導(dǎo)語：如何才能寫好一篇函數(shù)最值的應(yīng)用，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

關(guān)鍵詞：最大值 最小值 最值 邊際

中圖分類號:F224 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1004-4914（2011）12-082-02

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)研究、經(jīng)營管理中，經(jīng)常要遇到在一定條件下，怎樣用料最省、產(chǎn)量最多、效率最高、成本最低等問題，這些問題在數(shù)學(xué)上有時(shí)可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值或最小值的問題。隨著市場經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，利用數(shù)學(xué)知識解決經(jīng)濟(jì)問題顯得越來越重要，運(yùn)用微分中的最值可以對經(jīng)濟(jì)活動中的實(shí)際問題進(jìn)行最優(yōu)化分析，從而為企業(yè)經(jīng)營者的科學(xué)決策提供依據(jù)。

一、最值的概念

1.最大值。設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，x0為區(qū)間[a,b]上某一點(diǎn)。當(dāng)對于任意x∈[a,b]，有f（x）≤f（x0），則稱f（x0）為f（x）在[a,b]上的最大值，稱點(diǎn)x0為f（x）在[a,b]上的最大值點(diǎn)。

2.最小值。設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，x0為區(qū)間[a,b]上某一點(diǎn)。當(dāng)對于任意x∈[a,b]，有f（x）≥f（x0），則稱f（x0）為f（x）在[a,b]上的最小值，稱點(diǎn)x0為f（x）在[a,b]上的最小值點(diǎn)。

最大值和最小值統(tǒng)稱為最值。

二、最值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

最優(yōu)化問題是經(jīng)濟(jì)管理活動的核心，各種最優(yōu)化問題也是微積分中最關(guān)心的問題之一，例如，在一定條件下，使成本最低，收入最多，利潤最大，費(fèi)用最省等等。下面介紹函數(shù)的最值在經(jīng)濟(jì)效益最優(yōu)化方面的若干應(yīng)用。

1.最大利潤問題。

例1：某工廠在一個月生產(chǎn)某產(chǎn)品Q件時(shí), 總成本為C（Q）=5Q+200（萬元），得到的收益為R（Q）=10Q-0.01Q2（萬元），問一個月生產(chǎn)多少產(chǎn)品時(shí), 所獲利潤最大?

解：由題設(shè)，知利潤為

L（Q）=R（Q）-C（Q）=5Q-0.01Q2-200（0

顯然最大利潤一定在（0，+∞）內(nèi)取得。

令L'（Q）=5-0.02Q=0，

得Q=250。又由

L''（Q）=-0.02

所以L（250）=425（萬元）為L的一個極大值。

從而一個月生產(chǎn)250件產(chǎn)品時(shí)，可取得最大利潤425萬元。

2.最大收益問題。

例2：某商品的需求量Q是價(jià)格p的函數(shù)Q=Q（p）=75-p2，問p為何值時(shí)，總收益最大？

解：總收益R（p）=pQ=75P-P3，（p>0）

令R'（p）=75-3p3=0，

得p=5，又

R''（p）=-6p?圯R''（5）

從而R（5）=250，為收益R（p）的極大值。

即當(dāng)價(jià)格為5時(shí)，有最大收益250。

3．經(jīng)濟(jì)批量問題。

例3：某商場每年銷售某商品a件，分為x批采購進(jìn)貨，已知每批采購費(fèi)用為b元，而未售商品的庫存費(fèi)用為c元/年?件。設(shè)銷售商品是均勻的，問分多少批進(jìn)貨時(shí)，才能使以上兩種費(fèi)用的總和為最??？(a,b,c為常數(shù)，且a,b,c>0）。

解：顯然，采購進(jìn)貨的費(fèi)用W1（x）bx，

兩次求導(dǎo)：C'（Q）=-6+2Q

令C'（Q）=0 則Q=3

當(dāng)Q=3時(shí)，平均成本最低。

最小的平均成本C（Q）=15-18+9=6

而邊際成本函數(shù)C'（Q）=15-12Q+3Q2

當(dāng)Q=3時(shí)，C'（Q）=15-36+27=6

可見最小平均成本與邊際成本相等。

邊際的意義是：當(dāng)產(chǎn)量在Q的基礎(chǔ)上再增加一個單位時(shí)，成本C（Q）的增量。

三、總結(jié)

綜上所述，對經(jīng)營者來說，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用頗為廣泛，而且在日常生活中、生產(chǎn)和科研中，常常會遇到最值的問題，不僅而已，從上面的例子可以看出，對其經(jīng)濟(jì)環(huán)節(jié)進(jìn)行定量分析是非常必要的。將數(shù)學(xué)作為分析工具，不但可以給企業(yè)經(jīng)營者提供精確的數(shù)值，而且在分析的過程中，還可以給企業(yè)經(jīng)營者提供新的思路和視角，這也是數(shù)學(xué)應(yīng)用性的具體體現(xiàn)。因此，作為一個合格的企業(yè)經(jīng)營者，應(yīng)該掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)分析方法，從而為的經(jīng)營決策提供可靠依據(jù)。

參考文獻(xiàn)：

1.陸慶平.以企業(yè)價(jià)值最大化為導(dǎo)向的企業(yè)績效評價(jià)體系――基于利益相關(guān)者理論[J].會計(jì)研究,2006(3)

2.高哲.淺談微積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用[J].中國科技博覽,2009（7）

3.李春萍.導(dǎo)數(shù)與積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用[J].商業(yè)視角，2007（5）

4.向菊敏.微積分在經(jīng)濟(jì)分析活動中的應(yīng)用[J].科技信息，2009（26）

5.褚衍彪.高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)分析中的運(yùn)用[J].棗莊學(xué)院學(xué)報(bào)，2007（10）

6.譚瑞林，劉月芬.微積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用淺析[J].商場現(xiàn)代化,2008（4）

7.顧霞芳.淺談導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用[J].職業(yè)圈，2007（4）

篇2

由于學(xué)生對判別式法求函數(shù)值域的原理不是很清楚，所以在求解時(shí)常常會考慮不周全而漏解，造成近幾年高考試卷中，解析幾何大題的最后一問關(guān)于斜率K的函數(shù)在求最值（或范圍）時(shí)，不能從容應(yīng)對，當(dāng)然除了判別式法以外，也常常利用均值不等式進(jìn)行處理。

總之，只有學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，對其原理認(rèn)真領(lǐng)會、強(qiáng)化通性通法，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題從多層面，多角度進(jìn)行延伸探究，有意識的引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中分析“不變”的本質(zhì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。所以變式教學(xué)要圍繞講的目的性和針對性展開：明確是訓(xùn)練學(xué)生的計(jì)算能力，還是深化學(xué)生思維；是進(jìn)一步鞏固基礎(chǔ)，還是提高學(xué)生能力；是提醒學(xué)生哪些地方易錯，還是磨練學(xué)生解題意志。有效地拓展更好的服務(wù)于講，深化了練，提升了課堂的質(zhì)量。高三教學(xué)發(fā)揮變式功能，更是一種有效地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“如何思”“如何想”并走向“自覺地思”“自覺地想”的方式，有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的創(chuàng)新思維，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生分析問題、解決問題和探索創(chuàng)新能力。

參考文獻(xiàn)

篇3

一、直接法

某些函數(shù)的結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，可以通過適當(dāng)變形，由初等函數(shù)的最值及不等式的性質(zhì)直接觀察得到它的最值。

例1　求y=x3＋2/2＋5暑的最杏值，解析：變形為y＝1=X2＋2/3，故當(dāng)x=0，時(shí)，yma

二、反函數(shù)法

由原函數(shù)反解出x=￡(y)，根據(jù)x的范圍求出y的范圍，進(jìn)而得到y(tǒng)的最值的方法稱為反函數(shù)法，此方法適用于能順利求得反函數(shù)的函數(shù)，如形如y=αt＋b/ct＋d(α≠0)的函數(shù)， 類似地，此方法也可推廣到可以解得g(x)=￡(y)，且已知g(x)的取值范圍的函數(shù)，

三、配方法

配方法是求解“可化為二次函數(shù)形式”這一類函數(shù)的最值問題的基本方法，有著廣泛的應(yīng)用，

四、換元法

引入新變量對原函數(shù)式中的代數(shù)式或三角函數(shù)進(jìn)行代換，將所給函數(shù)轉(zhuǎn)化成容易求最值的簡單函數(shù)，進(jìn)而求得最值的方法稱為換元法，形如y=ax+6的函數(shù)求最值常用此法，用換元法解題時(shí)要特別注意變元前后自變量的取值范圍要保持一致。 　 　五、不等式法

通過對原函數(shù)式進(jìn)行變形，利用等基本不等式求函數(shù)的最值的方法稱為不等式法，用不等式法求最值時(shí)，要注意“一正、二定、三相等”的應(yīng)用條件，即不等式中的兩項(xiàng)必須都為正，兩項(xiàng)的和一定時(shí)積有最大值、積一定時(shí)和有最小值，必須能取得到最值，

點(diǎn)評：利用不等式法求最值時(shí)，要注意函數(shù)取到最值時(shí)，相應(yīng)的x的值是否存在，如果不存在，則此最值不能取到，此時(shí)要考慮用其他方法來解題，點(diǎn)評：用不等式法和判別式法都只能求出例8中函數(shù)的最小值，如果要求它的最大值，上述方法就不可行了，需要考慮換用其他方法，

七、單調(diào)性法

如果能確定函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，就可以求出該函數(shù)的最值，求解函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題?？稍囉眠@種方法，函數(shù)的單調(diào)性可以直接用單調(diào)性的定義來判別，也可結(jié)合函數(shù)的圖像來研究，或者用導(dǎo)數(shù)法來判定。

點(diǎn)評：看到例11中的函數(shù)的形式，很多同學(xué)會考慮用換元法來解題，但若用換元法無法將其轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的形式，會讓解題過程變得更繁雜，甚至無法順利進(jìn)行下去，在判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，方法的選擇也是很重要的，三種方法各有特點(diǎn)：定義法是最容易想到的，圖像法最直觀，而導(dǎo)數(shù)法往往比較簡捷。

篇4

首先,可以用初等數(shù)學(xué)的方法求函數(shù)最值。

1.利用二次函數(shù)求最值

利用二次函數(shù)求最值是一種應(yīng)用甚廣的基本方法,其基本思路是將將問題轉(zhuǎn)化為某個變量的二次函數(shù),通過配方,利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值。

例1 設(shè)x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+a=2的兩個實(shí)數(shù)根,(x2-2x2)(x2-2x1)的最大值是什么?

解:因?yàn)?=a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0,

所以(x1-2x2)(x2-2x1)

=-2x12+5x1x2-2x22

=-2(x1+x2)2+9x1x2 。

因?yàn)閤1,x2是方程x2+ax+a=2的兩個實(shí)數(shù)根,

所以x1+x2=-a,x1?x2=a-2代入配方可得:

(x1-2x2)(x2-2x1)

=-2a2+9a-18 =

根據(jù)平方的非負(fù)性知:當(dāng)a= 時(shí),(x1-2x2)(x2-2x1)的最大值為- 。

2.利用換元求最值

一些函數(shù),特別是在函數(shù)表達(dá)式中含有三角函數(shù)的情形,往往可利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)來求函數(shù)的最值,這就是三角換元求最值;其他的換元就是根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn),把某一部分看作一個整體或用一個新變元來代替,達(dá)到化繁為簡,從而使問題得解。

(1)三角換元

例2已知x,y均是正數(shù),x2+y2=1,求x+y的最值。

解:令,

則 所以x+y的最大值為√2,最小值為-√2。

(2)其他換元

例3 已知 的最大值。

解: 當(dāng)且僅當(dāng)x=y= 時(shí)取等號,所以 的最大值為2。

3.利用數(shù)形結(jié)合求最值

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,將函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化成幾何圖形的性質(zhì)問題,通過幾何的有關(guān)知識來解決。這種方法對于最值的解法顯得更直觀、易懂、簡潔,這對于開拓思路,提高和培養(yǎng)分析能力,解決問題的能力有裨益。

例 4 求函數(shù)y=√x4-x2+1+√x4+7x2-4x+13的最小值。

解:因?yàn)?y=√x4-x2+1+√x4+7x2-4x+13

=√x2+(x2-1)2+√(x-2)2+(x2+3)2,

所以y可以看作點(diǎn)P(x,x2)到點(diǎn)A(0,1)及點(diǎn)B(2,3)的距離之和。

已知點(diǎn)P(x,x2)在拋物線y=x2上,又由于y=x2與線段A,B有交點(diǎn),故當(dāng)A,P,B在同一直線上時(shí),距離之和最小,最小值為線段AB的長,所以y的最小值為ymin=√(2-0)+(-3-1)2=√20=2√5。

4.利用基本不等式求最值

不等式和最大值與最小值是密切相關(guān)的。比如要證明某個參數(shù)P的最小a,可先證明P≥a,然后說明P可以取到a,這是利用不等式求最值的基本思路,更為一般的是利用均值不等式,積定求和最小值,和定求積最大值。

例5 求的最小值。

篇5

最值問題在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中占有相當(dāng)重要的地位，而與“不等式”“函數(shù)值域”都有著密切聯(lián)系。中學(xué)中我們學(xué)習(xí)了不少關(guān)于求最值的方法。本文利用我們學(xué)過的知識把復(fù)數(shù),幾何等知識融合在一起給出了求最值的幾種巧妙方法，詣在歸納總結(jié)，給以后學(xué)習(xí)最值問題提供參考。

1.用比較半徑法求最值。

此方法主要是從代換的角度出發(fā)，巧妙應(yīng)用圓的半徑來探索求最值。

這類題目的特點(diǎn)是所求函數(shù)和限制條件一般由一個是二次曲線形式的。利用坐標(biāo)變換把二次曲線變成圓，再把目標(biāo)函數(shù)變?yōu)橹本€，因在同一個坐標(biāo)系內(nèi)直線過圓，所以圓上的點(diǎn)到直線的距離小于等于半徑。根據(jù)公式.

求得最值。

例1.已知求函數(shù) 的最值。

分析:此題限制條件是一個二次曲線—橢圓。目標(biāo)函數(shù)為一直線，若令：

則恰能得到一個圓的方程，而目標(biāo)函數(shù)12X-5Y是一過圓心的直線,這些恰好符合我們給出的條件,所以我們不妨用此方法去解.

解：令圓: 。

如圖：顯然圓上任一點(diǎn)P(X,Y)到直

線 ：12X-5Y=0的距離

即

例2.已知x+3y-10=0,求函數(shù) 的最小值。

解：設(shè) 則

直線 方程：

如圖：圓：

從而本題變?yōu)榍髨A半徑的最小值。

當(dāng)直線 與圓相切時(shí)圓的半徑取得最小值。

即： 故 .

1.切線法求最值。

①利用“直線關(guān)系法”求最值。

這類題目的特點(diǎn)是點(diǎn) 在平面上的二次曲線域（包括邊界）上運(yùn)動，求目標(biāo)函數(shù) 的最值。此解法關(guān)鍵是把約束條件恒等變形，化成二次曲線上或形內(nèi)的適合條件，再令 （ 為非零實(shí)數(shù)），轉(zhuǎn)化成求 的最值，則可求出 的最值。

這種思路主要應(yīng)用了斜率不變的直線系來解決問題。

例1. 若點(diǎn) 的坐標(biāo)適合 求 。

分析:由題我們可以看出 所適合的條件是在這個圓形區(qū)域內(nèi),所求函數(shù)恰好為一直線,故我們可以用此方法去解.

解： 變形為，適合條件的點(diǎn) 為圓周上和圓內(nèi)的點(diǎn)。

設(shè)目標(biāo)函數(shù) ，這是斜率為 的平行直線系，如圖：

此題轉(zhuǎn)化為求斜率為的直線與圓相切的方程。

又因?yàn)槲覀冇?/p>

代入則得

即： ，解之得

所以 的最大值是5，最小值是 。

②斜率法求最值。

這類題的特點(diǎn)是所求目標(biāo)函數(shù)一般為分式,如根據(jù) 的關(guān)系我們把它寫成是二次曲線上點(diǎn),從而這個式子可以看做是點(diǎn)(a,b)到曲線上任一點(diǎn)的斜率的最值,在根據(jù)二次曲線的切線求得最值 .此法能形象地說明該式最值的幾何意義。解法關(guān)鍵是先把目標(biāo)函數(shù)化成二次曲線上任意一點(diǎn)與曲線外一點(diǎn)（定點(diǎn)）連線的斜率k，再根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造切線，從而求得最值。

例1.若x為實(shí)數(shù)，求的最值。

解：目標(biāo)函數(shù)可看作橢圓上任一點(diǎn) ，與定點(diǎn)（4，3）連線的斜率 。如圖：

設(shè)切線為 ，則，

解得

所以

備注：1.直線 與圓 相切充要條件：

2.直線 與橢圓 相切的充要條件：

。

3.直線 雙曲線相切的充要條件：

。

4.直線 與拋物線 相切的充要條件：

3.用“動點(diǎn)求導(dǎo)法”求最值

這類題一般是以定線段為底某一曲線上的動點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最值問題.解此類提的一般步驟如下:

(1) 用導(dǎo)數(shù)法求出曲線到定線段距離的極值.

(2) 計(jì)算極值點(diǎn)和曲線端點(diǎn)到定線段的距離,并加以比較得出距離的最大值或最小值.

(3) 用三角形面積公式計(jì)算出三角形面積 的最值.

例1.橢圓 上有兩點(diǎn)

及動點(diǎn)C，求橢圓內(nèi)接 的最大面積。

解：設(shè)橢圓上點(diǎn) 到AB的距離取極值，

則過點(diǎn)C的切線AB平行，將方程

兩邊對y求導(dǎo)得： ，

所以切線斜率

以此代入橢圓方程，求得C點(diǎn)的坐標(biāo) 和 。

直線AB的方程為： ,點(diǎn) 和

到AB的距離：

所以 ， 。

所以 最大面積為 。

4.令“坐標(biāo)法”求最值

這類題目的特點(diǎn)是目標(biāo)函數(shù)為若干個二次根式之和.解法關(guān)鍵是精心設(shè)計(jì)各點(diǎn)的坐標(biāo),使以原點(diǎn)為起點(diǎn)相鄰兩點(diǎn)的距離之和恰好構(gòu)成目標(biāo)函數(shù),從而起點(diǎn)與終點(diǎn)間的距離正好是其最小值.

例1.若 為非負(fù)實(shí)數(shù)，求 的最小值。

解：設(shè)點(diǎn) ，點(diǎn) ，點(diǎn) 則

，由圖可看出從O 到C的線段中，

OC 為最短的，即：

所以

所以得： 的最小值是 。

5.利用“參數(shù)法”求最值。

此方法主要是利用圓錐曲線的參數(shù)方程把所求問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù),最后再利用三角函數(shù)的最值來求出所要求的問題.

這類題一般為求一個閉合的圓錐曲線的內(nèi)接矩形的面積最值問題.如橢圓,圓等.

例1:求橢圓的內(nèi)接矩形的最大面積

解:如圖:令

則橢圓方程變?yōu)?/p>

將此方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程:

那么第一象限內(nèi)橢圓上一點(diǎn)C的坐標(biāo)

為 則內(nèi)接矩形的面積

是:

當(dāng) 時(shí)

又 圖一邊為圖二相當(dāng)于對橢圓進(jìn)行了平移變換,故橢圓的大小,形狀完全沒有變化,所以其內(nèi)接矩形的面積也不變.

橢圓內(nèi)界矩形的最大面積是

參考文獻(xiàn)：

[1]吳高林等.雙曲線切線存在性及引向[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1983，（9）

[2]何亞魂.一類最值問題的解法[J].湖南城市學(xué)院學(xué)報(bào)，1988，（5）

[3]益陽師專學(xué)院報(bào)（自然科學(xué)版）[J].1988，（1）

篇6

關(guān)鍵詞： 不等式 函數(shù) 導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)選修知識中一個重要知識塊，應(yīng)用廣泛，教材中重點(diǎn)介紹了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值和切線的方程等基本知識，但在高考中，為了體現(xiàn)以考查能力立意的命題思想，導(dǎo)數(shù)的相關(guān)綜合題目通常都以其它數(shù)學(xué)分支如數(shù)列，不等式等為背景命制，以區(qū)分學(xué)生“轉(zhuǎn)化與化歸”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用能力。本文探討了以導(dǎo)數(shù)為工具解決可借助函數(shù)處理的不等式的相關(guān)問題.

一、題目中本來就出現(xiàn)的函數(shù)，絕對不能忽視

例1.已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x，求證：當(dāng)x＞-1時(shí)，恒有1-≤ln（x+1）≤x.

解題分析：構(gòu)造輔助函數(shù)，化不等式的證明為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值或范圍，從而證明不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的難點(diǎn)，充分利用題目中所給的函數(shù)來構(gòu)建是一個不可忽視的方向.

解后思：如果是函數(shù)在區(qū)間上的最大（?。┲担瑒t有（或），那么要證不等式，只要求出函數(shù)的最大值不超過0即可得證.

解答過程：略.

二、作差后待構(gòu)建的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不含參數(shù)，采用作差構(gòu)造單一函數(shù)

例2.已知函數(shù)f（x）=lg（x+1），g（x）=lg（2x+t），若當(dāng)x∈［0，1］時(shí)，f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解題分析：f（x）≤g（x）在x∈［0，1］恒成立，即-2x-t≤0在x∈［0，1］恒成立?圳-2x-t在［0，1］上的最大值小于或等于零.

解后思：左右均隨同一變元x而改變，適合采用作差構(gòu)建新函數(shù)，如果函數(shù)中含有參數(shù)，分離參數(shù)是處理這類問題時(shí)另一個應(yīng)當(dāng)考慮的問題.

三、不等式中含字母系數(shù)，作商可實(shí)現(xiàn)字母系數(shù)的分離，采用作商構(gòu)建新函數(shù)

例3.設(shè)=（1，x-3），=（-y，x），若，且對任意x∈（1，）時(shí)，y≥mx-16恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解題分析：本題可轉(zhuǎn)化為求f（x）=y-mx+16=x-（3+m）x+16在區(qū)間（1，）的最小值來做，但直接求其最小值需分多種情況討論，過程太復(fù)雜，若能注意到系數(shù)x∈（1，），則可把參數(shù)m與變量x分離，從而迅速求出其最值.

解：，?=0，y=x-3x.

當(dāng)1＜x＜時(shí)，x-3x≥mx-16恒成立，

即m+3≤x+恒成立.

記f（x）=x+（1＜x＜），則f′（x）=2x-=，

當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)2＜x＜時(shí)，f′（x）＞0，

當(dāng)x=2時(shí)，f（x）=f（2）=12，

m+3≤12，得m≤9，

m的取值范圍為（-∞，9］.

解后思：最值法是解不等式恒成立問題的一種非常重要的方法，其解題原理是：f（x）≥a恒成立?圳f（x）≥a；f（x）≤a恒成立?圳f（x）≤a.此方法特別適用于解f（x）的最值容易求出的不等式恒成立題型，對于某些最值不易求出的問題，我們可以考慮先實(shí)行參變量分離再求其最值.

四、數(shù)列是特殊的函數(shù)，換元后構(gòu)造函數(shù)證明

例4.證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln（+1）＞-都成立.

解題分析：本題是與自然數(shù)相關(guān)命題，很多學(xué)生習(xí)慣性思考數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，但是從所證結(jié)構(gòu)出發(fā)，只需令=x，則問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x＞0時(shí)，恒有l(wèi)n（x+1）＞x-x成立，現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)h（x）=x-x+ln（x+1），求導(dǎo)即可證明.

解后思：整體代換，再做差后構(gòu)建新的函數(shù)h（x），這是解決比較不等式左右兩邊均含有未知數(shù)的一種常見方法.

解答過程：略.

五、形如“f（x）＜g（x）”型不等式，適合分別構(gòu)建函數(shù)處理

例5.已知函數(shù)f（x）=x-x-3x+2，g（x）=-，若對任意x，x∈［-2，2］，都有f（x）＜g（x），求a的取值范圍.

解題分析：對任意x，x∈［-2，2］，都有f（x）＜g（x）成立，［f（x）］＜［g（x）］，f′（x）=x-2x-3，令f′（x）＞0得x＞3或x＜-1;f′（x）＜0得-1＜x＜3.

f（x）在［-2，-1］為增函數(shù)，在［-1，2］為減函數(shù).

f（-1）=3，［f（x）］=3，3＜-，c＜-24.

解后思：此類問題中不等式左右兩邊的變元變化并無關(guān)聯(lián)，適合構(gòu)建兩個函數(shù)分別求最值.

篇7

【關(guān)鍵詞】思維能力;高職數(shù)學(xué)教學(xué);實(shí)例展示

高職學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍較差，數(shù)學(xué)思維能力較弱，尤其是在高職教育提出“以應(yīng)用為目的，以必需、夠用為度”的教學(xué)原則，高數(shù)教學(xué)課時(shí)不斷壓縮的情況下，高職的數(shù)學(xué)教學(xué)變得越來越困難.本文從培養(yǎng)學(xué)生的思維能力入手，借助教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和數(shù)學(xué)思維的實(shí)例展示，全面調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，理清學(xué)習(xí)思路，抓住學(xué)習(xí)主線，培養(yǎng)學(xué)生的各項(xiàng)思維能力，不僅掌握更多數(shù)學(xué)知識，更要學(xué)生觸類旁通，學(xué)會思考和解決各類問題，不斷提高各項(xiàng)能力和素質(zhì).

一、高職數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容分析

考慮到高職高專院校的教學(xué)實(shí)際，高職數(shù)學(xué)教學(xué)以“理解概念、強(qiáng)化應(yīng)用”為原則.理論描述力求簡約，重視思維能力、基本方法和基本技能的訓(xùn)練，充分體現(xiàn)以應(yīng)用為目的，以必需、夠用為度的高職教學(xué)基本精神.

目前，我們高職高專院校中，理工科一般開課兩學(xué)期，文科視專業(yè)需要開課兩學(xué)期或一學(xué)期.針對生源（高中畢業(yè)生或中等職業(yè)學(xué)校畢業(yè)生）教學(xué)內(nèi)容和深度都有適當(dāng)調(diào)整.高數(shù)的教學(xué)內(nèi)容一般包括：函數(shù)、極限與連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分、定積分、常微分方程、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分、級數(shù)、線性代數(shù)初步、概率統(tǒng)計(jì)初步和數(shù)學(xué)建模等.其中前五項(xiàng)為基礎(chǔ)內(nèi)容，開課兩學(xué)期的專業(yè)，除了要學(xué)習(xí)基礎(chǔ)內(nèi)容外，根據(jù)專業(yè)需求和學(xué)時(shí)長短來選擇后面的學(xué)習(xí)內(nèi)容.開課一學(xué)期的專業(yè)，因教學(xué)時(shí)長有限，僅能學(xué)習(xí)基礎(chǔ)內(nèi)容外加一章專業(yè)急需的數(shù)學(xué)內(nèi)容.

二、培養(yǎng)學(xué)生思維能力的實(shí)例展示――以“最值問題”為例

首先，我們要分析――何為最值、我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)最值、函數(shù)在哪些點(diǎn)可能取得最值、這些點(diǎn)跟已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容有什么聯(lián)系、如何利用已學(xué)知識求得最值、在求解的過程中需要注意什么？

最值，顧名思義，最大值或最小值.在實(shí)際生活中，我們經(jīng)常會遇到如何使利潤最高、用料最省、速度最快等問題，反映在數(shù)學(xué)上就是求函數(shù)的最值問題.由前面函數(shù)的連續(xù)性內(nèi)容，我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值.所以，如果我們能確定一個函數(shù)在某個閉區(qū)間上連續(xù)，那么它在這個閉區(qū)間上一定存在最值.這里就培養(yǎng)了學(xué)生的分析、理解、判斷、推理和概括能力.那么函數(shù)到底在哪兒取得最值呢？我們可以利用前面剛剛學(xué)習(xí)的極值的問題，通過圖形來判斷.作圖的方式是數(shù)學(xué)課程中經(jīng)常用到的教學(xué)方法，這個過程又培養(yǎng)了學(xué)生的畫圖能力、圖形識別能力和抽象思維能力.通過圖形分析，我們發(fā)現(xiàn)，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處可能取得最值.所以我們必須求出來所有的極值點(diǎn)，然后比較極值點(diǎn)處的取值和端點(diǎn)處的取值，最終確定哪個是最值點(diǎn).這個過程同樣培養(yǎng)了學(xué)生的綜合、比較、判斷、推理能力.然后，我們需要?dú)w納出求最值的一般步驟.這個過程可以由學(xué)生自主完成，這可以鍛煉學(xué)生的概括能力和思維的條理性和嚴(yán)密性.求最值的一般步驟為：（1）求出函數(shù)在對應(yīng)開區(qū)間內(nèi)的所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)（這些是求極值點(diǎn)的過程），并計(jì)算出這些點(diǎn)的函數(shù)值及區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值;（2）比較這些函數(shù)值，最大者就是函數(shù)在此閉區(qū)間上的最大值，最小者就是最小值.那么這個過程需要注意什么呢？在發(fā)問的過程中，很多學(xué)生都迅速說出了他們的想法和觀點(diǎn)：（1）函數(shù)是否在閉區(qū)間上連續(xù)？因?yàn)檫@個直接影響了極值點(diǎn)的確定;（2）要求出所有的不可導(dǎo)點(diǎn)，因?yàn)椴豢蓪?dǎo)點(diǎn)有可能是極值點(diǎn);（3）別忘了求端點(diǎn)處的函數(shù)值，因?yàn)槎它c(diǎn)也有可能是最值點(diǎn).在發(fā)問的過程中加以引導(dǎo)，學(xué)生思路更加清晰，思維更加縝密，對原來所學(xué)極值的內(nèi)容掌握更加牢固，能夠站在更深的思想維度里考慮極值問題.接下來，我們需要給學(xué)生給出一些函數(shù)求最值，讓他們練習(xí)鞏固.這個過程少不了教師的引導(dǎo)和點(diǎn)評.再往后，就要進(jìn)入實(shí)際問題的最值求解.實(shí)際問題的設(shè)置要符合生產(chǎn)生活實(shí)際，最好能契合學(xué)生專業(yè)，以能啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣為主要出發(fā)點(diǎn).這個過程要注意：最值的求解必須符合實(shí)際意義.在實(shí)例求解的過程中，要注意培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、分析問題能力和推理能力.最后，我們可以對最值問題做適當(dāng)擴(kuò)展和發(fā)散，以進(jìn)一步啟發(fā)、培養(yǎng)和鍛煉數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好或興趣較高的同學(xué)的思維能力和思維方式.

三、思維能力培養(yǎng)貫穿高職數(shù)學(xué)教學(xué)始終

我們認(rèn)為，只有在教學(xué)過程中時(shí)刻兼顧學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，時(shí)刻強(qiáng)調(diào)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，將教師的思維過程和學(xué)生的思維過程全面展示和結(jié)合，才能真正做到讓學(xué)生融入到有限的課時(shí)中去，才能徹底激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，才能真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)的教學(xué)目的和意義.本文主要針對高職數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，實(shí)例展示如何在教學(xué)過程中體現(xiàn)對學(xué)生的理解力、分析力、綜合力、比較力、概括力、抽象力、推理力、論證力及判斷力等各種思維能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生真正會思考、會抽象、會判斷，變得更加智慧，處理問題更加游刃有余.

【參考文獻(xiàn)】

[1]康德.論教育[A].劉克蘇等譯.北京：改革出版社，1997.

篇8

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù) 高中數(shù)學(xué) 解題 應(yīng)用

1.引言

近些年來，導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)中的新增知識點(diǎn)成為了各地高考命題的重點(diǎn)。相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，在2006年和2007年兩年的高考中，全國各地的試卷都涉及到了對于導(dǎo)數(shù)知識的考查[1]。導(dǎo)數(shù)是微積分中的基礎(chǔ)知識，對于實(shí)際問題的解決及函數(shù)問題的研究具有推動作用。對導(dǎo)數(shù)知識的考查一般都從不同的角度進(jìn)行，而且也會和解析幾何、函數(shù)、不等式等相關(guān)知識點(diǎn)綜合起來進(jìn)行命題，需要學(xué)生在牢固掌握導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識的基礎(chǔ)上能夠靈活的加以運(yùn)用，并且還要將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到解決實(shí)際問題之中。所以對于高中學(xué)生來說，在高考復(fù)習(xí)過程中，要加強(qiáng)對導(dǎo)數(shù)知識的溫習(xí)與鞏固，并增強(qiáng)在解決數(shù)學(xué)問題中將相關(guān)知識靈活運(yùn)用的能力[2]。

2.導(dǎo)數(shù)在解決高中數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用

2.1對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷時(shí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)中函數(shù)的單調(diào)性一直是重點(diǎn)內(nèi)容，它表示的是在一定的區(qū)間內(nèi)，隨著自變量的變化，因變量產(chǎn)生的變化情況。在還沒有將導(dǎo)數(shù)的知識引入其中前，常根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷。即在特定的區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)中的因變量隨著自變量變大也跟著變大則該函數(shù)為增函數(shù)，因變量隨著自變量的增大而變小則是減函數(shù)，而相應(yīng)的區(qū)間則是其相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間。這種方法對于簡單的函數(shù)進(jìn)行單調(diào)性判斷尚可，一旦遇到較復(fù)雜的函數(shù)，則這種判斷方法會極為繁雜，而且往往難以予以準(zhǔn)確證明。而引入導(dǎo)數(shù)的概念后，就可以利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性的判斷了，這種判斷方法既準(zhǔn)確又迅速。在用導(dǎo)數(shù)對函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷時(shí)，如果是要判斷f（x）這一函數(shù)在區(qū)間[m，n]上的單調(diào)性，則只需對其在此區(qū)間上求導(dǎo)，所得的導(dǎo)數(shù)如果大于零，則該函數(shù)在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞增，反之則是單調(diào)遞減。在利用導(dǎo)數(shù)對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷時(shí)，最重要的是要對一些常見函數(shù)的求導(dǎo)方法清楚并能夠熟練掌握，同時(shí)要說明函數(shù)具有的單調(diào)性及其相應(yīng)的區(qū)間。

2.2證明不等式時(shí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

近年來，高考的命題趨勢是考題的綜合化和知識運(yùn)用的靈活性考查。高中數(shù)學(xué)高考常見的命題形式之一就是將函數(shù)和不等式結(jié)合起來進(jìn)行考查。而在過去幾年的高考試題中，很多與不等式有關(guān)的題目都可以將導(dǎo)數(shù)運(yùn)用其中，達(dá)到簡捷明了解題的效果[3]。在使用導(dǎo)數(shù)證明不等式的過程中，通常的步驟是先把待證明的不等式稍加變形，轉(zhuǎn)換成判斷兩個函數(shù)大小的問題，然后構(gòu)建出一個輔助函數(shù)并進(jìn)行求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的正負(fù)，確定輔助函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性，從而對兩個函數(shù)大小進(jìn)行判斷，達(dá)到不等式證明的目的。尤其是在證明對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)等相關(guān)的不等式時(shí)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識進(jìn)行解答更加簡便，效率也更高。利用導(dǎo)數(shù)解題不僅可以幫助學(xué)生理解不等式、函數(shù)和方程等知識點(diǎn)的聯(lián)系[4]，還可以幫助學(xué)生在解題過程中對其性質(zhì)及概念進(jìn)行進(jìn)一步的理解。

2.3解決切線問題時(shí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

隨著高考命題中導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識的考查比重逐步增加，對于一些特殊曲線進(jìn)行切線問題探討的題目也不斷增加，包括對指數(shù)函數(shù)曲線、三角曲線、圓錐曲線和對數(shù)曲線等的切線研究等，而在這些切線問題中，傳統(tǒng)的解答方法不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且往往無法得出準(zhǔn)確答案。而導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)意義就是在曲線上某一點(diǎn)處切線的斜率[5]，這一點(diǎn)決定了它可以很好的利用到對切線問題的解答中，為之提供新的解題方法和解題思路，從而使高考命題具有更加廣闊多樣的空間。

2.4在求解函數(shù)最值中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

函數(shù)求解最值一直以來都是作為高考難點(diǎn)出現(xiàn)的，傳統(tǒng)的求解方式也有很多。而導(dǎo)數(shù)的引入為函數(shù)最值的求解提供了一種新的解題思路和解題方法，很多時(shí)候也是最為簡便快捷的解題方法。如最具典型的二次函數(shù)求解最值的題目，由于其所求的在某一區(qū)間內(nèi)的最值是要求得相應(yīng)區(qū)間的最小值或最大值，具有參數(shù)，所以也是一個難點(diǎn)。而解決這一問題的傳統(tǒng)方法是數(shù)形結(jié)合方法，解答過程十分繁瑣復(fù)雜。而導(dǎo)數(shù)可以用來對此函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性及其最值進(jìn)行判斷，并明確其最值與相應(yīng)區(qū)間的對應(yīng)關(guān)系即可，所以解決此問題十分簡潔明了。對于特殊的復(fù)合函數(shù)要求最值時(shí)，難以運(yùn)用傳統(tǒng)解題方法尋找突破口和出發(fā)點(diǎn)，而且解題過程復(fù)雜，而用導(dǎo)數(shù)只需要先將相應(yīng)的定義域求出，就可以快捷簡單的求解其最值。

3.結(jié)束語

在高中數(shù)學(xué)解題中，導(dǎo)數(shù)具有非常廣泛的應(yīng)用，除了文中羅列的幾種應(yīng)用之外，還可以應(yīng)用在立體幾何與解析幾何的向量問題中。它可以作為一個紐帶將高中數(shù)學(xué)和下階段的大學(xué)數(shù)學(xué)的知識內(nèi)容連接起來，便于學(xué)生在大學(xué)中學(xué)習(xí)微積分知識的快速入門與深刻把握。然而由于導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容在課本較后面，學(xué)生在解題時(shí)常會用比較習(xí)慣和熟悉的解題方法來解答，對于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用相對較少，所以在平常的學(xué)習(xí)和模擬考試中，要加大導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用力度，以便為高中數(shù)學(xué)問題的解決準(zhǔn)備多種方法，多種思路，加強(qiáng)解決實(shí)際問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]馮國東.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用分析[J].新課程研究（基礎(chǔ)教育）

[2]余修偉，高海霞.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用分析[J].華章

篇9

類型一、y=asinx+bcosx+c型

其解法是借助輔助角φ化為y=a2+b2sin(x+φ)+c（其中sinφ=aa2+b2,cosφ=ba2+b2），然后再利用然后再利用正弦函數(shù)的有界性即可求解。（注意：有時(shí)也可化為y=a2+b2cos(x－φ)+c）

例1函數(shù)y=sinx+3cosx在區(qū)間0,π2上的最小值為[CD#4]。

解析：y=sinx+3cosx=212sinx+32cosx

=sinx?cosπ3+cosx?sinπ3

=2sinx+π3，

又x∈0,π2，π3≤x+π3≤5π6。

當(dāng)x+π3∈π3,5π6時(shí)，12≤sinx+π3≤1，ymin=1。

點(diǎn)評：此類型三角函數(shù)最值主要是將函數(shù)收縮為y=a2+b2sin(x+φ)+c后再利用正弦函數(shù)有界性，但要注意自變量本身范圍的限定（如本題x∈0,π2）對sin(x+φ)范圍的影響。

類型二、y=asin2x+bsinx+c型（其中sinx可部分或全部換為cosx）

其解法是換元法，令t=sinx（或t=cosx）化為二次函數(shù)y=at2+bt+c在（或其子區(qū)間）上的最值問題。

例2（1）函數(shù)y=2－sinx－cos2x的最小值為[CD#4]。

（2）已知k

（A）1[WB]（B）－1

（C）2k+1[DW]（D）－2k+1

解析：（1）y=2－sinx－cos2x=2－sinx－(1－sin2x)=sin2x－sinx+1，令t=sinx，則y=t2－t+1=t－122+34，t∈［－1,1］，

易知當(dāng)t=1時(shí)，ymin=34。

（2）y=cos2x+kcosx－k=2cos2x+kcosx－k－1=2cosx+k42－k28－k－1，k

k4

故選A。

點(diǎn)評：此類型轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值后，千萬要注意對稱軸x=－b2a是否在區(qū)間［－1,1］內(nèi)，以免求出最值出現(xiàn)錯誤。

類型三、y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型

其解法是用降次升倍公式先化為y=Asin2x+Bcos2x+C=A2+B2sin(x+φ)+C的形式，然后求解同類型一。

例3求函數(shù)y=cos4x+2sinxcosx－sin4x的最值。

解析：y=cos4x+2sinxcosx－sin4x

=(cos2x+sin2x)(cos2x－sin2x)+2sinxcosx

=cos2x+sin2x=2sin2x+π4，

x∈0,π2,2x+π4∈π4,5π4。

2x+π4=5π4，即x=π2時(shí)，ymin=1；

2x+π4=π2，即x=π8時(shí)ymax=2。

點(diǎn)評：此類型解法關(guān)鍵是降次擴(kuò)角將其轉(zhuǎn)化為類型一。

篇10

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和最值不僅是新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)，特別是在抽象函數(shù)中對單調(diào)性、奇偶性和最值的應(yīng)用是絕大數(shù)學(xué)生困惑、難以解決的問題. 因此，熟練掌握這類題目的解題策略是非常重要的. 我們舉例說明函數(shù)三大性質(zhì)在解題中的靈活應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】

抽象函數(shù) 單調(diào)性 奇偶性 最值 應(yīng)用

一、抽象函數(shù)的單調(diào)性

例1 定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>1，且對任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）?f（b）.

求證：（1）f（0）=1； （2）f（x）是R上的增函數(shù).

分析：多設(shè)問問題注意前一設(shè)問的應(yīng)用，本題沒有函數(shù)解析式，理解f（a+b）=f（a）?f（b）的含義，充分利用該條件.

證明： （1）由任意的a、b∈R，f（a+b）=f（a）?f（b），

令a=b=0，得f（0）=[f（0）]2，

又f（0）≠0，f（0）=1.

（2）x>0時(shí)，f（x）>1，

當(dāng)x

即 ，綜上所述，當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）>0.

設(shè)任意的x1，x2∈R，且x1

f（x2）-f（x1）=f（（x2-x1）+x1）-f（x1）

=f（x2-x1）?f（x1）-f（x1）

=f（x1）[f（x2-x1）-1].

又x2-x1>0，f（x2-x1）>1，

f（x1）[f（x2-x1）-1]>0，

即f（x2）-f（x1）>0，f（x2）>f（x1），

f（x）是R上的增函數(shù).

點(diǎn)評：對于抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的定義，結(jié)合題目所給性質(zhì)和相應(yīng)的條件，對任意x1，x2在所給區(qū)間內(nèi)比較f（x1）-f（x2）與0的大小，或 與1的大小.有時(shí)根據(jù)需要，而作適當(dāng)?shù)淖冃?，如x1=x2?x1x2或x1=x2+x1-x2等.

二、抽象函數(shù)的奇偶性

例2 已知函數(shù)f（x）對一切x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）.求證：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；

分析：有關(guān)抽象函數(shù)奇偶性的判斷和求值問題，常常采用“賦值法”.

解：由已知f（x+y）=f（x）+f（y），

令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），

即f（0）=0.用-x代替y，得f（0）=f（x）+f（-x），

f（-x）=-f（x），

故函數(shù)f（x）是奇函數(shù).

點(diǎn)評：抽象函數(shù)奇偶性的判斷方法：利用函數(shù)奇偶性的定義，找準(zhǔn)方向（得出f（-x）、f（x）），通過巧妙賦值，合理、靈活地變形配湊，找出f（-x）與f（x）的關(guān)系，進(jìn)而得出結(jié)論.

三、抽象函數(shù)的最值

例3已知奇函數(shù)f（x），當(dāng)x，y∈R時(shí)，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）.如果x為正實(shí)數(shù)，f（x）

分析：此題已經(jīng)給出了抽象函數(shù)是奇函數(shù)，下面我們求該函數(shù)的最值前需首先探討它的單調(diào)性.

解：設(shè)x1

則f（x2-x1）=f（x2+（-x1））=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）.

x2-x1>0，f（x2-x1）

即f（x）在R上單調(diào)遞減.

f（-2）為最大值，f（6）為最小值.

f（1）=-12，f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，

f（6）=2f（3）=2[f（1）+f（2）]=-3.

f（x）在區(qū)間[-2，6]上的最大值為1，最小值為-3.

點(diǎn)評：對于抽象函數(shù)求最值，由于沒有具體函數(shù)，一般是通過研究函數(shù)的單調(diào)性來確定其最值.而對于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明一般采用定義直接證明即可.

四、抽象不等式

例4 設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且f（x）= +f（y），若f（3）=1，f（x）- ≥2，求x的取值范圍.

分析：將函數(shù)不等式中的抽象函數(shù)符號“f”運(yùn)用單調(diào)性“去掉”，是本小題的切入點(diǎn).要構(gòu)造出f（M）

解：f（x）= +f（y），

令x=9，y=3，則f（9）=f（3）+f（3）.

又f（3）=1，f（9）=2.

又f（x）-f（y）= ，由f（x）- ≥2，得f（x2-5x）≥f（9）.

f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，

x-5>0，x2-5x≥9，x>0， 解得x 5+612，

故x的取值范圍是5+612，+∞.

點(diǎn)評：解此類問題要特別注意不得忽略函數(shù)的定義域.

抽象函數(shù)的學(xué)習(xí)，必須熟練把握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的定義及證明，并通過不斷的學(xué)習(xí)積累，對抽象函數(shù)的學(xué)習(xí)才能達(dá)到事半功倍的效果.

參考文獻(xiàn)

[1]劉紹學(xué)；；普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.數(shù)學(xué)必修1.人民教育出版社A版，2007；