1.問題解決能力培養(yǎng)的途徑

（1）基于真實、復(fù)雜問題的敘述。初中教學(xué)中的數(shù)學(xué)問題很貼近生活，可以運用信息技術(shù)來真實地描述這些問題。問題的真實性越強(qiáng)，學(xué)生的參與性越強(qiáng)。問題的真實性和高級問題解決能力的本身特點，要求每個問題情境中包含一個多個子問題。

（2）關(guān)注問題的邏輯性與生成性。對初中階段學(xué)生的培養(yǎng)需要關(guān)注其高階思維的發(fā)展。高階思維取向的問題解決能力不僅要求學(xué)生會解決問題，還要會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和分析問題。在問題情境中，每個子問題都是環(huán)環(huán)相扣，學(xué)生要不斷解決問題和明確新問題。

（3）關(guān)注環(huán)境與資源的設(shè)計。信息技術(shù)在對高級問題解決能力培養(yǎng)上提供支持方面，其主要手段是創(chuàng)設(shè)環(huán)境、提供信息資源和工具。在創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)生態(tài)系統(tǒng)時，信息技術(shù)必須營造“生態(tài)環(huán)境”，并為其提供養(yǎng)分，以維持其動態(tài)均衡狀態(tài)。

（4）以學(xué)科為中心。初中數(shù)學(xué)知識的理解需要建立在一定的社會文化背景之上。學(xué)科的整合有利于學(xué)生理解知識和問題。因而，數(shù)學(xué)概念和技能需要鑲嵌在任務(wù)情境之中，而且數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要涵蓋其他學(xué)科的內(nèi)容。

（5）基于協(xié)作。社會文化視角要求，個人的發(fā)展要同其他人發(fā)生聯(lián)系，學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中需要建立協(xié)作關(guān)系或是形成學(xué)習(xí)共同體。多項研究表明，協(xié)作形式和學(xué)習(xí)共同體更有利于問題解決能力的培養(yǎng)。

一、開堂合作，明確學(xué)習(xí)方向

在課堂上展開合作學(xué)習(xí)，可以在課堂的任何一個環(huán)節(jié)展開。其中，在開堂之后立即讓學(xué)生進(jìn)行合作探討，有利于學(xué)生明確課堂學(xué)習(xí)方向，能幫助學(xué)生找準(zhǔn)學(xué)習(xí)的要點。因此，開堂合作是較為重要的一環(huán)，也是合作教學(xué)的起點。

1.合作探討，激發(fā)興趣在“有理數(shù)”第一節(jié)“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的教學(xué)課堂上，作者在簡要介紹了本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容之后，將班級分成八個小組，每一個小組選出一名小組長，以小組為單位探討本課的主要內(nèi)容。作者提出問題：生活中有哪些例子可以體現(xiàn)出正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念？每一個小組可以自由討論五分鐘。五分鐘后，每一個小組派出組員來舉例說明生活中正數(shù)和負(fù)數(shù)的例子。隨后，班級內(nèi)各小組展開了討論，在討論的過程中，作者發(fā)現(xiàn)有些小組通過課本來找例子，有些小組依靠生活經(jīng)驗來找例子，還有些小組直接在班級內(nèi)進(jìn)行了演示，課堂合作探討的氛圍很濃。五分鐘后，開始由每一個小組派組員來舉例子。A小組舉出了溫度計的例子，B小組舉出了汽車前進(jìn)和倒車的例子，C小組舉出了人向前行走和向后倒著走的例子，該組組員還在班級即興進(jìn)行演示說明：人前進(jìn)的距離可以看作正數(shù)，人后退的距離可以看作是負(fù)數(shù)……幾乎每一個小組都會有自己的看法和例子，開堂合作學(xué)習(xí)探討的效果很好。

2.重視點評，恰當(dāng)導(dǎo)入幾個小組的舉例完畢之后，作者抓住時機(jī)，趁著學(xué)生對正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念有了一定的了解和認(rèn)識之后，及時地引入第一節(jié)“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的課本內(nèi)容。作者首先總結(jié)了八個小組的舉例，挑選了幾個比較容易分析的例子作為教學(xué)的素材來展開教學(xué)。通過開堂的合作探討學(xué)習(xí)方式，課堂教學(xué)的導(dǎo)入不再是教師一味地灌輸，而是由學(xué)生自由探討來發(fā)現(xiàn)新知識，這就更加有利于激發(fā)學(xué)生的求知欲，提高學(xué)習(xí)興趣，可以收到較好的學(xué)習(xí)效果。

二、課中合作，突破課程核心

初中數(shù)學(xué)教師必須要采取合理的教學(xué)方法來幫助學(xué)生有效地掌握每一章的知識要點，突破知識的難點，將每一章節(jié)的知識理解透、學(xué)習(xí)好。在課堂進(jìn)行的過程中，合理地插入一些課堂合作學(xué)習(xí)的教學(xué)活動就顯得非常必要。

1.基于問題解決能力培養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)情境教學(xué)

（1）創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)現(xiàn)問題。問題解決中的問題是從情境中而來，因此教師需要針對學(xué)習(xí)內(nèi)容，充分利用信情境教學(xué)，對各種學(xué)習(xí)資源予以加工來營造真實的情境教學(xué)，使其具有豐富的社會文化背景，更利于學(xué)生理解問題及所處的環(huán)境。

（2）提出問題，表征問題。學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題后還需用數(shù)學(xué)語言描述出來，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。表征問題依賴于問題解決者的知識、經(jīng)驗、感知、記憶等，而且會涉及數(shù)學(xué)語言的表達(dá)。信息技術(shù)使我們能直觀形象地呈現(xiàn)師生觀點，利于交流。

（3）探究方法，制定方案。培養(yǎng)高層次的問題解決能力需要學(xué)生能解決復(fù)雜問題并制定相應(yīng)的方案或計劃。信息技術(shù)便于查閱類似問題，利于學(xué)生反思和總結(jié)問題解決方法，從而制定相應(yīng)的問題解決方案，利于學(xué)生分析問題能力的培養(yǎng)。

（4）實施方案，分析論證。在這個環(huán)節(jié)中，問題解決者利用前面形成的方案自主或小組進(jìn)行問題解決，教師主要是幫助學(xué)生分析和論證。信息技術(shù)在對解決問題提供支持方面，其主要手段是創(chuàng)設(shè)情境教學(xué)、提供信息資源和工具。

（5）評價反思，交流觀點。問題解決者在完成方案后，需對過程進(jìn)行反思，對結(jié)果進(jìn)行評價，思考和總結(jié)不同方法的適用情形。信息技術(shù)不僅提供了信息的存儲工具，而且提供了交流工具，使得師生之間及組內(nèi)、組間的交流暢通無阻。

1.改進(jìn)教學(xué)手段，趣味設(shè)置課堂環(huán)節(jié)

傳統(tǒng)教學(xué)的填鴨式的教學(xué)模式已不能滿足新課改初中數(shù)學(xué)教學(xué)要求，也難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率。為此，新形勢下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)急需對教學(xué)方式進(jìn)行改革，通過趣味設(shè)置課堂環(huán)節(jié)促進(jìn)師生雙方的互動交流，營造良好的課堂氛圍，提高課堂教學(xué)效率。初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該通過引入課堂趣味游戲、創(chuàng)設(shè)生活式的趣味情境、利用多媒體教學(xué)方式與道具鼓勵學(xué)生參與到教學(xué)環(huán)節(jié)中。例如，教師可以將數(shù)學(xué)定理進(jìn)行科學(xué)編制，以口訣或打油詩等形式表現(xiàn)，這樣不僅可以促進(jìn)學(xué)生的記憶，還可以增添課堂的趣味性?？傊抡n改背景下，初中數(shù)學(xué)教師要積極利用多樣的教學(xué)方法，調(diào)動學(xué)生的主動性，提高教學(xué)效率。

2.靈活布置作業(yè)，鞏固數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

初中數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)對于數(shù)學(xué)知識點的鞏固方法主要是高強(qiáng)度的作業(yè)練習(xí)，學(xué)生課外要利用很多時間完成作業(yè)，大部分學(xué)生對作業(yè)訓(xùn)練產(chǎn)生了厭惡感。同時，數(shù)學(xué)教師需要用更多的時間批改和評講作業(yè)，效率較低。新課改的實施，要求初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作要在學(xué)生實際學(xué)習(xí)狀況下靈活布置數(shù)學(xué)作業(yè)，應(yīng)追求作業(yè)質(zhì)量而非數(shù)量。因此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該將學(xué)生按照學(xué)習(xí)能力與理解能力分類。對于成績優(yōu)秀的學(xué)生，在數(shù)學(xué)作業(yè)布置中更偏向于重難點知識的鞏固，使其擁有更大的發(fā)展空間；對于成績中等的學(xué)生，在數(shù)學(xué)作業(yè)中則應(yīng)該體現(xiàn)細(xì)心與認(rèn)真，使其發(fā)現(xiàn)問題并進(jìn)行改正；對于成績較差的學(xué)生，則應(yīng)該在數(shù)學(xué)作業(yè)中注重基礎(chǔ)知識的練習(xí)，爭取學(xué)生學(xué)習(xí)成績的提高。分層作業(yè)的布置，減輕了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，也節(jié)省了有效時間，促進(jìn)了學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的鞏固，提高了學(xué)習(xí)效率。

3.培養(yǎng)發(fā)散思維，提高創(chuàng)新思維能力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程本身是一個不斷提出問題、分析問題與解決問題的過程，對于學(xué)生的思維能力有較高的要求。培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，也是為學(xué)生接觸事物與了解事物提供基礎(chǔ)，對其個人發(fā)展有重要的意義。新課改下，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該擯棄傳統(tǒng)教學(xué)中單純對學(xué)生解題能力培養(yǎng)的方式，重視對學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)。教師應(yīng)該充分認(rèn)識到學(xué)生在課堂中的主體地位，積極創(chuàng)造良好的教學(xué)環(huán)境，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識點的連接與知識體系；豐富對學(xué)生的考察方式，積極鼓勵學(xué)生利用創(chuàng)新的思維方式解決數(shù)學(xué)問題。例如：在某一數(shù)學(xué)題目中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生利用不同解題方式解答題目，并讓學(xué)生了解不同解題方法的優(yōu)劣，這樣不僅能提高學(xué)生的解題能力，還能培養(yǎng)其發(fā)散性思維。與此同時，教師要通過對學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，讓學(xué)生真正找到適合自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，以此讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中感受輕松與快樂，促進(jìn)學(xué)習(xí)效率的提高。

1引言

勾股定理是初中數(shù)學(xué)中非常重要的一個定理[1]。它很好地解釋了直角三角形中三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，對于幾何學(xué)當(dāng)中有關(guān)直角三角形的計算機(jī)證明問題，利用勾股定理往往能夠迎刃而解，使學(xué)生快速掌握解決方法。同時，在日常生活及工作當(dāng)中，勾股定理的應(yīng)用也非常廣泛。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，充分利用好勾股定理這一有效手段進(jìn)行解題顯得尤為重要。筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗，利用勾股定理，對初中數(shù)學(xué)當(dāng)中的“線段求長問題”、“求角問題”、“證明垂直問題”及“實際問題”進(jìn)行了分析與探究，希望以此能夠為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供有效依據(jù)。

2勾股定理在線段問題中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)中，一些“線段求長”問題使用常規(guī)方面解決常表現(xiàn)的較為棘手，而使用勾股定理往往能夠得以有效解決。例題1：如圖1，在三角形ABC中，已知：∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的三個頂點分別位于相互平行的三條直接l1、l2、l3上，并且l1與l2之間的距離為2，l2,與l3之間的距離為3，求AC的長度。解：過A作l3的垂線交l3于D，過C作l3的垂線交l3于E，由已知條件：∠ABC＝90°，AB＝BC，得：Rt△ABD與Rt△BEC全等；所以，AD＝BE＝3，DB＝CE＝5；進(jìn)而得：AB2＝BC2＝32＋52＝9＋25＝34；在直角三角形ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝68，所以：AC=217姨

3勾股定理在求角問題中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，有些求角問題使用常規(guī)方法難以解決，而使用勾股定理則能夠很快地解決。因此，將在求角問題中充分應(yīng)用勾股定理便有著實質(zhì)性的作用[2]。例題2：如圖2，在等邊△ABC中，有一點P，已知PA、PB、PC分別等于3、4、5，試問∠APB等于多少度？解：把△APC繞著點A旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至△ABQ，讓AB和AC能夠重合；此時，AP＝AQ＝3，BQ＝PC＝5，，∠PAQ＝∠BAC＝60°；所以，△PAQ是等邊三角形；所以，PQ＝3；在三角形PBQ當(dāng)中，PB、BQ分別等于4、5，所以，三角形PBQ是直角三角形，其中∠BPQ＝90°；所以，∠APB＝∠BPQ＋∠APQ＝90°+60°＝150°。

隨著我國素質(zhì)教育改革的不斷深入，我國越來越重視初中階段的義務(wù)教學(xué)，各中小學(xué)校紛紛響應(yīng)素質(zhì)教育改革的號召，一步一步地進(jìn)行探索和創(chuàng)新，以適應(yīng)新時期下的教育事業(yè)發(fā)展要求，滿足社會對人才的需求，突出素質(zhì)教育改革的重要作用。初中數(shù)學(xué)是素質(zhì)教育改革中的重要組成部分，必須予以高度重視，不容忽視。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，圖形變換是數(shù)學(xué)教材中的重點內(nèi)容，在幾十年的教學(xué)過程中，圖形變換這一內(nèi)容亙古不變，雖然不同版本教材中的圖形的變換這一內(nèi)容不盡相同，但是觀點卻保持一致，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的必學(xué)內(nèi)容。為提高初中數(shù)學(xué)圖形變換這一課程的教學(xué)水平，必須突破傳統(tǒng)的教學(xué)模式，創(chuàng)新教學(xué)方式，以保障授課質(zhì)量，使學(xué)生們能夠更好地理解和掌握圖形變換的教學(xué)內(nèi)容。

一、圖形變換的相關(guān)概念

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，所謂圖形變換就是指許多點的集合，是某一個幾何圖形關(guān)于某一點的變換，這一點不僅存在于原來的圖形中，在變換后的圖形中也能找到相對應(yīng)的位置。圖形變換可以分為兩種形式，一種是全等變換，一種則是相似變換。所謂全等變換是指某一幾何圖形在變換之后所得到的新圖形與原圖形，無論是在大小上面還是形狀上面都未有所改變，而且在新的圖形中尋找任意的兩個點，其之間的距離與原圖形中對應(yīng)的兩點距離完全相等；相似變換則是指某一圖形在經(jīng)過變換后所得到的新圖形，雖然與原圖形基本相同，但是大小卻會有所變化，因而在原圖形和新圖形中分別選取兩個相對的點之間的距離也并不相等。圖形變換有三種形式，一種是平移變換，一種是旋轉(zhuǎn)變換，另一種則是軸對稱變換。平移變換和旋轉(zhuǎn)變換具有相似性，平移變換是在圖形中選擇任意一點，然后尋找其變換圖形中的相對應(yīng)一點，然后將其連接起來，并且保證長度相等；旋轉(zhuǎn)變換則是指選擇圖形中的固定一點，以此點為基礎(chǔ)進(jìn)行全等變換。軸對稱圖形則是指原圖形中的每一個點都能以某一直線為對稱線來尋找新圖形中的每一個相對應(yīng)點。

二、提高初中數(shù)學(xué)中圖形變換教學(xué)質(zhì)量的有效措施

1.將圖形變換的內(nèi)容與學(xué)生的實際生活相聯(lián)系。在講解初中數(shù)學(xué)中圖形變換這一課的時候，教師不僅要重視對理論知識的傳授，還要培養(yǎng)學(xué)生的動手實踐能力。在初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中，要求教師重視對學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，要將教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的生活實際相融合，以使學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)的知識靈活地應(yīng)用于實際問題中，以培養(yǎng)學(xué)生的分析能力，提高學(xué)生獨立解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生實踐能力的提升。在實際生活中有許多圖形變換的案例存在，教師可以將其作為教學(xué)案例引入課堂，以幫助學(xué)生理解。例如，學(xué)生在進(jìn)行健美操運動的時候，便可以研究下哪些動作是軸對稱變換，那些又是平移變換或是旋轉(zhuǎn)變換。

2.充分利用多媒體教學(xué)，簡化圖形變換。二十一世紀(jì)是一個科技時代，科學(xué)技術(shù)日新月異，尤其是計算機(jī)信息技術(shù)，已經(jīng)成為人們生活中必不可少的重要組成部分，也是教師教學(xué)過程中的重要輔助工具。在初中數(shù)學(xué)圖形變換教學(xué)中，教師可以充分利用多媒體教學(xué)技術(shù)，利用多媒體教學(xué)技術(shù)來向?qū)W生展示圖形變換的動態(tài)過程，以幫助學(xué)生理解圖形變換的規(guī)律和性質(zhì)，掌握圖形變換的技巧。另外，教師還可以利用生活中的事例來幫助學(xué)生研究和理解圖形變換。例如在講解軸對稱圖形的時候，教師可以通過教師的窗戶或是門來將其簡化成幾何圖形，然后來尋找其對稱軸。

一、數(shù)學(xué)文化的概述

了解，讓其在數(shù)學(xué)過程中能夠更深層次地理解數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)文化內(nèi)容表現(xiàn)出來是不受任何限制的。內(nèi)容的豐富性使得數(shù)學(xué)文化的形式在數(shù)學(xué)教材中呈現(xiàn)為兩種:隱性和顯性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)理念，教師以一定的方式傳遞給學(xué)生，這其實就是所謂的隱性的數(shù)學(xué)文化；而顯性的文化知識能夠展現(xiàn)出明顯的方面，但數(shù)學(xué)文化知識僅在課堂的課本教學(xué)中很難顯現(xiàn)出來，難以達(dá)到學(xué)生的需求。因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，無論是隱性的還是顯性的數(shù)學(xué)文化，都依賴于學(xué)生的自身感悟。通過學(xué)生的感悟可以進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)文化中所包含具體應(yīng)用問題。

二、初中數(shù)學(xué)文化知識在教材中的具體編排情況

初中數(shù)學(xué)文化知識編排的具體內(nèi)容，其實可以對學(xué)生有促進(jìn)作用。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)運算之后，補充相關(guān)的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，可以對學(xué)生個思維起到一個激活的作用。因此，數(shù)學(xué)教材編研組應(yīng)當(dāng)注意對數(shù)學(xué)文化知識的補充。

1.關(guān)于人教版中數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的編排

經(jīng)過相關(guān)的統(tǒng)計工作，筆者對人教版中的數(shù)學(xué)文化知識進(jìn)行了總結(jié)。從總結(jié)的結(jié)果就可以知道，人教版中對于數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的編排并不是基于對學(xué)生的考慮，容易對老師的授課和學(xué)生的學(xué)習(xí)造成不好的影響，導(dǎo)致學(xué)生只注重數(shù)學(xué)運算，忽略數(shù)學(xué)思維的形成。雖然數(shù)學(xué)的本質(zhì)是計算，但是在其中所呈現(xiàn)的信息，傳遞給學(xué)生的知識面過于狹窄。數(shù)學(xué)教材中的閱讀材料僅是對歷史性的時間進(jìn)行簡單介紹，向?qū)W生介紹與之相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，并沒有對該知識點的教法進(jìn)行論述，無法提起學(xué)生的興趣，而事實上教材中的閱讀材料本應(yīng)是激發(fā)學(xué)生閱讀的。

密碼在當(dāng)今社會生活中的作用可以說十分巨大，除了眾所周知的軍事國防方面的應(yīng)用外，現(xiàn)代金融、貿(mào)易、生產(chǎn)等無不在大規(guī)模使用密碼．計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的廣泛應(yīng)用，使人們對密碼的依賴達(dá)到了新的高度，在千百萬臺計算機(jī)聯(lián)結(jié)成的因特網(wǎng)上，用戶的識別基本上是靠密碼．密碼被破譯就會產(chǎn)生危及安全的極嚴(yán)重的后果．計算機(jī)“黑客”的作為，即為密碼破譯的一例，連美國國防部的計算機(jī)都未能幸免，可見密碼編制的難度了．

由大整數(shù)因數(shù)分解的困難，人們研制成功一種“不可破譯”的密碼：RSA體制密碼（見本刊2000年第6期《大整數(shù)的因數(shù)分解問題》一文）．RSA密碼是一種公開密鑰密碼，說它“不可破譯”是形容破譯之難，不過的確至今尚沒找到破譯的理論工具．

一般密碼編制理論中，稱要傳遞的原文為“明文”，經(jīng)加密后實際傳遞的是密碼構(gòu)成的“密文”，收信方則將其解密，恢復(fù)為明文使其可理解，就完成了通信任務(wù)．這其中加密和解密要用通信雙方約定的方法，這一方法就稱為密鑰．更一般地，人們首先給定一個加密算法，不太嚴(yán)格地說，可把這一算法視為函數(shù)，函數(shù)的值就是密鑰，而解密算法可以說是加密算法的一個反函數(shù)，使用同一個密鑰（原函數(shù)的值）可將密文惟一地譯成明文．

密碼的關(guān)鍵就在于通信雙方約定密鑰而不被外界所知，外界對密碼的破譯也就指向密鑰了．而且為了防止外界可能的破譯，就應(yīng)盡力使外人不可能積累在同一密鑰下的許多密文，否則可用統(tǒng)計分析法等確定出密鑰，世界戰(zhàn)爭史、外交史上有許多破譯成功的例子．這樣就經(jīng)常變換密鑰，重要的通信要每天一換甚至通一次信換一次．

這么頻繁換的密鑰怎樣送給對方？如果隨其他信息（用無線電或網(wǎng)絡(luò)）易于失密，每次派專人送又不可能，怎樣解決這一問題呢？這就是RSA密碼的長處了，它把密鑰分成加密鑰和解密鑰．如A和B通信，A把加密鑰公開送達(dá)B（可用明碼電報或與上次通信同時），不怕外人知道，所以叫公開密鑰，而解密鑰留在自己處不送達(dá)B，B收到公開密鑰后，用它加密要給A的信息，然后送回A（這也無須特別秘密），則A可用手中的解密密鑰解密．

外人沒有解密密鑰，就無從破譯密碼了，那么加密鑰和解密鑰就沒有關(guān)系了嗎？當(dāng)然不是，否則就無法解密了．不過這種關(guān)系正是建立在大整數(shù)因數(shù)分解困難的基礎(chǔ)上．換句話說，由公開密鑰得出解密鑰要進(jìn)行一個充分大的整數(shù)的因數(shù)分解，你無法分解也就無法破譯．

坦率說，在我個人的解題經(jīng)歷中，“尚未成功”乃至失敗，實在是比激動人心的成功多得多．但是，“尚未成功”并非只給筆者留下消極的結(jié)果，而面對偶爾的順利筆者也總是要繼續(xù)尋找當(dāng)中的“解題愚蠢”（見文［1］、［2］），我不知道這些說來見笑的個人體驗是否對廣大讀者有點幫助，但我能肯定地說，這是我本來就少得可憐的解題財富中的主要資產(chǎn)，并且我的看法（包括本刊1998年開始的解題分析連載以及《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》一書）已引起了一部分同行的關(guān)注與共鳴，需要致歉的是，二三年來，關(guān)于解題與解題分析的大批讀者來信我不能一一作復(fù)，今天的話題很大程度上是一種有意的彌補．下面，筆者要進(jìn)行3個解題個案的分析，以展示如何由失敗走向成功，又如何對淺層的成功進(jìn)行深層的調(diào)控．

1．個案1—由失敗中獲取有用的信息

例1若a、b、c為互不相等的實數(shù)，且x／（a－b）＝y(tǒng)／（b－c）＝z／（c－a），求x＋y＋z．

解：由等比定理得

x／（a－b）＝y(tǒng)／（b－c）＝z／（c－a）

①

1.保證初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計的質(zhì)與量

初中數(shù)學(xué)作業(yè)有量而無質(zhì)，不僅會增加學(xué)生的作業(yè)負(fù)擔(dān)，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮不了作業(yè)練習(xí)的成效，還會導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒，發(fā)生抄襲應(yīng)付作業(yè)等違規(guī)行為，不利于學(xué)生思想道德品質(zhì)的培養(yǎng)。可以說，盲目隨意的初中作業(yè)設(shè)計會致使作業(yè)布置取得適得其反的效果。因此，在新課改全面實施的背景下，初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計應(yīng)該在確保作業(yè)適量的同時保證作業(yè)設(shè)計的質(zhì)量。初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)以鞏固學(xué)生課堂所學(xué)知識為基礎(chǔ)，考慮對學(xué)生獨立思考能力及良好學(xué)習(xí)習(xí)慣與思想道德養(yǎng)成方面精心篩選和設(shè)計數(shù)學(xué)作業(yè)。最好在數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計完成后要保證其量精與質(zhì)高，讓學(xué)生達(dá)到舉一反三的效果，還能為學(xué)生減輕負(fù)擔(dān)，輕松快樂地學(xué)習(xí)。

2.保證初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計對學(xué)生差異的關(guān)注

不同學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不同，各項能力也存在差異，因而不同學(xué)生應(yīng)該在數(shù)學(xué)作業(yè)練習(xí)中得到不同程度的發(fā)展。為了實現(xiàn)全體學(xué)生不同程度的發(fā)展，調(diào)動學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生不同的差異與需求進(jìn)行層次性的作業(yè)設(shè)計，為不同水平與能力的學(xué)生提供選擇性的作業(yè)練習(xí)。為此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該從如下兩方面入手：一方面，在數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計中要進(jìn)行多角度設(shè)問，使問題具有梯度性和層次性，幫助學(xué)生一步步前進(jìn)。另一方面，在數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計中要結(jié)合教材內(nèi)容與學(xué)生特點，設(shè)計有針對性的與學(xué)生能力相符的題目類型，如基礎(chǔ)型、選做型、附加型等，在提高優(yōu)等生探究力的同時鼓勵后進(jìn)生增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信心。

3.保證初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計的多樣靈活

初中數(shù)學(xué)新課改的實施促使初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作需要不斷地創(chuàng)新改革，數(shù)學(xué)作業(yè)的設(shè)計更需要與時俱進(jìn)，開拓創(chuàng)新。為此，初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計應(yīng)該擯棄傳統(tǒng)數(shù)學(xué)設(shè)計中的繁、難、偏、多的弊端，以促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展為目的進(jìn)行多樣靈活的作業(yè)設(shè)計，盡可能從拓展學(xué)生的知識面與探索能力上進(jìn)行多角度、多思維的作業(yè)設(shè)計。教師可以在遵循以上理念的基礎(chǔ)上設(shè)計趣味性的數(shù)學(xué)作業(yè)，生活化的數(shù)學(xué)作業(yè)，合作性的數(shù)學(xué)作業(yè)，以及開放性的數(shù)學(xué)作業(yè)，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的自主性，提高其關(guān)注生活、運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力與追求創(chuàng)新的能力。