導(dǎo)語：如何才能寫好一篇數(shù)列求和方法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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【關(guān)鍵詞】數(shù)列；求和；公式；方法

求數(shù)列的前n項(xiàng)和是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)之一，也是高考?？疾斓闹R(shí)點(diǎn)之一，有些數(shù)列比較有特點(diǎn)，我們可以總結(jié)一些方法來求和，也有些一些數(shù)列既非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列，那么這些數(shù)列該怎樣求和呢？下面舉例說明一些特殊和不特殊的數(shù)列求和的常用方法。

一、公式法

如果是等差、等比數(shù)列可直接利用其求和公式求和，而有些特殊的常見數(shù)列則應(yīng)記住其求和結(jié)果，以便于應(yīng)用。如

本題中，如果不能確定x的值，那么用公式求和時(shí)還得注意對(duì)x進(jìn)行分類討論，即：x=1和x≠1兩類。

這道例題是可以直接應(yīng)用公式進(jìn)行求和的，所以這種求和方法稱之為“公式法”，在數(shù)列求和中能直接用公式求和的是最為簡(jiǎn)單的數(shù)列求和了。

二、分組求和法

有些數(shù)列，通過合理分組，從而改變?cè)瓟?shù)列的形式，轉(zhuǎn)換成新數(shù)列，再利用我們熟悉的等差、等比公式法求和。

分組求和要注意對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)的研究，從通項(xiàng)入手發(fā)現(xiàn)數(shù)列求和時(shí)應(yīng)該怎樣分組才合適。

三、倒序相加法求和

這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（倒序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè).

四、裂項(xiàng)相消法求和

這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的。通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：

這道例題是應(yīng)用裂項(xiàng)相消的方法求和的，在高考中尤其是文科對(duì)這種求和方法的掌握要求是比較高的，從例題不難看出一般能用到此種方法求和的題型應(yīng)該是分式型、入手時(shí)數(shù)列通項(xiàng)應(yīng)該可以裂開的這種，掌握題型可以在更短的時(shí)間內(nèi)選擇有效的求和方法來節(jié)約時(shí)間提高解題效率。

五、錯(cuò)位相減法

這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}、{bn}}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。

錯(cuò)位相減法是以上所有數(shù)列求和方法中最容易出錯(cuò)也最復(fù)雜的一個(gè)，也是高考中對(duì)理科生?？疾斓囊环N方法，應(yīng)用這種方法時(shí)要注意觀察題型是否是{an?bn}型，且其中{an }、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列時(shí)才可用此種方法，在應(yīng)用方法過程中還要注意當(dāng)兩式相減后最后一項(xiàng)的符號(hào)問題，這是最容易出錯(cuò)的地方。

六、歸納法

[例6]求數(shù)列1/1×2，1/2×3，1/3×4，…，1/n（n+1），…的前n項(xiàng)和。

解：

S1=a1=1/2，S2=S1+a2=2/3，S3=S2+a3=3/4，S4=S3+a4=4/5，…

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1、1.公式法：使用已知求和公式求和的方法。2.列項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆分為兩項(xiàng)之差，使之在求和時(shí)產(chǎn)生前后相互抵消的項(xiàng)的求和方法。3.錯(cuò)位相減法：適用于{等差*等比}這類數(shù)列。4.分解法：分解為基本數(shù)列求和。5.分組法：分為若干組整體求和。6.倒序相加法：把求和式倒序后兩式相加。7.特殊數(shù)列求和。

2、項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1。

（來源：文章屋網(wǎng) ）

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關(guān)鍵詞：等比數(shù)列；求和；方法

數(shù)列求和作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)，是高考考核的重要部分之一，作為教師應(yīng)加強(qiáng)關(guān)注學(xué)生，結(jié)合學(xué)生的個(gè)性特征，構(gòu)建和諧、平等的教學(xué)環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生分析、總結(jié)數(shù)列之間的關(guān)系，進(jìn)而讓學(xué)生自主探究、解證，凸現(xiàn)課堂教學(xué)中學(xué)生的主體性作用，鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新，探索多種等比數(shù)列求和的方法。

所謂等比數(shù)列指的是：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。其中，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。注：q=1時(shí)，an為常數(shù)列。在此，筆者結(jié)合自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談一下如何在等比數(shù)列求和教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)多中解題方法。

一、恒等變形法

所謂恒等變形法指的是：在保持原式結(jié)果恒等的情況下，優(yōu)化、改變?cè)}的表現(xiàn)形式。這樣一來，原式就具有明顯的共同點(diǎn)，便于更好地解決問題。對(duì)于此方法的運(yùn)用，可以首先師生共同分析、總結(jié)，改變?cè)?；之后引?dǎo)學(xué)生自主解題；最后，引導(dǎo)學(xué)生拓展思維，找出不同的變形式來解題，可以是自主地也可以是小組合作進(jìn)行，鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生思維能力的同時(shí)提高學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知。如：

解題：a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1。

1.師生共同分析、總結(jié)變形后的式子為：a1（1+q+q2+……+qn-1）之后，引導(dǎo)學(xué)生自主解決可以得出：a1（1+q+q2+……+qn-1）.分解因式等于：1-qn=（1-q）（1+q+q2+……+qn-1）.因此，a1（1+q+q2+……+qn-1）=a1（1-qn）/1-q，最后得出：sn=a1（1-qn）/1-q.

2.拓展學(xué)生思維空間，給予學(xué)生足夠的自，讓學(xué)生自主地或者小組合作找出其他的變形式，并解決問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。高中生已經(jīng)具備了一定的獨(dú)立思考能力，有了一定的思維結(jié)構(gòu)，很快學(xué)生就得出了不同的變形式。即：

a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn-a1qn=a1+（a1q++a1q2+…+a1qn-1+a1qn）-a1qn=a1+q（a1+a1q+…a1q2+…+a1qn-1）-a1qn=a1+qsn-a1qn，因此，a1+qsn-a1qn=sn，所以同樣得出：sn=a1（1-qn）/1-q，還可有：a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1=a1q+a1q2+……+a1qn-1+a1qn/q=sn-a1+a1qn/q，因此sn=sn-a1+a1qn/q最后也得出：sn=a1（1-qn）/1-q.這樣的方法還多種多樣，其關(guān)鍵在于教師的引導(dǎo)，數(shù)學(xué)本身屬于實(shí)踐性、探究性較強(qiáng)的學(xué)科，作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)抓住一切機(jī)會(huì)，給予學(xué)生自，培養(yǎng)學(xué)生積極探究的興趣和欲望，從而提高學(xué)生的綜合技能。

二、比例性推理法

所謂比例性推理法指的是：根據(jù)等比數(shù)列的本質(zhì)特征和性質(zhì)公式，實(shí)施推理，得出結(jié)論，能夠有效地鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力。如：等比數(shù)列的概念指出：a2/a1=a3/a2=……=an/an-1=q；通過等比定理可以推出：a2+a3+…+an/a1+a2+…+an-1=q；因此得出：sn-a1/sn-an=q；其中an=a1qn-1，將其帶入化簡(jiǎn)式可以得出：sn（1-q）=a1（1-qn），最后得出：sn=a1（1-qn）/1-q.同樣可以引導(dǎo)學(xué)生通過分比定理來自主解決問題，即：通過分比定理推出：a2-a1/a1=a3-a2/a2=…=an-an-1/an-1=q-1/1；之后，運(yùn)用同樣的道理，運(yùn)用等比推理換化、得出化簡(jiǎn)式：-a1+an/sn-an=q-1，進(jìn)而將an=a1qn-1帶入，得出最后的結(jié)果。

三、總結(jié)推理法

所謂總結(jié)推理法指的是：對(duì)原式進(jìn)行分解，逐一驗(yàn)證得出結(jié)果，根據(jù)其分解式的結(jié)果進(jìn)行推理、總結(jié)，得出最后結(jié)論。等比數(shù)列有一定的規(guī)律性，那么其分解因式的結(jié)果也肯定有一定的規(guī)律性，這樣，根據(jù)結(jié)果的規(guī)律性可以直接推導(dǎo)出最終結(jié)果。如：首先假設(shè)n=3，可以得出：s3=a1+a1q+a1q2=a1（1+q+q2）=a1（1-q3）/1-q；進(jìn)而，繼續(xù)假設(shè)，當(dāng)n=4時(shí)，原式為：s4=a1+a1q+a1q2+a1q3=a1（1+q+q2+q3）=a1（1-q4）/1-q；通過這兩組的確切數(shù)字分解可以直接得出：sn=a1（1-qn）/1-q.對(duì)此，教師還可以打破教材的束縛，拓展學(xué)生的思維，讓學(xué)生在不斷的探究過程中嘗到成功的喜悅，進(jìn)而增強(qiáng)自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。解決等比數(shù)列的問題時(shí)，只需引導(dǎo)學(xué)生尋找規(guī)律，進(jìn)行推理即可。因此，在教學(xué)中，教師要大膽鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新，并對(duì)創(chuàng)新的同學(xué)進(jìn)行表揚(yáng)，激勵(lì)學(xué)生自主創(chuàng)新的意識(shí)。就上述等比數(shù)列的例題，教師可讓學(xué)生自主探究，當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論是什么？當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論又是什么？詳細(xì)分析、總結(jié)推導(dǎo)過程，豐富學(xué)生的解題方式。

四、結(jié)語

總之，等比數(shù)列求和的方法是多種多樣的。作為教師，應(yīng)創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生自主的深入探究，同時(shí)還可以舉辦“創(chuàng)新評(píng)比大賽”等活動(dòng)，激勵(lì)學(xué)生深入探究的積極性和欲望，鼓勵(lì)學(xué)生大膽拓展思維，升華學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］鄭毓信．?dāng)?shù)學(xué)教育：從理論到實(shí)踐［M］．上海：上海教育出版社，2001．

［2］涂榮豹，王光明，寧連華．新編數(shù)學(xué)教學(xué)論［M］．上海：華東師范大學(xué)出版社，2006．

［3］馬復(fù)．設(shè)計(jì)合理的數(shù)學(xué)教學(xué)［M］．北京：高等教育出版社，2003．

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[關(guān)鍵詞]數(shù)列求和；數(shù)列的分類；方法的選擇

中圖分類號(hào)：G623.5

數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，在新課標(biāo)高考和各種考查中都占有重要的地位。由于數(shù)列求和沒有通性通法，學(xué)生在解題時(shí)，只能盲目地照搬教輔資料上的方法。針對(duì)這種情況，筆者有一點(diǎn)求解心得，即依據(jù)通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)將求和數(shù)列進(jìn)行分類，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，有針對(duì)性地將通項(xiàng)公式整理變形后，同等差、等比數(shù)列相聯(lián)系，從而求和。

1.求和數(shù)列的分類

1.1 等差、等比型數(shù)列：即數(shù)列通項(xiàng)公式最終可化簡(jiǎn)整理成一次函數(shù)模型或者指數(shù)型函數(shù)模型的數(shù)列。

如：an=kn+b和an=kqn型的數(shù)列。

1.2 組合數(shù)列：即由一個(gè)等差和一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)造而成的數(shù)列。

設(shè){an}是等差數(shù)列、{bn}是等比數(shù)列

1.2.1 加減組合數(shù)列：即由一個(gè)等差和一個(gè)等比數(shù)列相加減組成的數(shù)列。

如：數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn=an+bn

1.2.2 乘除組合數(shù)列：即由一個(gè)等差和一個(gè)等比數(shù)列相乘除組成的數(shù)列。

如：cn=an·bn和

相除時(shí)，等差數(shù)列做分子，等比數(shù)列做分母，此時(shí)依然為等比數(shù)列。

1.3 分式型數(shù)列：即通項(xiàng)公式可整理成分式的數(shù)列。

如：

2.各類數(shù)列求和的解法分析

在新課標(biāo)中，常用的求和方法有：公式法、分組求和法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)法。

2.1 等差、等比型數(shù)列

此類數(shù)列最終可化簡(jiǎn)成等差、等比數(shù)列，故可采用公式法求和，即直接用求和公式求解。

例1、（2010陜西卷）已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1=1且a1，a3，a9成等比數(shù)列。

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn

解：（1）由已知得

解得d=1，d=0 （舍去）故{an}的通項(xiàng)an=1+（n-1）×1=n

（2）由（1）知

由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得

注意：求和時(shí)，搞清楚首項(xiàng)、公差、公比（是否為1）的值，以及求多少項(xiàng)的和，不一定是n項(xiàng)

2.2 組合數(shù)列

2.2.1 加減組合數(shù)列：采用分組求和法求和，即將數(shù)列分成幾個(gè)等差、等比、或常見的數(shù)列，然后分別求和再合并。

例2、求數(shù)列的前n項(xiàng)的和。

解：因?yàn)?/p>

所以

注意：分組求和法實(shí)際上是公式法的延伸運(yùn)用。

2.2.2 乘除組合數(shù)列：此類數(shù)列的求和在高考中占有相當(dāng)重要的位置，一般可采用錯(cuò)位相減法求和。此方法的目的是將原數(shù)列轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列后再求和。

例3、（2010新課標(biāo)全國卷）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1-an=3×22n-1

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令bn=nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn

解：（1）由已知，當(dāng)n≥1時(shí)，

an+1=[（an+1-an）+（an-an-1）+…+（a2-a1）]+a1

=3（22n-1+22n-3+…+2）+2=22（n+1）-1。

而a1=2，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=22n-1。

（2）由bn=nan=n·22n-1知

①

故有②

①-②得

。

即

注意：相減過程中項(xiàng)的正負(fù)號(hào)及項(xiàng)的取舍，以及相減后求和時(shí)，項(xiàng)的個(gè)數(shù)為項(xiàng)。

2.3 分式型數(shù)列：可采用裂項(xiàng)法求和。此方法的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之差，通過相加相消后，只剩下有限的幾項(xiàng)。

例4、（2010山東卷）已知等差數(shù)列{an}滿足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn.

（1）求an及Sn；（2）令bn=（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍3=7，a5+a7=26，所以有

，解得a1=3，d=2，

所以an=3+2（n-1）=2n+1；==。

（2）由（1）知an=2n+1，所以bn===，

所以，

即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和。

注意：裂項(xiàng)時(shí)可采用待定系數(shù)法進(jìn)行裂項(xiàng)，另外在相加相消的過程中，分清楚留下的項(xiàng)和消去的項(xiàng)。

2.4 其它求和方法：如倒序相加法，這是在推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式時(shí)所用的方法，但這種方法在解題中很少應(yīng)用。

3.數(shù)列求和的解題過程

通過以上的分析可看出，數(shù)列求和的關(guān)鍵不在于求和本身，而在于通項(xiàng)公式的求解。每一種方法使用的前提都和通項(xiàng)公式相關(guān)，每一種方法的選擇都是從通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)中觀察得來的，所以數(shù)列求和的解題步驟是：

（1）求通項(xiàng)公式an，（2）化簡(jiǎn)整理an，

（3）依據(jù)an的結(jié)構(gòu)選擇方法，下面是通項(xiàng)公式結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的方法：

an是等差、等比型則用公式法；an是加減組合形式則用分組求和法；

an是乘除組合形式則用錯(cuò)位相減法；an是分式形式則用裂項(xiàng)法。

另外在近幾年的高考中，也出現(xiàn)了多種求和方法綜合在一起考查的例子，如：

例5、（2009全國卷）在數(shù)列{an}中，

（1）設(shè)，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

解：（1）由已知有

利用累差迭加即可求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式：（）

（2）由（1）知，

=

而，又是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型，

易得用分組求和的方法得：Sn=n（n+1）+-4

綜上所述，依據(jù)通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)將求和數(shù)列進(jìn)行分類，可使數(shù)列求和問題的求解具有規(guī)律性和針對(duì)性。同時(shí)我們也可看出，數(shù)列求和是一個(gè)復(fù)雜的問題，并非所有數(shù)列我們都能求和。在新課標(biāo)中大多數(shù)求和的數(shù)列都是由我們所學(xué)過的等差、等比數(shù)列構(gòu)造而來的新數(shù)列，因此數(shù)列求和問題的基本思想是以轉(zhuǎn)化為基礎(chǔ)，合理地進(jìn)行變形，將新數(shù)列同我們所學(xué)過的等差、等比數(shù)列相聯(lián)系，從而達(dá)到以舊解新的目的。

參考文獻(xiàn)

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【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué) 數(shù)列求和 題型 解法技巧

數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)考察對(duì)象。它幾乎涵蓋了數(shù)列中所有的思想、策略、方法、技巧，對(duì)學(xué)生的知識(shí)和思維能力都有很高的訓(xùn)練價(jià)值?？荚嚂r(shí)把求和作為大題的一個(gè)不可缺少的一問單列，其重要性不言而喻。因此，我們根據(jù)不同題型總結(jié)出一些常見題型及解法技巧，以提高同學(xué)們數(shù)列求和的能力。

1.公式法（常規(guī)公式）

（1）直接利用等差數(shù)列和等比數(shù)列求和均可直接利用求和公式。

a 等差數(shù)列{an} 的前n項(xiàng)和Sn=(a1+an)?n2=na1+n(n-1)2d

b 等比數(shù)列{an} 的前n項(xiàng)和Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anqn1-q（q≠1）

2.倒序相加法

如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序求和法。這種求和方法在推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和也曾用過。

例1： 求sin21°+sin23°+…+sin288°+sin289° 的值。

【解題思路】

本題是求函數(shù)值的和，通過對(duì)其解析式的研究，尋找它們的規(guī)律然后進(jìn)行解決。

解：求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289° 的值。

解：設(shè)S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°①

將①右邊反序得

S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21° ②

即

S=cos21°+cos22°+cos23°+…+cos288°+cos289° ③

①+③得

2S=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+(sin23°+cos23°)+…+(sin288°+cos288°) +(sin289°+cos289°)=89，

S=4412。

3.錯(cuò)位相減法

錯(cuò)位相減法：

若{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}（差比數(shù)列）前n項(xiàng)和，可由Sn-qSn求Sn，其中q為{bn} 的公比。

例2：已知等比數(shù)列｛an｝ 的前n 項(xiàng)和為Sn=a?2n+b ，且a1=3

（1）求a 、b 的值及數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bn=nan ，求數(shù)列{bn} 的前n 項(xiàng)和Tn。

解：（1）n ≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-1 。而{an} 為等比數(shù)列，得a1=21-1?a=a ，

又a1=3 ，得a=3 ，從而an=3?2n-1 。又a1=2a+b=3,b=-3 。

（2）bn=nan=n3?nn-1 ，Tn=13(1+22+322+…+n2n-1)…①

12Tn=13(12+222+323+…+n-12n-1+n2n)…②

①-②得 ，12Tn=13(1+12+122+…+12n-1-n2n)，

Tn=23［1?（1-12n）1-12-n2n］=43(1-12n-n2n+1)

練習(xí)：求和：Sn=1+2a+3a2+…+nan-1 （a≠1）。

練習(xí)：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任何正整數(shù)n，點(diǎn)Pn（n，Sn）都在函數(shù) 的圖象上，且過點(diǎn)Pn（n，Sn）的切線的斜率為Kn.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）若bn=2knan ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

4. 裂項(xiàng)項(xiàng)消法

“裂項(xiàng)項(xiàng)消法”就是把數(shù)列的項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，并使它們求和的過程中出現(xiàn)相同的項(xiàng)，且這些相同的項(xiàng)能夠相互抵消，從而達(dá)到將求n個(gè)數(shù)的和的問題轉(zhuǎn)化為求少數(shù)的幾項(xiàng)的和的目的。

例3: 把正偶數(shù)列{2n} 中的數(shù)按上小下大，左小右大的順序排序成下圖“三角形”所示的數(shù)表．設(shè)amn 是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上到下的第m 行，從左到右的第n 列的數(shù)．

（1）若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第n 行各數(shù)之和為bn ，求數(shù)列{bn} 的通項(xiàng)公式．

（2）記cn-1=nbn+n(n-1) （n…2 ），數(shù)列{cn} 的前 n項(xiàng)和為 Sn．

解：（1）若數(shù)列{xn} 的通項(xiàng)公式為xn=2n ，則其前m 項(xiàng)和Tn=n(n+1)

bnn(n+1)2 ［n(n+1)2+1］-(n-1)n2［(n-1)n2+1］=n3+n

（2）cn-1=nn3+n+n(n-1)=nn3+n2=1n(n+1)

cn=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2

Sn=12 -13+13-14+…+1n+1-1n+2=12-1n+2

練習(xí)：對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n ，拋物線y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1 與 x軸交于An,Bn 兩點(diǎn)，則|A1B1|+|A2B2|+…+|A2004B2004| 的值為。

篇6

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)列；解題技巧

數(shù)列問題是高中必修課程中的重難點(diǎn)，是高中數(shù)學(xué)的重要環(huán)節(jié)，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系及高考命題中都占據(jù)著十分重要的地位，近些年，數(shù)列課程比重日漸增多，高考中經(jīng)常出現(xiàn)創(chuàng)新題型，因此，在學(xué)習(xí)中掌握高考數(shù)列的命題規(guī)律及解題相關(guān)技巧顯得尤為重要。

一、數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)一定要掌握牢

從2003年實(shí)行新課標(biāo)后，數(shù)列就被列入到必修五教材中，數(shù)列在教材中重點(diǎn)是等差等比數(shù)列的概念，通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式及應(yīng)用，數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系等；難點(diǎn)是等差等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，求一些特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和等；關(guān)鍵是等差等比數(shù)列的基本元素（a1，an，Sn，d，q）間的換算及恒等變形。

二、數(shù)列知識(shí)在高考中的地位一定要明確

數(shù)列知識(shí)是高中數(shù)學(xué)教材中的一個(gè)獨(dú)立章節(jié)，具有十分重要的地位，是必考內(nèi)容，無論是全國卷還是省卷都占據(jù)一席之地。

數(shù)列近三年在高考中的出題方向及趨勢(shì)是：一般數(shù)列問題會(huì)有5-15分值，如果兩道題常出現(xiàn)在選擇和填空中，一般考查基礎(chǔ)知識(shí)，分值為10分。若出現(xiàn)在解答題中，一般一道題，分值一般為10-15分。解答題近兩年在全國理科卷里出現(xiàn)的情況較少，但對(duì)于今后的學(xué)習(xí)卻不課忽視，因?yàn)閿?shù)列在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著基礎(chǔ)作用，我們斷不可輕視。

三、數(shù)列的常用解題技巧

（一）掌握數(shù)列常用的數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想方法成為近兩年高考考點(diǎn)，在解決數(shù)列問題時(shí)常用到的思想方法有：方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、類比思想、函數(shù)思想、不等式思想、分類討論思想等。解題不要囿于一種數(shù)學(xué)思想，兩種數(shù)學(xué)思想混合應(yīng)用的情況很常見。

如2013年的大綱卷（理）17題（10分）：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，求{an}的通項(xiàng)式。

這道題就是主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、 前n項(xiàng)和公式，以及利用裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和；考查的數(shù)學(xué)思想就是方程思想、轉(zhuǎn)化思想及邏輯思維能力的。

如2016年全國II卷，（理）17題（12分）：Sn等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=1，S7=28，bn=[lgan]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]=0，[lg99]=1。（I）求b1，b11，b101；（II）求數(shù)列{bn}的前1000項(xiàng)和。也是考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想的應(yīng)用。

（二）掌握數(shù)列的性質(zhì)

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，因此它具有函數(shù)的性質(zhì)，比如單調(diào)性、最值、周期性等等，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，作為數(shù)列與函數(shù)的交匯點(diǎn)的知識(shí)考查，是近幾年高考試題的熱點(diǎn)，也是考查學(xué)生綜合能力的出發(fā)點(diǎn)。

1.數(shù)列的單調(diào)性

數(shù)列的單調(diào)性是指：一般的，如果數(shù)列{an}滿足，對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有an+1>an（或an+1

如2013年全國II卷（理）16題（5分）：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為_______。就是考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及通過轉(zhuǎn)化利用函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性來做答。

2.數(shù)列的周期性是指：對(duì)于數(shù)列{an}如果存在確定的數(shù)T和n0，（T≠0，n0∈N+）使得n≥n0恒有an+T=an，則稱{an}是從第n0項(xiàng)起周期為T的數(shù)列

在高考中對(duì)數(shù)列周期性的考查主要涉及到以下兩種形式的題目：（1）已知周期，求數(shù)列中的項(xiàng)；（2）已知數(shù)列，求周期進(jìn)而解決其他問題。

2014年全國II卷，（文）16題（5分）：數(shù)列{an}滿足an+1= ，a2=2，則a1=_________。該題是填空題的壓軸題，主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系式，且無法轉(zhuǎn)化成特殊的數(shù)列，則可通過遞推關(guān)系式求出數(shù)列中的若干項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性特點(diǎn)，從而得到所求。

另外，數(shù)列的最值在高考中考查的次數(shù)較少，這里就不贅述了。

（三）數(shù)列的解題方法

1.熟練基礎(chǔ)方法

通項(xiàng)與求和公式的直接應(yīng)用，只要理解并熟用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式即可。

2.求數(shù)列的通項(xiàng)公式

累差疊加，累商疊乘法是高考中常用的方法，從而考查對(duì)數(shù)列的掌握情況。

3.劃歸轉(zhuǎn)化法解題

化歸轉(zhuǎn)化技巧就是把一些不能直接解的數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、已知的問題來求解。例如把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化成等差、等比數(shù)列的問題求解；或者把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解；把數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式看成是n的函數(shù)。

如2014遼寧高考（理）8題，（5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，若數(shù)列{2 an}為遞減數(shù)列，則（ ）

A.d0 C.a1d0

主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)列和函數(shù)的綜合考查。

4.運(yùn)用公式由sn求an

這種類型的題目常給出Sn與n的關(guān)系，或者Sn與an的關(guān)系，進(jìn)而求數(shù)列的通項(xiàng)公式?？衫霉?/p>

anS1 n=1

Sn-Sn-1 n≥2 求其通項(xiàng)。

5.用數(shù)學(xué)歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式

數(shù)學(xué)歸納法常常也用在求解數(shù)列通項(xiàng)公式類型的題目中，在由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，如果常規(guī)的方法難以解決，那么通常可以采用“數(shù)學(xué)歸納法”。如2008年遼寧卷（理）21題（12分），數(shù)列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比盜校n∈N ）

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè){an}，{bn}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；

（Ⅱ）證明：++…+

此題是考查等差數(shù)列，等比數(shù)列知識(shí)，綜合運(yùn)用合情推理通過觀察，找出規(guī)律，提出猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明來解題。

6.裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消是分解和組合思想在數(shù)列求和中的應(yīng)用，其實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每一項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能夠消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的。

2015年全國I卷（理）17題（12分），Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和。已知an>0，an2+an=4Sn+3。

（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和。

此題是考查利用an與Sn的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)相消法求和，先利用an與sn的關(guān)系，an=Sn-Sn-1（n≥2）推導(dǎo)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和即可。

7.e位相減求和法

在推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)采用的是錯(cuò)位相減的求和方法，該方法中“相減”突破了學(xué)生以往“求和即相加”的固有思想，高考中常會(huì)遇到。

由于錯(cuò)位相減法計(jì)算量較大，學(xué)生在考場(chǎng)上有限的時(shí)間里很容易因?yàn)橛?jì)算失誤失分，提高計(jì)算的準(zhǔn)確性尤為重要。

8.放縮法解決數(shù)列不等式

放縮法是不等式證明的一種基本方法，而數(shù)列不等式也常常通過放縮法來證明。通常我們把數(shù)列的通項(xiàng)放縮成可求和或可求積的數(shù)列，進(jìn)而證明結(jié)論。

2014年全國II卷（理），17題，（12分）已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=3an+1。

（I）證明：{an+}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；

（II）證明：++…+

此題是考查數(shù)列的遞推關(guān)系，不等式的證明及數(shù)列求和等知識(shí)，而不等式的證明就用到了放縮法進(jìn)行處理，一是求和中的放縮；二是求和后比較中的放縮。一般情況，數(shù)列求和中的放縮的“目標(biāo)數(shù)列”為“可求和數(shù)列”，如等比數(shù)列，可裂項(xiàng)相消法求和的數(shù)列等。

除以上方法外，還有分組求和法、利用構(gòu)造法和單調(diào)性、歸納法解決數(shù)列不等式問題。

四、考點(diǎn)變化

等比數(shù)列的考點(diǎn)仍是基本量的計(jì)算，等差數(shù)列的難度略有下降，遞推數(shù)列的設(shè)置難度略有提高，位于填空題的壓軸位置，這對(duì)今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到一定的引導(dǎo)作用，就要求我們除了要有準(zhǔn)確的計(jì)算能力，更應(yīng)重視方法的研究。

【參考文獻(xiàn)】

[1]趙昱.數(shù)列問題的教學(xué)思考.遼寧師范大學(xué)碩士學(xué)位論文，2013年

[2]華玲蓉.2010年高考數(shù)列問題類型及解題策略.基礎(chǔ)教育論壇，2010年11期

篇7

（）必做1 若數(shù)列{an}滿足an+1=2an，0≤an

≤，

2an-1，

≤an

[牛刀小試]

精妙解法 由a1=，得a2=，a3=，a3=，…，{an}是以3為周期的數(shù)列，所以a20=a2=.

極速突擊 數(shù)列核心在于“律”，數(shù)列考查一定會(huì)予以體現(xiàn). 本題及類似問題往往具有一定的規(guī)律，如周期性，與自然數(shù)列、偶數(shù)數(shù)列、奇數(shù)數(shù)列等有某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，大家應(yīng)善于總結(jié)規(guī)律，從數(shù)列的概念出發(fā)，根據(jù)條件，從特殊到一般，抽象概括，歸納規(guī)律.

誤點(diǎn)警示 非基本數(shù)列是難點(diǎn)，應(yīng)從特殊情況入手，以兩個(gè)基本數(shù)列、特殊數(shù)列為基礎(chǔ)，重點(diǎn)在思維，掌握觀察的步驟（整體―局部―整體），會(huì)歸納概括是突破點(diǎn).

（）必做2 觀察下列算式：

13=1，

23=3+5，

33=7+9+11，

43=13+15+17+19，

……

若某數(shù)m3按上述規(guī)律展開后，發(fā)現(xiàn)等式右邊含有“2013”這個(gè)數(shù)，則m=_______.

[牛刀小試]

精妙解法 某數(shù)m3按上述規(guī)律展開后，則等式右邊為m個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，注意每行的最后一個(gè)數(shù)的規(guī)律，1=12+0，5=22+1，11=32+2，19=42+3，…，m3的最后一個(gè)數(shù)為m2+（m-1）. 當(dāng)m=44時(shí)，m2+（m-1）=1979，當(dāng)m=45時(shí)，m2+（m-1）=2069，所以要使當(dāng)?shù)仁接颐婧小?013”這個(gè)數(shù)，則m=45.

極速突擊 本題考查了歸納推理. 解決此類問題時(shí)，要注意分析題目給定的信息，找到題目滿足的規(guī)律. 要從一個(gè)“點(diǎn)”入手，如分式中的分子或者分母，一列數(shù)中的第一個(gè)數(shù)或者最后一個(gè)數(shù)等.

等差數(shù)列

等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和的基本解題思路是：

（1）方程法，即將an與Sn統(tǒng)一表示為a1和d的方程（組），以求其基本量（五個(gè)基本量中，通常先求出a1和d，然后求其他的基本量）.

（2）函數(shù)法，即利用函數(shù)思想解決數(shù)列問題，等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和公式可分別表示成an=kn+b（一次函數(shù)），Sn=An2+Bn（不帶常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)）（n∈N?）等.

（3）性質(zhì)法，即運(yùn)用等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)解題，?？烧w代換，回避單個(gè)求值，較為常用的如：a，b，c成等差?2b=a+c；m+n=p+q?am+an=ap+aq（n，m，p，q∈N?）；有關(guān)和的性質(zhì)，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…仍成等差數(shù)列等.

（）必做3 等差數(shù)列{an}中，如果a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為（ ）

A. 297 B. 144

C. 99 D. 66

[牛刀小試]

精妙解法 由a1+a4+a7=39，得3a4=39，a4=13. 由a3+a6+a9=27，得3a6=27，a6=9，所以可得S9====9×11=99，選C.

或者由a1+a4+a7=3（a1+3d）=39，a3+a6+a9=3（a1+5d）=27，得到S9=9（a1+4d）=99.

極速突擊 等差數(shù)列問題一般都轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)a1與公差d的方程或方程組，方程思想與基本量思想在解決基本數(shù)列問題中作用突出. 利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解就要關(guān)注項(xiàng)的下標(biāo)的規(guī)律，數(shù)列中的下標(biāo)就是函數(shù)中的自變量x，性質(zhì)往往可以在下標(biāo)中體現(xiàn)，不過能利用性質(zhì)求解的問題，都可以通過整體運(yùn)算求解，不必過分強(qiáng)調(diào)性質(zhì)的機(jī)械記憶.

（）必做4 已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=1+cos2

an+sin2，則該數(shù)列的前18項(xiàng)和為（ ）

A. 2101 B. 1067

C. 1012 D. 2012

[牛刀小試]

精妙解法 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+2=an+1，這是一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an+2=2an，這是一個(gè)以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，

所以S18=a1+a2+…+a17+a18=（a1+a3+…+a17）+（a2+a4+…+a18）=9a1+×1+=9+36+1022=1067.

極速突擊 在等差數(shù)列中，首項(xiàng)和公差是基本量；a1，an，d，n，Sn五個(gè)量中知三求二，一般用方程思想求解，有時(shí)也可用首項(xiàng)、末項(xiàng)和中項(xiàng)來表示，并注意整體代換.

等比數(shù)列

等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的基本解題思路是：

（1）方程法，即將an與Sn統(tǒng)一表示為a和q的方程（組），以求其基本量（五個(gè)基本量中，通常先求出a1和q，然后求其他的基本量）.

（2）性質(zhì)法，即運(yùn)用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)解題，?？烧w代換，回避單個(gè)求值，較為常用的如：a，b，c成等比?b2=ac；m+n=p+q?aman=apaq（m，n，p，q∈N?）；有關(guān)和的性質(zhì)，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…仍成等比數(shù)列等.需要指出，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)具有對(duì)稱性，因此可用類比的思想理解和記憶.

（）必做5 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a5=S5，則=________.

[牛刀小試]

精妙解法 {an}是等比數(shù)列，且a5=S5，所以a1+a2+a3+a4=0，所以a1（1+q+q2+q3）=a1（1+q）（1+q2）=0，所以q=-1，所以S2010==0，即=0.

極速突擊 與等差數(shù)列一樣，在等比數(shù)列中，首項(xiàng)和公差是基本量；a1，an，q，n，Sn五個(gè)量中知三求二，一般用方程思想求解，但要注意等比數(shù)列的一些限制條件.

（）必做6 已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a4+a7=2，a5?a6=-8，則a1+a10的值為______.

[牛刀小試]

精妙解法 在等比數(shù)列中，a5?a6=a4?a7=-8，所以公比q

a7=4或a4=4，

a7=-2.由a4=-2，

a7=4解得a1=1，

q3=-2，此時(shí)a1+a10=a1+a1q9=1+（-2）3= -7. 由a4=4，

a7=-2解得a1=-8，

q3

=-，此時(shí)a1+a10=a1+a1q9=-8

1-=-7. 綜上，a1+a10=-7.

極速突擊 與等差數(shù)列一樣，在等比數(shù)列中，也是關(guān)注基本量：首項(xiàng)和公比；a1，an，q，n，Sn五個(gè)量中知三求二，一般用方程思想求解，注意等比數(shù)列運(yùn)算與等差數(shù)列的差異，等比數(shù)列問題中會(huì)用到更多的積、商、冪運(yùn)算，而等差數(shù)列較多的用和、差運(yùn)算，另外，還要注意等比數(shù)列公比對(duì)公式應(yīng)用的限制.

（）必做7 在各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，已知a3+a4=11a2?a4，且前2n項(xiàng)的和等于它的前2n項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)之和的11倍，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=_________.

[牛刀小試]

精妙解法 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前2n項(xiàng)和為S2n，前2n項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)之和為Tn，則S2n=，Tn=，由題意可知S2n=11Tn，即=，解得q=，（或令n=1，則S2=11T1，即a1+a2=11a2，化簡(jiǎn)得a1=10a2，故q=）. 又a3+a4=11a2?a4，所以a1 q2+a1q3=11aq4，化簡(jiǎn)得1+q=11a1q2，將q=代入可得a1=10，故an=a1qn-1==102-n.

極速突擊 等比數(shù)列問題關(guān)注兩個(gè)基本量a1，q，通過列方程或者列方程組求解，還要注意利用求和公式時(shí)公比是否可以取到1的情況.

遞推數(shù)列

（）必做8 數(shù)列{an}中，an+1+（-1）nan=2n-1，則數(shù)列{an}的前12項(xiàng)和等于（ ）

A. 76 B. 78 C. 80 D. 82

[牛刀小試]

精妙解法 由已知，得（-1）n+1an+1-an=（-1）n+1（2n-1） ①，an+2+（-1）n+1an+1=2n+1 ②，②-①，得an+2+an=（-1）n（2n-1）+（2n+1），取n=1，2，5，6，9，10，結(jié)果相加可得S12=a1+a2+a3+a4+…+a11+a12=2×1+1-（2×1-1）+2×2+1+（2×2-1）+…+2×10+1+（2×10-1）=78. 故選B.

極速突擊 從遞推關(guān)系尋求數(shù)列規(guī)律，觀察歸納是關(guān)鍵，“克隆”關(guān)系式是利用率極高的方法，通過“克隆”關(guān)系式，與原來的關(guān)系組合、變換，推出項(xiàng)與項(xiàng)之間的新關(guān)系，轉(zhuǎn)化為其子數(shù)列或者新數(shù)列為特殊數(shù)列，從而轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)列問題.

（）必做9 已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1+an=4n-3（n∈N?），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=______.

[牛刀小試]

精妙解法 由an+1+an=4n-3（n∈N?）得an+2+an+1=4n+1（n∈N?），

兩式相減，得an+2-an=4，

所以數(shù)列{a2n-1}是首項(xiàng)為a1，公差為4的等差數(shù)列；數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為a2，公差為4的等差數(shù)列.

由a2+a1=1，a1=2，得a2=-1，

所以an=2n，n為奇數(shù)，

2n-5，n為偶數(shù).

極速突擊 高考考查的趨勢(shì)已由“套路型”的構(gòu)造轉(zhuǎn)化為對(duì)觀察、歸納、抽象、概括、一般與特殊等思維能力的考查，可以先通過個(gè)別關(guān)系找出規(guī)律，一些數(shù)列往往不是整體體現(xiàn)一種規(guī)律，而是偶數(shù)項(xiàng)或者奇數(shù)項(xiàng)等子數(shù)列具有某些規(guī)律. 通過“克隆”關(guān)系式產(chǎn)生新的遞推關(guān)系，找出部分?jǐn)?shù)列的規(guī)律，化整為零解決.已知數(shù)列的遞推式求通項(xiàng)公式根據(jù)條件不同，常用方法有：（1）遞推式為an+1=an+f（n），累加法，其中f（n）可求和；（2）遞推式為an+1=an?f（n），累乘法，其中f（n）可求積；（3）an與Sn關(guān)系或者Sn與Sn-1關(guān)系，利用an=S1，n=1，

Sn-Sn-1，n≥2 等等.

（）必做10 已知定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=3f（x+2），當(dāng)x∈[0，2）時(shí)， f（x）=-x2+2x. 設(shè)f（x）在[2n-2，2n）上的最大值為an（n∈N?），且{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn=_______.

[牛刀小試]

精妙解法 由題， f（x+2）=f（x），即f（x）=f（x-2），在[2n-2，2n）上，n=1，f（x）max=1，a1=1；n=2，f（x）max=，a2=；n=3， f（x）max=

，a3=

，…，an=

，所以Sn==1-

.

極速突擊 數(shù)列是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，本題分段函數(shù)的最值正好為數(shù)列an（n∈N?）的相關(guān)項(xiàng).

（1）“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要. 解題要樹立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，既要合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意題目要求的目標(biāo).

（2）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，求通項(xiàng)an，可利用公式an=S1，n=1，

Sn-Sn-1，n≥2，但易忽視an=S1 （n=1）.

（3）對(duì)于等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn，當(dāng)公比是一字母時(shí)，必須分公比等于1和不等于1兩種情況討論.

數(shù)列求和

（）必做11 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且有a1=2，3Sn=5an-4an-1+3Sn-1（n≥2）.

若bn=n?an，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=________.

[牛刀小試]

精妙解法 3Sn-3Sn-1=5an-4an-1（n≥2），所以an=2an-1，=2. 又a1=2，所以{an}是以2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，所以an=2?2n-1=2n，bn=n?2n，

Tn=1?21+2?22+3?23+…+n?2n，2Tn=1?22+2?23+…+（n-1）?2n+n?2n+1，

兩式相減得-Tn=21+22+…+2n-n?2n+1，所以-Tn=-n?2n+1=（1-n）?2n+1-2，所以Tn=2+（n-1）?2n+1.

極速突擊 轉(zhuǎn)化與化歸是解決數(shù)列問題的基本思想方法，“錯(cuò)位相減”是數(shù)列求和最重要的方法之一，適應(yīng)于{anbn}型的數(shù)列求和，其中{an}是一個(gè)等差數(shù)列，{bn}是一個(gè)等比數(shù)列. 求解過程、步驟具有固定的模式和規(guī)律.

誤點(diǎn)警示 乘以公比、兩式相減后得到的數(shù)列一般不是等比數(shù)列，相減后注意第一項(xiàng)與最后一項(xiàng)，一般是等比數(shù)列的“異類”，中間求和的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該是n-1項(xiàng)，而不是n項(xiàng).

（）必做12 在等差數(shù)列{an}中，an=3n，其前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=，{an}的前n項(xiàng)和Tn=_______.

[牛刀小試]

精妙解法 Sn=，所以cn===

-，故Tn=?

1- +

- +…+

- =

1-=.

極速突擊 裂項(xiàng)相消求和是涉及分式、無理式求和問題的重要方法，不能轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列的求和問題，可通過裂項(xiàng)達(dá)到化簡(jiǎn)、求和的目的，常見形式如=

-

.

誤點(diǎn)警示 “裂項(xiàng)相消”代數(shù)式變形過程較靈活，特別關(guān)注裂項(xiàng)后的系數(shù)變化，關(guān)注裂項(xiàng)相消后保留項(xiàng)的情況，一般保留分母最小、最大的項(xiàng)，前、后保留的項(xiàng)數(shù)一致.

數(shù)列求和的方法有：

1. 公式法

（1）等差數(shù)列{an}的求和公式：Sn==na1+d；

（2）等比數(shù)列{an}的求和公式：Sn=na1，q=1，

，q≠1（切記：公比含字母時(shí)一定要討論）；

（3）k=1+2+3+…+n=；

（4）k2=12+22+32+…+n2=；

（5）k3=13+23+33+…+n3=

.

2. 錯(cuò)位相減法

已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)的和常用此法.

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，

當(dāng)q=1時(shí)，Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=b1（a1+a2+…+an）=；

當(dāng)q≠1時(shí)，因?yàn)镾n=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn，qSn=a1b2+a2b3+a3b4+…+an-1bn+anbn+1，

所以（1-q）Sn=a1b1+d（b2+b3+b4+…+bn）-anbn+1，

Sn=+.

3. 裂項(xiàng)相消法

首先往往把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，然后前n項(xiàng)求和時(shí)，許多項(xiàng)正負(fù)相消，剩下首尾若干項(xiàng).裂項(xiàng)相消法需要一定的技巧，重點(diǎn)和難點(diǎn)都在于對(duì)通項(xiàng)的分拆，常見拆項(xiàng)公式有：

（1）an===-；

an==?=?

-；

an==?=?

-

；

（2）an==?=

-

；

（3）an==-；

（4）an==1+?

-；

（5）=-；

（6）an=?=?=-；

（7）=tan（n+1）°-tann°.

4. 分組求和法

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，然后將“前n項(xiàng)的和”中的“同類項(xiàng)”先合并在一起，分別求和，再將其合并即可，這就是分組求和法.

5. 倒序相加法

這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法.如果一個(gè)數(shù)列{an}，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和（即k∈{1，2，3，…，n-1}，恒有ak+1+an-k=a1+an），則可把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到了一個(gè)常數(shù)列的和，這種方法稱為倒序相加法.

因?yàn)镾n=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an，Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1，

所以2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+（a3+an-2）+…+（an-2+a3）+（an-1+a2）+（an+a1），

所以Sn=.

數(shù)列單調(diào)性與最值項(xiàng)

（）必做13 已知等差數(shù)列{an} 的前n項(xiàng)和為Sn，且a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，則Sn取得最大值時(shí)的n=___________.

[牛刀小試]

精妙解法 由a1+a3+a5=105，得3a3=105，a3=35.

由a2+a4+a6=99，得3a4=99，a4=33，

所以解得d=-2，a1=39，所以an=a1+（n-1）d=41-2n.

由an≥0，得n≤=20，所以當(dāng)n≤20，an>0，所以前20項(xiàng)之和最大，此時(shí)n=20.

極速突擊 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，只要確定“臨界項(xiàng)”即可確定其和取最大值的條件. 另外，數(shù)列是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，也可以利用其前n項(xiàng)和公式、二次函數(shù)性質(zhì)或者基本不等式求解.

（）必做14 已知數(shù)列{an}滿足an=1+

，bn=（n+2）（an-1），當(dāng)bn取最大值時(shí)，n=________.

[牛刀小試]

精妙解法 由已知得bn=（n+2）（an-1）=（n+2）

，

==1+

，

當(dāng)n1，bn+1>bn；

當(dāng)n=7時(shí)，bn+1=bn，即b8=b7；

當(dāng)n>7時(shí)，bn+1

篇8

一、數(shù)列中的遞推關(guān)系

重難點(diǎn)剖析由遞推關(guān)系式確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，通常可對(duì)遞推關(guān)系式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，再由遞推關(guān)系求通項(xiàng). 利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，要注重對(duì)通解通法的研究，主要掌握由a1和遞推關(guān)系先求出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想求an的方法，以及“化歸法”“疊加法”“疊乘法”等.

例1（2008江西）在數(shù)列｛an｝中，a1=2，an+1=an+ln

1+，則an等于（）

A. 2+lnn B. 2+（n－1）lnn

C. 2+nlnn D. 1+n+lnn

簡(jiǎn)析因an+1=an+ln

1+，an+1=an+ln（n+1）－lnn，所以a2－a1=ln2－ln1，a3－a2=ln3－ln2，…，an－an－1=lnn－ln（n－1），由此可得an－a1=lnn，又因a1=2，所以an=2+lnn，故選A.

點(diǎn)評(píng)由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式主要有以下幾種情況：①已知首項(xiàng)a1，遞推關(guān)系為an+1=qan+b（n∈N∗），關(guān)鍵是將an+1=qan+b轉(zhuǎn)化為an+1+a=q（an+a）的形式；②已知a1且an－an-1=f（n），可用“逐差法”；③已知a且=f（n），可用“疊乘法”.

二、數(shù)列的求和

重難點(diǎn)剖析等比數(shù)列求和，分公比等于1和不等于1兩種情形，這點(diǎn)容易被忽略． 對(duì)其他特殊數(shù)列常用的求和方法有倒序相加法、錯(cuò)位相減法、分組轉(zhuǎn)化法、裂項(xiàng)求和法、公式求和法等． 其中裂項(xiàng)求和法的關(guān)鍵是對(duì)一般數(shù)列合理地拆分，還要注意相消后剩余多少項(xiàng)，剩余的項(xiàng)一般成對(duì)出現(xiàn)．

例2（2007福建）數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N∗）．

（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an；

（Ⅱ）求數(shù)列｛nan｝的前n項(xiàng)和Tn．

簡(jiǎn)析（Ⅰ）由an+1=Sn+1－Sn=2Sn，分析可得Sn=3n－1（n∈N∗），于是求得an=1，n=1，

2?3n－2，n≥2．

（Ⅱ）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan，當(dāng)n=1時(shí)，T1=1；當(dāng)n≥2時(shí)，有

Tn=1+4?30+6?31+…+2n?3n－2①

3Tn=3+4?31+6?32+…+2n?3n－1②

由①②可求得Tn=+

n－3（n≥2）． 又因T1=a1=1也滿足上式，故Tn=+

n－3n－1（n∈N∗）．

點(diǎn)評(píng)本題考查了分類討論、化歸的數(shù)學(xué)思想方法以及推理和運(yùn)算的能力． “把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列”即為分組求和法；一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列的求和可用錯(cuò)位相減法．

三、數(shù)列與函數(shù)和方程

重難點(diǎn)剖析數(shù)列是特殊的函數(shù)，是定義在自然數(shù)數(shù)集上的一列函數(shù)值. 通項(xiàng)公式及求和公式揭示了項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)的依賴關(guān)系的本質(zhì)屬性. 若用“函數(shù)與方程”的意識(shí)解決數(shù)列中的綜合問題，則“簡(jiǎn)單且具有操作性”.

例3（2007廣東）已知函數(shù)f（x）=x2+x－1，α，β是方程f（x）=0的兩個(gè)根（α>β），f ′（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)a1=1，an+1=an－（n=1，2，3，…）.

（Ⅰ）求α，β的值；

（Ⅱ）已知對(duì)任意的正整數(shù)n有an>α，記bn=ln（n=1，2，3，…），求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn.

簡(jiǎn)析（Ⅰ）由求根公式得α=， β=.

（Ⅱ）f ′（x）=2x+1，an+1= ，α2=1－α，β2=1－β，所以bn+1=ln= ln=ln= ln

=2bn，所以數(shù)列｛bn｝是首項(xiàng)為b1=ln=4ln，公比為q=2的等比數(shù)列. 故Sn==4?（2n－1）ln.

點(diǎn)評(píng)本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、一元二次方程、對(duì)數(shù)、數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，合情推理、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想方法，還考查抽象概括、推理論證及運(yùn)算求解的能力. 數(shù)列是特殊的函數(shù)，而不等式是深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)和數(shù)列的重要工具，三者綜合的求解題是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和能力的雙重檢驗(yàn)，而三者的求證題所顯現(xiàn)出的代數(shù)推理是高考命題的新趨向.

四、數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

重難點(diǎn)剖析使用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，第一步是驗(yàn)證；第二步是推證，且必須用到歸納假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法. 第二步從k到k＋1時(shí)，要注意項(xiàng)數(shù)的變化，這一步是關(guān)鍵.

例4（2008遼寧）在數(shù)列｛an｝，｛bn｝中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列.

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè)｛an｝，｛bn｝的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；

（Ⅱ）證明:++…+

簡(jiǎn)析（Ⅰ）由條件得2bn=an+an+1，a=bnbn+1. 于是a2=6，b2=9，a3=12，b3=16，a4=20，b4=25. 猜測(cè)an=n（n+1），bn=（n+1）2. 現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)n=1時(shí)，由上可得結(jié)論成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即ak=k（k+1），bk=（k+1）2，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=2bk－ak=2（k+1）2－k（k+1）=（k+1）（k+2），bk+1==（k+2）2.

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.

綜上可知an=n（n+1），bn=（n+1）2對(duì)一切正整數(shù)都成立.

（Ⅱ）n=1時(shí)，=2（n+1）n.

綜上，原不等式成立.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)還考查了綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納、總結(jié)、推理、論證的能力. 這是數(shù)列、不等式混合型考題，也是多年來在高考試卷中出現(xiàn)頻率最高的題型.

五、數(shù)列與不等式

重難點(diǎn)剖析數(shù)列與不等式的綜合題蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想，解題時(shí)通常要用到放縮法以及函數(shù)思想（如求函數(shù)的最值等）. 這就要求同學(xué)們能夠靈活地運(yùn)用數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)與不等式的方法去解決相關(guān)問題.

例5（2007重慶）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和滿足S1>1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N∗.

（Ⅰ）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列｛bn｝滿足an（2－1）=1，并記Tn為｛bn｝的前n項(xiàng)和，求證：3Tn+1>log（an+3），n∈N∗.

簡(jiǎn)析（Ⅰ）由a1=S1=（a1+1）（a1+2），解得a1=1或a1=2. 由已知a1=S1>1，故a1=2. 又由an+1=Sn+1－Sn得（an+1+an）（an+1－an－3）=0，an+1=－an應(yīng)舍去，故an+1－an=3，從而｛an｝是公差為3，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，故an=3n－1.

（Ⅱ）證法1，由an（2－1）=1得bn=log2，從而有

Tn=log2

因（3n+3）3－（3n+5）（3n+2）2=9n+7>0，故f（n+1）>f（n）. 特別地f（n）≥f（1）=>1，故3Tn+1－log2（an+3）=log2f（n）>0，即3Tn+1>log2（an+3）.

篇9

■ 專項(xiàng)模擬

A. ［4，+∞）

B. （－∞，－4］∪［4，+∞）

C. （－∞，0］∪［4，+∞）

D. 不能確定

3. 數(shù)列｛an｝中，an=n2+λn（n∈N+），若｛an｝為遞增數(shù)列，則λ的取值范圍為____________.

4. 數(shù)列｛an｝中，a1=2，an+1=4an－3n+1（n∈N+）.

（Ⅰ）證明｛an－n｝是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求｛an｝的前n項(xiàng)和Sn；

（Ⅲ）證明不等式Sn+1≤4Sn對(duì)任意n∈N+恒成立.

（Ⅰ）證明｛an｝是等差數(shù)列；

6. 設(shè)｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=n2－4n+4.

（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

（Ⅱ）設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列｛bn｝中，所有滿足bi?bi+1

8. 數(shù)列｛an｝，｛bn｝中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列.

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè)｛an｝，｛bn｝的通項(xiàng)，并證明你的結(jié)論；

在x=bn處的切線斜率.

（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝，｛bn｝的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若Tn是數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，證明：當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn>Tn+3n.

10. 數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N+）.

（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)；

11. 已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x），存在實(shí)數(shù)x0，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1，x2，總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+ f（x1）+f（x2）恒成立.

（Ⅰ）求x0的值.

12. 設(shè)an是關(guān)于x的方程xn+nx－1=0（n∈N+，x∈R+）的根，試證：

（Ⅰ）an∈（0，1）；

（Ⅱ）an+1

14. 函數(shù)f（x）=x2－4，曲線y=f（x）在點(diǎn)（xn，f（xn））?搖處的切線與x軸的交點(diǎn)為（xn+1，0）.

（Ⅰ）用xn表示xn+1；

（Ⅲ）若x1=4，bn=xn－2，Tn是數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，證明：Tn

（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

（Ⅲ）正數(shù)數(shù)列｛cn｝中，an+1=（cn）n+1（n∈N+），求數(shù)列｛cn｝中的最大項(xiàng).

（Ⅰ）求a2，a3，并猜想數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；

17. 已知函數(shù)f（x）=x3+x2，數(shù)列｛xn｝（xn>0）的第一項(xiàng)x1=1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線y=f（x）在（xn+1，f（xn+1））處的切線與經(jīng)過（0，0）和（xn，f（xn））兩點(diǎn)的直線平行. 求證：當(dāng)n∈N+時(shí)，

18. 已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點(diǎn)都可導(dǎo)的函數(shù)，且xf ′（x）>f（x）在x>0上恒成立.

（Ⅱ）當(dāng)x1>0，x2>0時(shí)，求證：f（x1）+f（x2）

N+）.

（Ⅰ）證明：an≥2（n≥2）；

（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）0成立，證明：an

（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（Ⅰ）求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；

■ 解題反思

1. 研究數(shù)列單調(diào)性時(shí)，既可利用定義，通過比較前項(xiàng)與后項(xiàng)的大小關(guān)系得知數(shù)列單調(diào)性，又可借助與數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性得知該數(shù)列的單調(diào)性. 由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以在利用函數(shù)的單調(diào)性來研究數(shù)列的單調(diào)性時(shí)，還要注意區(qū)別. 因?yàn)閿?shù)列定義域中的取值是不連續(xù)的，所以數(shù)列的圖象是一些離散的點(diǎn)，這樣就能理解即使數(shù)列不在其對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間上，也可能具備單調(diào)遞增（或減）的性質(zhì). 也正因?yàn)檫@點(diǎn)，同學(xué)們解題時(shí)不能直接對(duì)2. 數(shù)列與不等式的內(nèi)容經(jīng)整合可形成證明不等式、求參量取值范圍等問題. 數(shù)列不等式的證明方法相當(dāng)豐富，常見策略有：

（1）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)直接求和，將式子化簡(jiǎn)可證得不等式. 直接求和的方法有求和公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等，如第7、8題中的第（Ⅱ）問就是利用裂項(xiàng)相消法求和.

（2）通過放縮，將不便于求和的式子變形為易求和的式子，即將通項(xiàng)化為可裂項(xiàng)相消或可等比求和的結(jié)構(gòu)，縮，將通項(xiàng)化為可裂項(xiàng)求和的結(jié)構(gòu).

（3）由于數(shù)列不等式是關(guān)于正整數(shù)的不等式，所以可以利用數(shù)學(xué)歸納法證明，如第9題中的第（Ⅱ）問和第13題.

（4）可利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)證明以數(shù)列為載體的不等式問題，如第15題中的第（Ⅲ）問，先構(gòu)造函數(shù)f（x）

1. C

2. C

3. λ>－3

4. （Ⅰ）證明略，提示：an=4n－1+n

5. （Ⅰ）證明略

6. （Ⅰ）an=1，n=1，2n－5，n≥2

7. （Ⅰ）an=6n－5

（Ⅱ）m的最小值為10，提示：利用裂項(xiàng)求和將式子化簡(jiǎn)

8. （Ⅰ）a2=6，a3=12，a4=20，b2=9，b3=16，b4=25，猜測(cè)an=n（n+1），bn=（n+1）2，證明略，提示：用數(shù)學(xué)歸納法證明

9. （Ⅰ）an=2n，bn=2n－1

（Ⅱ）證明略，提示：其實(shí)質(zhì)是證2n+2>n2+3n+4，可用數(shù)學(xué)歸納法，也可用二項(xiàng)展開式進(jìn)行放縮

10. （Ⅰ）an=2n－1

11. （Ⅰ）x0=1

3n+1>2n+1

12. （Ⅰ）證明略

（Ⅱ）證明略

15. （Ⅰ）an=n

（17. （Ⅰ）證明略18. （Ⅰ）證明略

（Ⅱ）證明略，提示：利用（Ⅰ）中證得的單調(diào)性

（Ⅲ）證明略，提示：先用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)xi>0時(shí)，f（x1）+f（x2）+…+ f（xn）

19. （Ⅰ）證明略，提示：用數(shù)學(xué)歸納法證明

篇10

關(guān)鍵詞 數(shù)列極限；施篤茲法；級(jí)數(shù)求和

一、引言

極限是分析數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)。公元前5世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家安提豐（Antiphon）在研究化圓為方問題時(shí)創(chuàng)立了割圓術(shù)，即從一個(gè)簡(jiǎn)單的圓內(nèi)接正多邊形（正方形、正六邊形）出發(fā)，把每邊所對(duì)的圓弧二等分，聯(lián)結(jié)分點(diǎn)，得到一個(gè)邊數(shù)加倍的圓內(nèi)接正多邊形，當(dāng)重復(fù)這一步驟足夠多次時(shí)，所得圓內(nèi)接正多邊形面積與圓面積之差將小于任何給定的限度。在我國古代，樸素的、直觀的極限思想也有記載。例如，中國古代的《墨經(jīng)》中載有“窮，或有前，不容尺也”，《莊子?天下》中載有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，公元3世紀(jì)我國數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)，其中都包含了深刻的極限思想。極限是現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析奠基的基本概念，函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分以及無窮級(jí)數(shù)的和等都是用極限來定義的?？梢?，研究數(shù)列極限是十分有意義的。在數(shù)學(xué)分析中介紹了很多求數(shù)列極限的方法，常見的有：定義法、數(shù)列求和法、定積分定義法、單調(diào)有界原理、同限夾擠定理等。上述方法在求常見的數(shù)列極限時(shí)比較有效，但遇到一些特殊的數(shù)列就很難求出、甚至無從下手。為此我們介紹三種特殊的求極限的方法主要有施篤茲法、比值法、級(jí)數(shù)求和法。這些方法對(duì)于求一些特殊的數(shù)列極限有很重要的作用。

二、數(shù)列極限的三種求法

1.施篤茲法

施篤茲法被稱為求數(shù)列極限的洛必達(dá)法則，對(duì)一些不能用上述洛必達(dá)法則方法求的數(shù)列極限如■■，有時(shí)可用下面施篤茲法。

命題1（施篤茲法）給定數(shù)列Tn可以寫成Tn=■且■yn=∞，y■>y■，若■■存在，則■=■■。

例1 求■■

解令y■=1■+3■+……+（2n-1）■，z■=2■+4■+……+（2n）■

顯然z■∞，z■>z■滿足施篤茲定理，從而有

■■=■■=1

2.比值法

一般來說，n次根式的數(shù)列極限■■比較難求，我們通過下面的命題2將一些n次根式的數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的比值數(shù)列極限■■來處理，能起到很好效果。

命題2 設(shè)an>0若■■=l，則■■=l

例2 求■■

解令a■=■，

由于■■=■■?■=1

由命題2有■■=■■=l

3.級(jí)數(shù)求和法

當(dāng)被求數(shù)列的極限中的數(shù)列是n項(xiàng)和構(gòu)成時(shí)，一般考慮先求和再求極限，但有時(shí)數(shù)列的，項(xiàng)和比較難求如x■=1-■+■-……+（-1）■■我們可把它作為冪級(jí)數(shù)在某點(diǎn)的值，通過冪級(jí)數(shù)和的方法，例如對(duì)冪級(jí)數(shù)求導(dǎo)、積分等方法來求數(shù)列的n項(xiàng)和，這樣可以很方便求出n項(xiàng)和數(shù)列的極限，甚至是一些較為復(fù)雜的n項(xiàng)和數(shù)列的極限。

有時(shí)還可以用泰勒展式求數(shù)列的極限。

例3 求■（1-1-■+■-……+（-1）■■）

解作冪級(jí)數(shù)s（x）=■（-1）■■，顯然我們要求的數(shù)列即為冪級(jí)數(shù)s（x）在x=1處的值，又易知級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為（-1，+1】所以s（x）在x=1處的值有意義.，下面求冪級(jí)數(shù)s（x），

兩邊求導(dǎo)則有s（x）=■（-1）■■=■，

兩邊積分有s（x）=■■dt=1n（1+x），

所以■（1-1-■+■-……+（-1）■■）=■（-1）■|x=1=s（1）=ln2

例4 求■（1+1+■+■……+■）

解 因?yàn)閑x的泰勒展式為e■=1+x+■+……+■+……

而ex在x=1時(shí)，e■=1+1+■+■……+■+……

所以■（1+1+■+■……+■）=■■=e■=e

參考文獻(xiàn)：

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