悟生活中存在許多變化的量，而這些變化的量又有一定的聯(lián)系，如一個量的變化會引起另一個量的變化，而我們要探究的是相關(guān)聯(lián)的量的“變化規(guī)律”。

教學(xué)實踐：

（一）認識生活中變化的量，初步感知相關(guān)聯(lián)的量。

（1）師：同學(xué)們，在今年的春晚中有一個節(jié)目感動了全國許多的觀眾，它就是“時間都去哪兒了”?，F(xiàn)在讓我們隨著音樂，再來欣賞一下這個節(jié)目。在欣賞的同時，請認真觀察，看看你能發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)學(xué)信息。(課件出示5張大萌子成長的照片)

（2）學(xué)生觀察圖片并發(fā)現(xiàn)變化的量（年齡、身高）。

（3）把這些數(shù)據(jù)整理成表格，請看。

觀察表格，說說小女孩的身高是怎樣變化的？

師：（小結(jié)）身高隨著年齡的變化而變化，像這樣一種量的變化會引起另一種量的變化，在數(shù)學(xué)上我們把這樣的兩種量叫做相關(guān)聯(lián)的量。

（二）自主探究，學(xué)習(xí)新知。

1.聯(lián)系生活，進一步感知相關(guān)聯(lián)的量。

（1）在生活中，你還知道哪些兩種相關(guān)聯(lián)的量，能舉些例子嗎？

（2）老師也為大家提供了一些例子，你們能從中找到兩種相關(guān)聯(lián)的量嗎？

情境1：（圖片形式呈現(xiàn)）

師：看完了春晚，小明領(lǐng)到了1000元壓歲錢，正在計劃著怎么用。

計劃用去100元，還剩下900元。

計劃用去200元，他還剩下800元。

計劃用去300元，他還剩下700元。

情境2：圓的半徑和周長（課件動態(tài)呈現(xiàn)畫圓的過程）

情境3：行駛的汽車的視頻。

師：（小結(jié)）只要仔細觀察，生活中有很多像這樣相關(guān)聯(lián)的量，也就是一個量總是隨著另一個量的變化而變化。那么在變化的過程中他們有什么規(guī)律嗎？

2.探索相關(guān)聯(lián)的量，研究變化規(guī)律。

情境4：書本情境圖。

師：請同學(xué)們拿出答題卡1（例1），按照要求，填寫表格，并回答問題。

例1：

（1）請同學(xué)們根據(jù)圖中的信息填表格。

（2）觀察表格，說說你有什么發(fā)現(xiàn)？

師：現(xiàn)在，誰來說說你有什么發(fā)現(xiàn)？

師：是的，總價隨著本數(shù)的變化而變化，在這變化的過程中有什么是不變的嗎？

生：單價。

師：單價真的是不變的嗎？誰會用數(shù)據(jù)來說明？

生：15÷1=15（元），30÷2=15（元），

師： 這個比值15實際上表示什么？（單價）

師：他們的比值都是15，所以說比值相等，也可以說單價是一定的。

師：（小結(jié)）現(xiàn)在咱們來回顧一下，剛才是怎樣研究這道題的？

（1）通過觀察我們發(fā)現(xiàn)，總價和本數(shù)是兩種相關(guān)聯(lián)的量，總價隨著本數(shù)的變化而變化。（2）通過計算我們還發(fā)現(xiàn)，總價和本數(shù)的比值（單價）是一定的，也就是不管本數(shù)與總價怎樣變，但單價始終不變。

3.進一步探究，感悟成正比例的量。

（1）同桌合作探究。

師：你會用剛才這樣的方法來研究這些例子嗎？（有困難的同學(xué)，可以借助以下的問題進行研究？）

①表格中，有哪兩種量？它們是不是相關(guān)聯(lián)的量？

②寫出幾組這兩種量對應(yīng)的兩個數(shù)的比？算一算他們的比值相等嗎？

（2）匯報交流（略）

（3）觀察比較，揭示規(guī)律。（課件：出示下面三個表格）

師：現(xiàn)在老師把剛才咱們研究的三件事放在一起，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：事情不一樣，但它們的意思都一樣。

生：都是相關(guān)聯(lián)的兩個量，一個量變化，另一個量也隨著變化。

生：他們的比值是一定的。

師：說得真好，事情不一樣，但它們卻有共同的地方？

看！兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化另一種量也隨著變化，當(dāng)他們相對應(yīng)的比值一定時，我們就把這兩種量叫做成正比例的量，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。（板書課題：成正比例的量）

4.歸納概括成正比例量。

（1）結(jié)合以上3個例子說一說誰和誰是成正比例的量，為什么？

（2）不用例子，你會用自己的語言說說什么是成正比例的量嗎？

（3）請翻開書P39頁，讀一讀書上的概念并會用字母表示。

5.用圖像表示成正比例的量。

（1）師：（課件出示坐標圖）你知道橫軸表示什么？縱軸表示什么嗎？

師：如果把這些點描在圖中，并把它們連起來，想象一下會是怎樣的一條線呢？

（2）師：仔細觀察，老師畫的跟同學(xué)們的有什么不一樣？（從零開始）

師：是啊，成正比例的圖像是經(jīng)過原點的一條直線。

師：想象一下，如果這輛車一直開下去，會是怎樣的情形？

（3）師：不用計算，根據(jù)圖像判斷，如果汽車行駛2.5小時，路程是多少千米？

如果汽車行駛了360千米，用了多少時間？

小結(jié)：這條直線上的每一個點，都有一對數(shù)字與它一一對應(yīng)。

三、鞏固應(yīng)用，判斷成正比例的兩個量。（略）

教后反思

本節(jié)課學(xué)生對正比例關(guān)系的理解有了質(zhì)的突破，關(guān)鍵是教師抓住了知識的核心，設(shè)計了有價值的探究活動，讓學(xué)生在觀察、比較、分析、抽象、概括的數(shù)學(xué)活動中建構(gòu)知識體系，感悟函數(shù)思想方法。

1.激活經(jīng)驗，直觀感知。

激活生活經(jīng)驗，讓學(xué)生充分感知相關(guān)聯(lián)的量。學(xué)生舉例后，教師又提供了4組的例子，這些例子的呈現(xiàn)方式有靜態(tài)的圖片、動感的視頻等，從不同的視覺感官上激活學(xué)生的生活經(jīng)驗，幫助學(xué)生直觀的感知一種量的變化會引起另一種量的變化。

2.自主探究，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗”的內(nèi)涵是“指學(xué)習(xí)主體通過親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動過程所獲得的具有個性特征的學(xué)習(xí)策略與方法?！北竟?jié)課為學(xué)生提供了2次自主探究的機會，首先在例題的教學(xué)中，教師讓學(xué)生根據(jù)購買圖書的直觀圖和數(shù)據(jù)填表格，然后同桌交流“你能結(jié)合數(shù)據(jù)說說書的總價與數(shù)量是怎樣變化的嗎？”從學(xué)生的表現(xiàn)來看他們習(xí)慣比較兩個量的增減變化，習(xí)慣把兩個量進行四則計算。怎樣把學(xué)生的思維引到比較“比值”上呢？教師適時的追問很重要，如“在這變化的過程中有什么是不變的嗎？”“誰會用數(shù)據(jù)來說明”。通過追問，讓學(xué)生在思維的沖突中思考，不管數(shù)量與總價如何變，單價始終不變，并通過小結(jié)幫助學(xué)生完善探究的策略和方法?！澳隳苡脛偛诺姆椒ㄑ芯肯旅娴念}目嗎？”接著教師再次給足時間讓學(xué)生探究，學(xué)生在探究中進一步感悟相關(guān)聯(lián)的兩個量在“變化中的不變關(guān)系”，通過觀察、比較，突出了“成正比例的量”的本質(zhì)特征，讓學(xué)生經(jīng)歷了自主構(gòu)建知識的過程，體會到數(shù)學(xué)知識是怎樣從具體的事物中抽象、概括出來的，做到知其然更知其所以然，而且積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

3.數(shù)形結(jié)合，滲透函數(shù)思想方法。

本節(jié)課除了從“數(shù)”的角度引導(dǎo)學(xué)生感悟變量之間的相互依存關(guān)系；還從“形”的角度豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗，滲透函數(shù)思想方法。這是學(xué)生第一次接觸函數(shù)圖像，在此之前他們甚至都沒有見過圖像，不知道圖像是什么樣的，因此教師在這部分內(nèi)容的教學(xué)中，大膽地為學(xué)生設(shè)計猜想、探究、實驗和驗證的活動，如：“如果把這些點描在圖中，并把它們連起來，想象一下會是怎樣的一條線呢？”“你們畫的圖與老師畫的有什么不同？”“如果這輛車一直行駛下去，會是怎樣的情形呢？”教師通過這些問題讓學(xué)生認識到正比例關(guān)系的圖像是一條經(jīng)過原點的直線，它可以延伸，即不斷的運動、發(fā)展、變化。接著又通過一組的問題，如：“不計算，你能知道這輛汽車4.5小時行駛多少千米嗎？”“行400千米呢？”引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，在這條直線上的每一個點都有一對數(shù)字與它一一對應(yīng)。在圖像的觀察、繪制和分析中豐富對變化的認識，讓零散的連起來，讓靜止的動起來，讓變量之間的抽象關(guān)系顯得更加形象、直觀，這個過程就是函數(shù)思想方法滲透的過程。

參考文獻

[1]人教版數(shù)學(xué)六年級下冊《教師教學(xué)用書》

[2]劉加霞.《小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的有效教學(xué)》

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