導(dǎo)語：如何才能寫好一篇數(shù)列公式，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

數(shù)列中求通項(xiàng)公式的方法很多，有觀察分析法，公式法（an=Sn－Sn－1）、構(gòu)造函數(shù)法、利用遞推關(guān)系式等等。其中利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的題目多種多樣，靈活多變。利用遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式一般有累加法、遞歸法、階差法、累乘法、換元法、構(gòu)造新數(shù)列法等等。利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式是非常重要的內(nèi)容。在這里探索一下利用遞推關(guān)系構(gòu)造新數(shù)列法求通項(xiàng)公式的類型。

當(dāng)我們不能直接求出數(shù)列的通項(xiàng)公式an時(shí)，可考慮能否間接的求出an。先設(shè)法求出含有an的式子的通項(xiàng)公式，即輔助數(shù)列的通項(xiàng)公式，再倒推出an，其中有換元思想。我們求輔助數(shù)列，即構(gòu)造新數(shù)列，一般是看每一項(xiàng)的冪的形式或相鄰幾項(xiàng)的和、差、積、商能否構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列（這一點(diǎn)，根據(jù)的遞推公式的特征來嘗試），若能夠得到等差或等比數(shù)列，則在由此倒推回去，即可求得an、an－1.

一、 構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng)

例1 數(shù)列an中，a1=3，an－2anan+1－an+1=0，求an.

解：由an－2anan+1－an+1=0得1an+1―1an=2，1an是以13為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，1an=13+2（n－1）=6n－53，an=36n－5.

例2 數(shù)列an中，a1=－1，an=－

a2n-1+a2(n≥2, an為常數(shù)），求an.

解：由an=－

a2n-1+a2(n≥2)可得

a2n-a2n-1=a2（n≥2，an＜0），

{a2n}是以

a21=1為首項(xiàng)，以a2為公差的等差數(shù)列,

a2n=1+（n－1）a2=a2n+1-a2,

an＜0,an=-

a2n+1-a2.

二、 構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)

下面歸納一下構(gòu)造等比數(shù)列的幾種常見類型

Ⅰ：

an+1=xan+y型

這種類型中，x、y為常數(shù)，x≠0,x≠1，a1已知。其構(gòu)造等比數(shù)列的方法有幾種。

分析1：用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列

可令an+1+k=x(an+k),展開比較可得k=

yx-1則是以a1+k為首項(xiàng)，x為公比的等比數(shù)列。故

an+k可表示出來，從而可推出an.

分析2：運(yùn)用構(gòu)造發(fā)散，以任意項(xiàng)減去其前一項(xiàng)，構(gòu)造出等比數(shù)列，再運(yùn)用累加法計(jì)算

an+1=xan+y，

an=xan-1+y，兩式相減可得

an+1－an=x（an－an-1）

{an+1-an}是以

a2-a1=xa1+y+a1為首項(xiàng)，以x為公比的的等比數(shù)列

an+1－an=（xa1+y+a1）xn-1分別令n=1、2、3…n代入上式可得

a2-a1=（xa1+y+a1）x0

a3-a2=（xa1+y+a1）x1

a4-a3=（xa1+y+a1）x2

……

an-an-1=（xa1+y+a1）xn-1上面n―1個(gè)式子相加可得an。

比較以上兩種方法，很顯然分析1較簡(jiǎn)便一點(diǎn)，故一般用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列。

例3 數(shù)列{an}中，已知a1=9，且3an+1+an=4，求an.

解：由條件得

an+1=

-13an+

43令

an+1+k=-

13(an+k)展開比較，可得k=-1，

an+1－1=-

13（an－1），{an-1}是以a1－1=8為首項(xiàng)，以-13為公比的等比數(shù)列

an－1=8

-13n-1an=1+8

-13n-1

Ⅱ：an+1=xan+f（n）型

這里，這種類型有些可構(gòu)成等差數(shù)列（如例3），有些可構(gòu)成等比數(shù)列。若要構(gòu)成等比數(shù)列，盡量把其化為an+1+kf（n+1）=x（an+kf（n））這種形式，則

{an+kf（n）}是以a1+kf（1）為首項(xiàng)以x為公比的等比數(shù)列。故可an+kf（n）求出，從而可推出an.

三、 構(gòu)造常數(shù)列

非零常數(shù)列即使等差數(shù)列，也是等比數(shù)列，是很特殊的數(shù)列。有不少遞推數(shù)列可以構(gòu)造常數(shù)列很輕易地求出通項(xiàng)公式。前面構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式的例題我們都可以很輕易構(gòu)造常數(shù)列。因?yàn)?，如?/p>

{bn}為等比數(shù)列，則bn=qbn-1兩邊同時(shí)除以qn則得

比如，上面的例4：推到這一步

an+1－1=-13（an－1），兩邊同時(shí)乘以（-3）n+1得

（an+1－1）（-3）n+1=（an－1）（-3）n，

{（an-1）（-3）n}是常數(shù)列，

（an－1）（-3）n=（a1－1）（-3）=-24，an=1-

24（-3）n=1+8

-13n-1

例4 數(shù)列{an}中，a1=1，an=an-1+

1n疊加相消可求得an.

方法二：（構(gòu)造新數(shù)列）有條件得an=an-1+

1n是常數(shù)列，an+

篇2

一、觀察法

對(duì)一個(gè)只給出了前幾項(xiàng)的數(shù)列，應(yīng)觀察它的變化規(guī)律，哪些是不變量，哪些是隨項(xiàng)數(shù)變化而變化的量，從而得出數(shù)列的通項(xiàng)公式。同時(shí)，要注意檢驗(yàn)寫出的通項(xiàng)公式應(yīng)符合前面的幾項(xiàng)。

例1 寫出數(shù)列，，，，，……的一個(gè)通項(xiàng)。

解：數(shù)列各項(xiàng)為一個(gè)分?jǐn)?shù)，但其中，不利于觀察它們的規(guī)律，若把它們改寫為，，則原數(shù)列為：

，，，，，……

這個(gè)數(shù)列分母比分子大2，分子隨項(xiàng)數(shù)變化，符號(hào)成-，+，-，+，……變化，故

an=

二、利用an=關(guān)系

an與Sn的關(guān)系是a1=S1，an=Sn-Sn-1（n≥2），利用這一關(guān)系可以化“和”為“項(xiàng)”。一般已知里涉及an與Sn的用此法可求出通項(xiàng)。

例2 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若4Sn=an2+2an對(duì)任何自然數(shù)n都成立，求通項(xiàng)。

解：4Sn=an2+2an………………（1）

4Sn+1=an+12+2an+1……… …（2）

由（2）-（1）得：4an+1=an+12-an2+2（an+1-an）

（an+1+an）（an+1-an-2）=0

又an+1+an>0

an+1-an=2

由4a1=4S1=a12+2a1可得a1=2

故{an}是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列。

an=2n

三、累加法

當(dāng)數(shù)列的遞推公式可化為an-an-1=f（n） （n≥2）的形式，且f（1）+f（2）+……+f（n）是可求得的時(shí)，那么可以用“累加法”求得通項(xiàng)公式。

例3 已知數(shù)列{an}中，a1=2，an=2?3n-1+an-1（n≥2），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解：an=2?3n-1+an-1，an-an-1=2?3n-1，a2-a1=2?3，a3-a2=2?32，

……，an-an-1=2?3n-1

將以上各式左右分別相加，可得：

an-a1=2（3+32+…+3n-1）=3n-3，an=3n-1

四、累積法

當(dāng)數(shù)列的遞推公式可以化為：

=f（n） （n≥2）的形式，且f（1）?f（2）?……?f（n）是可求得的時(shí)，那么可以用“累積法”求得通項(xiàng)公式。

例4已知數(shù)列{an}中，a1=1，an=an-1?3n-1（n≥2），求通項(xiàng)。

解：an=an-1?3n-1， =3n-1， =3， =32， ……，=3n-1

將以上各式左右分別相乘，可得：

=3?32?…?3n-1=31+2+…+（n-1）=

a1=1， an=

五、待定系數(shù)法

對(duì)于形如an+1 = man + k（k為非0常數(shù)）的遞推公式，用待定系數(shù)法可配成an+1+p=m（an+p）的形式，其中p=（m≠1），再轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列可求得通項(xiàng)。

例5已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+3，求通項(xiàng)an。

解：an+1=2an+3，an+1+3=2（an+3），令bn=an+3，則bn+1=2bn

=2 又 b1=a1+3=4

{bn}是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列。

bn=2n+1，an=2n+1-3

六、構(gòu)造新數(shù)列

對(duì)于形如an+1=man+f（n）的f推公式，可構(gòu)造新數(shù)列轉(zhuǎn)化為an+1=man+k（k為非0常數(shù)）型求an。

例6 數(shù)列{an}中，a1=，an= + （n≥2），求通項(xiàng)an。

解：an = + ，2nan=2n-1an-1 + 1，令bn=2nan.

則bn=bn-1+1，bn-bn-1=1 又 b1=2a1=.

{bn}是以為1/2首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列。

bn = n - ，an=

注：若題中已知an-1的系數(shù)不是1/2，而是其它的非零常數(shù)，則用此法可轉(zhuǎn)化為an+1=man+k（k為非0常數(shù)）的形式求an。

七、倒數(shù)法

對(duì)于形如an+1an=man+1+pan（m、p≠0）的遞推公式，可兩邊同除以an+1an產(chǎn)生an+1與an的倒數(shù)，再求an。

例7已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an=Sn?Sn-1（n≥2），a1=，求an。

解：an=Sn-Sn-1（n≥2），又an=Sn?Sn-1，Sn-Sn-1=Sn?Sn-1

兩邊同除以Sn?Sn-1得： - = 1

令bn =則bn-1 - bn = 1

即bn-bn-1=-1 又 b1= = =

{bn}是以為首項(xiàng)，以-1為公差的等差數(shù)列。

bn =-n 即 Sn =

an=Sn-Sn-1 （n≥2） =- =

an=

八、迭代法

對(duì)于形如an+2=pan+1+qan（p、q≠0且為常數(shù)）的遞推公式，它表示的是相鄰三項(xiàng)間的遞推關(guān)系，可通過構(gòu)造新數(shù)列或反復(fù)迭代轉(zhuǎn)化為表示相鄰兩項(xiàng)間的遞推關(guān)系的類型，如an+1=man+k（k為非0常數(shù)）或an+1=man+f（n），再求出通項(xiàng)an。

例8設(shè)a1=1，a2=5/3，an+2=5/3 an+1 C2/3 an （n=1，2，……），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。（2004年高考重慶卷（文）22題（1）問）

解：an+2= an+1 Can

an - an-1 =（ an-1 C an-2） - an-1=（an-1 - an-2）=（）2（an-2 - an-3）

=…… = （）n-2（a2 - a1） =（）n-2（ - 1） =（）n-1

an=an-1+（）n-1

再次反復(fù)迭代得：

an=[an-2+（）n-2]+（）n-1

=an-3+（）n-3+（）n-2+（）n-1 =……

=1+（）1+（）2+……+（）n-2+（）n-1 =3-3?（）n

an =3-3?（）n

九、猜證結(jié)合法

對(duì)于形式特點(diǎn)不突出的遞推公式，可寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再由前幾項(xiàng)猜想出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明。

例9設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1=an2 - nan+1，且a1=2， n∈N*，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。（2002年全國(guó)高考卷22題（1）問）

解：由a1=2和an+1=an2-nan+1得：

a2=3，a3=4，a4=5

由此猜想an = n+1.

篇3

例1 數(shù)列{an}滿足：a1=-5，an+1=2an+3n+1，已知存在常數(shù)p，q，使數(shù)列{an+pn+q}為等比數(shù)列，求常數(shù)p，q及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

難度系數(shù) 0.65

分析 求解本題我們可以先設(shè)出數(shù)列滿足的關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解 由條件令an+1+p（n+1）+q=k（an+pn+q），則有an+1=kan+（kp-p）n+kq-q-p，所以k=2，kp-p=3，kq-q-p=1，解得k=2，p=3，q=4.

又a1+p+q=2，an+3n+4=2?2n-1.an=2n-3n-4（n∈■）.

小結(jié) 一般遇到形如an+1=pan+k的式子，可設(shè)an+1+m=p（an+m）；形如an+1=pan+An+B的式子，可設(shè)an+1+m（n+1）+q=p（an+mn+q）；形如an+1=pam+mn2+kn+h的式子，可設(shè)an+1+A（n+1）2+B（n+1）+C=p（an+An2+Bn+C）.根據(jù)恒等式對(duì)應(yīng)相等求出設(shè)出的參數(shù)，將數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.求解關(guān)于an=0或an≥k的關(guān)系式，我們可以先寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，猜想規(guī)律后再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

方法二：分式取倒數(shù)求通項(xiàng)公式

例2 已知數(shù)列{an}滿足a1=■，an=■（n≥2，n∈■）.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

難度系數(shù) 0.60

分析 將已知分式取倒數(shù)，再將數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式.

解 將已知分式取倒數(shù)，得■=（-1）n-■，■+（-1）n=（-2）?[■+（-1）n-1].

又■+（-1）=3，數(shù)列{■+（-1）n}是首項(xiàng)為3、公比為-2的等比數(shù)列.

■+（-1）n=3?（-2）n-1，即an =■.

小結(jié) 對(duì)于根據(jù)分式求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題，我們常采用取倒數(shù)法來求解.

方法三：將已知數(shù)列適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng)公式

例3 已知數(shù)列{an}滿足a1 =1，a2 = 4，an+2 +2an=3an+1（n∈■）.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求使得Sn>21-2n成立的最小整數(shù).

難度系數(shù) 0.70

分析 將an+2 +2an=3an+1進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危優(yōu)榈缺葦?shù)列，再利用累加法求出通項(xiàng)公式；根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分項(xiàng)分別求和求出前n項(xiàng)的和，再求出最小整數(shù).

解 （1）由an+2+2an=3an+1，得an+2-an+1=2（an+1-an）.數(shù)列{an+1-an}是以a2-a1=3為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列.an+1-an=3×2n-1.當(dāng)n≥2時(shí)，an-an-1=3×2n-2，an-1-an-2=3×2n-3，…，a3-a2=3×2，a2-a1=3.將上述等式依次累加得an-a1=3×2n-2+3×2n-3+…+3×2+3=3（2n-1-1），解得an=3×2n-1-2.又當(dāng)n=1時(shí)也適合上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3×2n-1-2.

（2）解答過程省略.

小結(jié) 對(duì)于形如an+2=pan+1+qan的數(shù)列求通項(xiàng)公式，我們可以將其適當(dāng)變形為an+2-kan+1=m（an+1-kan），使數(shù)列{an+1-kan}為等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式，然后求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

方法四：同除以一項(xiàng)變?yōu)榈炔顢?shù)列或等比數(shù)列求通項(xiàng)公式

例4 已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且an=2an-1+2n（n≥2且n∈■）.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求出Sn，并證明：■>2n-3.

難度系數(shù) 0.70

分析 已知等式兩邊同除以2n，將數(shù)列變?yōu)榈炔顢?shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列的和，再進(jìn)行證明.

解 （1）an=2an-1+2n（n≥2且n∈■），■=■+1，即■-■=1（n≥2且n∈■）.所以，數(shù)列{■}是等差數(shù)列，其公差d=1，首項(xiàng)為■.于是■=■+（n-1）d=■+（n-1）?1=n-■，an=（n-■）?2n.

（2）證明過程省略.

小結(jié) 對(duì)于形如an+1=kan+bn的數(shù)列求通項(xiàng)公式的問題，我們可以同時(shí)除以bn+1，將其變形為■=■?■+■，再轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列進(jìn)行求和.

方法五：利用累乘或累加求通項(xiàng)公式

例5 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=■an（n∈■），且a1=2.數(shù)列{bn}滿足b1=0，b2=2，■=■，n=2，3，….

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

（3）證明：對(duì)于n∈■，■+■+…+■≥2n-1-1.

難度系數(shù) 0.68

分析 解答第（1）問時(shí)，我們可以根據(jù)Sn=■?an再寫出一項(xiàng)，兩式對(duì)應(yīng)相減，就可將Sn轉(zhuǎn)化為an，再利用累乘法求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解答第（2）問時(shí)，由■=■，我們可以利用累乘法求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；解答第（3）問時(shí)，我們可以先求出■的通項(xiàng)公式，然后利用放縮法證明不等式.

解 （1）由于2Sn=（n+1）an，所以2Sn+1=（n+2）an+1.上述兩式對(duì)應(yīng)相減，得2an+1=（n+2）an+1-（n+1）an，即■=■.當(dāng)n≥2時(shí)，an=a1?■?■?…?■=2×■×■×…×■=2n.

又a1=2滿足上式，所以an=2n（n∈■）.

（2）由于■=■（n≥2），b1=0，b2=2，所以當(dāng)n≥3時(shí)，有bn=b2×■×■×…×■=2×■×■×…×■.所以 bn=2n-1（n-1）（n≥3）.

顯然b1=0，b2=2 滿足上式.

所以，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n-1（n-1）.

（3）證明過程省略.

小結(jié) 形如■= f（n）的數(shù)列求通項(xiàng)公式，我們可以利用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；形如an-an-1= f（n）的數(shù)列求通項(xiàng)公式，我們可以利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.遇到形如Sn= f（an）的關(guān)系，要將其轉(zhuǎn)化為一致，可將Sn轉(zhuǎn)化為an，也可將an轉(zhuǎn)化為Sn，再轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列來求解.

方法六：利用歸納、猜想與證明的方法求通項(xiàng)公式

例6 設(shè)b>0，數(shù)列{an}滿足a1=b，an=■（n≥2）.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

難度系數(shù) 0.60

分析 本題可用猜想證明的方法進(jìn)行求解.本題也可將題中的條件變形為b?■=2?■+1，構(gòu)造成■+■=■（■+■），進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，求得■+■的通項(xiàng)公式，從而求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解 （1）令A(yù)n=■，A1=■.當(dāng)b=2時(shí)，數(shù)列{An}是以■為首項(xiàng)、■為公差的等差數(shù)列，即An=■+（n-1）×■=■.an=2.

（2）當(dāng)b≠2時(shí)，a1=b，a2=■=■，a3=■=■，猜想an=■.下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak=■，于是有ak+1=■=■.所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立.

由①②可知，？坌n∈■，an=■.

綜上所述，an=2，b=2，■，b>0且b≠2.

小結(jié) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式，我們可以先求出數(shù)列的前三項(xiàng).根據(jù)前三項(xiàng)的特點(diǎn)，猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

篇4

關(guān)鍵詞： 數(shù)列 通項(xiàng)公式 求解策略

一、定義法

當(dāng)已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列時(shí)，可直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求出通項(xiàng)公式.

【例】已知等差數(shù)列{a}中，a=，s=-5，a=-，求a.

解：由題意得

s=n+d=-5 （1）a=+（n-1）d=-（2）

由（2）得（n-1）d=-，代入（1）可得n=15，從而d=-，所以a=+（n-1）×（-）=.

二、觀察法（又叫猜想法、不完全歸納法）

觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)間的關(guān)系，分解各項(xiàng)中的變化部分與不變部分，再探索各項(xiàng)中變化部分與序號(hào)間的關(guān)系，從而歸納出構(gòu)成規(guī)律寫出通項(xiàng)公式.關(guān)鍵是找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系.

【例】已知數(shù)列-1，，-，，…寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

解：將此數(shù)列變形為：-，，-，，…通過觀察變形找到其規(guī)律，得出數(shù)列的通項(xiàng)公式為a=（-1）.

注：用不完全歸納法，只是從數(shù)列的有限項(xiàng)通過觀察而得到數(shù)列所有項(xiàng)的通項(xiàng)公式，不一定可靠.如從數(shù)列2，4，8，…可得a=2n或a=n-n+2兩個(gè)不同的通項(xiàng)公式（從第四項(xiàng)開始便不同）.

三、公式法（已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和s求通項(xiàng)公式）

這類題目比較簡(jiǎn)單，一般都是利用a=a（n=1）s-s（n≥2）， 求{a}后要注意驗(yàn)證是否能用一個(gè)統(tǒng)一的公式來表示.［1］

【例】數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為s，且a=1，a=s，n=1，2，3…，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式.

解：因?yàn)閍=s-s所以3s-3s=s，=，所以{s}是以s=1為首項(xiàng)，q=為公比的等比數(shù)列.所以s=，則a=s-s=•（n≥2）.

經(jīng)驗(yàn)證：n=1時(shí)，兩式不能統(tǒng)一，所以a=1（n=1）（n≥2）.

點(diǎn)評(píng)：先利用a與s的關(guān)系，找出s的表達(dá)式，再求a.

四、構(gòu)造新數(shù)列法

由遞推關(guān)系得出數(shù)列通項(xiàng)公式的方法多樣，累加法、累積法、構(gòu)造法、迭代法是常用的構(gòu)造法.對(duì)于較復(fù)雜的數(shù)列可試著用如下方法求通項(xiàng)公式.

1.累加法（又叫疊加法）

一般的，對(duì)于形如a=a+f（n）類數(shù)列的通項(xiàng)公式，只要f（1）+f（2）+…+f（n）能進(jìn)行求和，則宜采用此方法求解.

【例】已知數(shù)列{a}中，求a=1，a=a+，n≥2，求a.

解: a-a==-a-a=-…a-a=1-a=1

累加得a=2-.

2.累積法（又叫迭乘法）

一般的，對(duì)于形如=f（n）類數(shù)列的通項(xiàng)公式，只要f（1）+f（2）+…+f（n）能進(jìn)行求積，則宜采用此方法求解.

【例】已知數(shù)列{a}滿足a=1，a=a+2a+3a+…（n-1）a，n≥2.求數(shù)列通項(xiàng)公式a.

解：由題可知：a=a+2a+3a+…（n-1）a，a=a+2a+3a+…（n-2）a，兩式相減可得：a-a=（n-1）a（n≥3），即a=na，所以a=••…•a=n×（n-1）×（n-2）×…×2，即a=n!.

3.構(gòu)造法

利用數(shù)列{a}中的a構(gòu)造新的數(shù)列使之成為等差或等比數(shù)列，再求a.常見模型歸納如下.

①a=pa+f（n），p≠1，f（n）為冪函數(shù)

【例】在數(shù)列{a}中，a=1，a=3a+2•3，求a.

解：由a=3a+2•3得=+，則為公差是的等差數(shù)列.

所以=+（n-1）•即a=3（n+）.

②a=pa+q（p≠1，p，q為非零常數(shù)）可用待定系數(shù)法

【例】已知數(shù)列{a}中，a=1，a=2a+1，求a.

解：設(shè)a-t=2（a-t）即a=2a-t，故t=-1，原式可變?yōu)閍+1=2（a+t），所以{a+1}為首項(xiàng)為a+1=2，公比為2的等比數(shù)列，所以a+1=2，即a=2-1.

③a=（p，q為常數(shù)）型

【例】已知數(shù)列{a}滿足，a=1，a=求a.

解：將a=兩邊取倒數(shù)，變形為：=×+，即+1=（+1）.

所以+1是首項(xiàng)為+1=2，公比為的等比數(shù)列.所以+1=2•（），即a=.

④取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列a-p=（a）（p，t為常數(shù)）［2］

【例】已知數(shù)列{a}中，a=3，a=（a-1）+1，求a.

解：由條件可知a-1=（a-1），兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得lg（a-1）=2lg（a-1），即=2，所以{lg（a-1）}是首項(xiàng)為lg（a-1）=lg2，公比為2的等比數(shù)列，所以lg（a-1）=2lg2，所以a=2+1.通過取對(duì)數(shù)達(dá)到降次的目的，使原來的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等比關(guān)系.

⑤通過取方根轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列

【例】已知f（x）=x+2+2（x≥0），a=2設(shè)數(shù)列每項(xiàng)都滿足a=f（a），求a.

解：因?yàn)閒（x）=x+2+2（x≥0），所以a=f（a）=a+2+2=（+），又a＞0，兩邊同時(shí)取平方根，得=+，所以，{}為公差為的等差數(shù)列.所以=（n-1），即a=2n.

⑥a=pa+qa（p，q為非零常數(shù)）型

【例】在數(shù)列{a}中，a=1，a=2，a=a+a，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式.

解：由a=a+a兩邊減去a得a-a=-（a-a），所以{a-a}是以a-a=1為首項(xiàng)，-為公比的等比數(shù)列，所以a-a=（-），再用累加法求通項(xiàng)公式.

⑦a+t=（p，q，r為非零常數(shù)）型

【例】數(shù)列{a}滿足a=2，a=，求a.

解：對(duì)等式兩端同時(shí)加參數(shù)t，得：a+t=+t=（2t+5）•，令t=，解之得t=-1，2，代入a+t=（2t+5）•，a-1=3×，a+2=9×.相除得：=×，即是首項(xiàng)為=，公比為的等比數(shù)列，即=×3，解得a=.

五、數(shù)學(xué)歸納法

有時(shí)一個(gè)數(shù)列可以由已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，通過“觀察法”，就可以歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之.這種方法是可靠的.［3］

【例】已知數(shù)列{a}滿足a=1，a=，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式.

解：a=1，a=，a=，a=，a=，猜想a=.

現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明:

（）當(dāng)n=1時(shí)，a==1成立；

（）假設(shè)n=k時(shí)，a=.當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閍===.

由（）（）得a=對(duì)n∈N都成立.

六、倒數(shù)法

數(shù)列有形如f（a，a，a，a）=0的關(guān)系，可先求得，再求得a.［4］

【例】已知數(shù)列{a}中，a=1，a=，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式.

解：由遞推關(guān)系變形得=2+，故數(shù)列是等差數(shù)列，其首項(xiàng)是1，公差是2，所以=1+（n-1）×2=2n-1，即a=.

以上各例雖然是一些具體的例子，但它們往往可以應(yīng)用于一般情形.數(shù)列通項(xiàng)公式的這幾種求法，在以上例題中可以看到?jīng)]有一定的界限，如“數(shù)學(xué)歸納法”法是“觀察法”的延伸，而有的題目往往用到多種求法，有的例題中出了用到了構(gòu)造法還用了公式法.我們可以看到，求數(shù)列通項(xiàng)公式雖然具有很強(qiáng)的技巧性，但是并沒有離開我們所學(xué)的基本知識(shí)與技能、基本思想與方法.因此在平日教與學(xué)的過程中，既要加強(qiáng)基本知識(shí)、基本方法、基本技能和基本思想的學(xué)習(xí)，又要注意培養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)素質(zhì)與能力和創(chuàng)新精神.注意多加總結(jié)和反思，注意聯(lián)想和對(duì)比分析，做到觸類旁通.這樣即使題目再靈活，技巧性再?gòu)?qiáng)，做起來亦能得心應(yīng)手.

參考文獻(xiàn)：

［1］韓保樹.數(shù)列通項(xiàng)公式的常見求法，科技資訊，2007，（10）.

［2］孫坤菊.解題方法與技巧，中學(xué)教學(xué)參考，2009.4.

［3］劉家勇.數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)理化學(xué)習(xí)，2008，（12）.

篇5

(1) 構(gòu)造常見數(shù)列法解型如：an+1=pan+q（p、q為常數(shù)），變形為an+1+λ=p(an+λ)，利用恒等式求出λ，從而構(gòu)成等比數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)。

例1 設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1∈(0,1)，求an的通項(xiàng)公式；

解：an=3-an-12(n=2,3，4…)，an-1=3-2an 存在實(shí)數(shù)λ，使得an-1+λ=-2(an+λ) λ=-1即an-1-1=-2(an-1) 數(shù)列{an-1}是以a1-1為首項(xiàng)以-12為公比的等比數(shù)列， an-1=(a1-1)-12n-1 an=1+(a1-1)-12n-1

(2) 用累加法解型如：an+1=an+f(n)（p為常數(shù)，f(n)為等差）

例2 數(shù)列{an}中，a1=2,an+1=an+cn（c是常數(shù)，n=1,2,3…），求an的通項(xiàng)公式

解：an+1=an+cn， an+1-an=cn，令n=1，2，3…(n-1),

代入得(n-1)個(gè)等式累加，即(a2-a1)+(a3-a2)+…(an-an-1)=c［1+2+3+…+(n-1)］

an-a1=cn(n-1)2

an=cn(n-1)2+a1即an=cn(n-1)2+2

說明：只要f(1)+f(2)+…+f(n-1)是可求的，就可以采用累加法求an了。

(3) 輔助數(shù)列法解型如：an+1=pan+qn(p為常數(shù)，qn為等比)，可兩邊除以qn+1，an+1qn+1=panqqn+1q,引輔助數(shù)列{bn},bn=anqn, 則轉(zhuǎn)化為bn+1=pqbn+1q求解

例3 數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)•2n(n∈N*),其中λ>0，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

解:由an+1=λan+λn+1+(2-λ)•2n得:an+1-2n+1λn+1=an-2nλn+1

故an-2nλn是以a1-2λ為首項(xiàng),公差為1的等差數(shù)列

an-2nλn=a1-2λ+(n+1) an=(n-1)λn+2n

(4) 韋達(dá)定理解型如：an+2=pan+1+qan,設(shè)an+2=pan+2+qan，可變?yōu)閍n+2-αan+1=β(an+1-αan),即an+2=(α-β)an+1-βαan構(gòu)造方程

x2-px+q=0求解α,β兩根，從而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解；

例4 數(shù)列{an}中，an=1,a2=2,an+2=23an+1+13an(n=1,2,3…)求an

解：由an+2=23an+1+13an可構(gòu)造方程x2-23x-13=0得x1=-13,x2=1,故an+2-an+1=-13(an+1-an) {an+1-an}是公比為13，首項(xiàng)為a2-a1=1的等比數(shù)例， an+1-an=-13n-1以n=1,2,3…，（n-1）代入，再把（n-1）個(gè)等式累加

an-a1=-130+-131+…+-13n-2=1--13n-11+13

an=74-34-13n-1

(5) 用累乘法解型如：an+1=f(n)an,(n∈N*)

例5 在數(shù)列{an}中，a1=2,an+1=n+1nan,求通項(xiàng)an，

解:a1=2,an+1=n+1nan， a2a1=21,a3a2=32,…,anan-1=nn-1,以上(n-1)個(gè)等式左右兩邊分別相乘得ana1=n,an=2n且n=1時(shí)a1=2,也適合上式 an=2n

(6) 化歸法求解型如：Sn=f(an),一般地，要將an化歸到Sn或?qū)n化歸到an.

例6 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=1-23an,(n∈N*)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

解：由an=Sn-Sn-1,Sn=1-23an,Sn-1=1-23an-1

an=1-23an-1-23an-1，anan-1=25(n∈N*,n≥2)

篇6

一、累加法：利用an=a1+（a2-a1）+…（an-an-1）求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。累加法是求型如an+1=an+f（n）的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法（f（n）可求前n項(xiàng)和）.

例1.已知數(shù)列an滿足an+1=an+2n+1，a1=1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。

解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1則

an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+ （a2-a1）+a1

=[2（n-1）+1]+[2（n-2）+1]+…+（2×2+1）+（2×1+1）+1

=2[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+（n-1）+1

=2+（n-1）+1

=（n-1）（n+1）+1

=n2

所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2。

例2：在數(shù)列{an}中，已知an+1= ，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

備注：取倒數(shù)之后變成逐差法。

解：兩邊取倒數(shù)遞推式化為：=+，即-=所以-=，-=，-=…-=.…，

將以上n-1個(gè)式子相加，得：-=++…+即=+++…+==1-故an==

二、累乘法：利用恒等式an=a1…（an≠0，n？叟n）求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法，累乘法是求型如：an+1=g（n）an的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法（數(shù)列g(shù)（n）可求前n項(xiàng)積）.

例3.已知數(shù)列{an}中a1=，an=?an-1（n？叟2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解：當(dāng)n？叟2時(shí)，=，=，=，…=將這n-1個(gè)式子累乘，得到=，從而an=×=，當(dāng)n=1時(shí)，==a1，所以an= 。

注：在運(yùn)用累乘法時(shí)，還是要特別注意項(xiàng)數(shù)，計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).

三、公式法：利用熟知的的公式求通項(xiàng)公式的方法稱為公式法，常用的公式有an=Sn-Sn-1（n？叟2），等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。

例4.已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn=2n+1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2+1=3，當(dāng)n？叟2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（2n+1）-（2n-1+1）=2n-1.

而n=1時(shí)，21-1=1≠a1，an3（n=1）2n-1（n？叟2）。

四、構(gòu)造新數(shù)列（待定系數(shù)法）： ①將遞推公式an+1=qan+d（q，d為常數(shù)，q≠0，d≠0）通過（an+1+x）=q（an+x）與原遞推公式恒等變成an+1+=q（an+）的方法叫構(gòu)造新數(shù)列.

例5.在數(shù)列an中，a1=1，當(dāng)n？叟2時(shí)，有an=3an-1+2，求an的通項(xiàng)公式。

解：設(shè)an+m=3（an-1+m），即有an=3an-1+2m，對(duì)比an=3an-1+2，得m=1，于是得an+1=3（an-1+1），數(shù)列an+1是以a1+1=2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以有an=2?3n-1-1。

類似題型練習(xí)：已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

注：此種類型an+1=pan+g（n）（p為常數(shù)，且p≠0，p≠1）與上式的區(qū)別，其解法如下：將等式兩邊同除以pn+1，則=+，令bn=，則bn+1=bn=，這樣此種數(shù)列求通項(xiàng)的問題可以轉(zhuǎn)化為逐差法的問題，當(dāng)然這種數(shù)列的通項(xiàng)公式也常用待定系數(shù)法解決，關(guān)鍵要根據(jù)g（n）選擇適當(dāng)?shù)男问健?/p>

如：an的首項(xiàng)a1=1，且an+1=4an+2n，求an

五、數(shù)學(xué)歸納法（用不完全歸納法猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明）

例6.設(shè)數(shù)列an滿足：a1=1，an+1an-2n2（an+1-an）+1=0求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：由an+1an-2n2（an+1-an）+1=0得an+1=，可算得a2=3，a3=5，a4=7，猜想an=2n-1，并用數(shù)學(xué)歸納法予以證明（以下略）

六、待定系數(shù)法

例7.已知數(shù)列an滿足an+1=2an+3×5n，a1=6，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。

解：設(shè)an+1+x×5n+1=2（an+x×5n） ④

將an+1=2an+3×5n代入④式，得2an+3×5n+x×5n+1=2an+2x×5n，等式兩邊消去2an，得3?5n+x?5n+1=2x?5n，兩邊除以5n，得3+5x=2x，則x=-1，代入④式得an+1-5n+1=2（an-5n） ⑤

由a1-51=6-5=1≠0及⑤式得an-5n≠0，則=2，則數(shù)列{an-5n}是以a1-51=1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則an-5n=2n-1，故an=2n-1+5n。

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an+1=2an+3×5n轉(zhuǎn)化為an-1-5n+1=2（an-5n），從而可知數(shù)列{an-5n}是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列{an-5n}的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

七、特征根法

形如遞推公式為an+2=pan+1+qan（其中p，q均為常數(shù)）。對(duì)于由遞推公式an+2=pan+1+qan，a1=α，a2=β，給出的數(shù)列an，方程x2-px-q=0，叫做數(shù)列an的特征方程。

若x1，x2是特征方程的兩個(gè)根， 當(dāng)x1≠x2時(shí)，數(shù)列an的通項(xiàng)為an=Axn-11+Bxn-12，其中A，B由a1=α，a2=β決定（即把a(bǔ)1，a2，x1，x2和n=1，2，代入an=Axn-11+Bxn-12，得到關(guān)于A、B的方程組）；

當(dāng)x1=x2時(shí)，數(shù)列an的通項(xiàng)為an=（A+Bn）xn-11，其中A，B由1=α，a2=β決定（即把a(bǔ)1，a2，x1，x2和n=1，2，代入an=（A+Bn）xn-11，得到關(guān)于A、B的方程組）。

例8.數(shù)列an：3an+2-5an+1+2an=0（n？叟0，n∈N），a1=a，a2=b求an

解：特征方程是3x2-5x+2=0，x1=1，x2= ，an=Axn-11+Bxn-12=A+B?（）n-1。

又由a1=a，a2=b，于是a=A+Bb=A+B？圯A=3b-2aB=3（a-b）

篇7

1、形如an+1-an=f（n）

例1在數(shù)列｛an｝中，a1=，an+1=an+，求an（累加法）

解：由已知得，an+1-an==（-）

令n=1,2,3,…,代人后（n-1）個(gè)等式，累加，即

（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=[（1-）+（-）+…+（-）]

an-a1=（1-）

an=1-=

練習(xí)：已知數(shù)列an滿足a1=3，an+1=an+n，求an

解：由已知得，an-an-1=n-1，an-1-an-2=n-2，……a2-a1=1累加得

an-a1=（n-1）+（n-2）+……+2+1

an=n2-n+3

2、形如=f（n） 方法：累積法

例2在數(shù)列｛an｝中，a1=2，an+1=an求通項(xiàng)公式an

解：a1=2，an+1=an

=，=…=

以上（n-1）個(gè)等式左右兩邊分別相乘得

=n，即an=2n且n=1時(shí)，a1=2也適合上式

an=2n

練習(xí)：a1=1，sn=求通項(xiàng)公式

解：由sn= ①

得2sn=（n+1）an（n≥1）

2sn-1=nan-1 ②

①-②得2an=（n+1）an-nan-1即=（n≥2）

累積法得an=n（n∈N）

3、形如an=pan-1+f（n） 方法：構(gòu)造新數(shù)列

例3已知在數(shù)列｛an｝中，a1=，an+1=an+（）n+1，求an

解：原式可化為2n+1an+1=（2nan）+1，令bn=2nan則bn+1=bn+1

于是可得bn+1-bn=（bn-bn-1）

bn=3-2（）n

an=3（）n-2（）n

練習(xí)：a1=2，an-1=求通項(xiàng)公式an

解：由an+1=得an+1an+an+1•2n+1=2n+1an?圳-=

累加法得an=

4.形如an+2=pan+1+qan 方法：特征根法

例4在數(shù)列｛an｝中，a1=1，a2=2，an+2=an+1+an，求an

分析：構(gòu)造方程x2=x+，解得x1=1，x2=-

解：an+2-an+1=an+1+an-an+1=-（an+1-an）

｛an+1-an｝是公比為-，首項(xiàng)為a2-a1=1的等比數(shù)列

an+1-an=（-）n-1

再用累加法得an-a1=（-）0+（-）1+…（-）n-2=

an=1+[1-（-）n-1]

篇8

一、an+1=pan+q(其中p,q是常數(shù))型

一般可用待定系數(shù)法，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題．

設(shè)遞推式可化為an+1+x=p(an+x)，

即an+1=pan+(p-1)x， 得x=qp-1 .

{an+qp-1}是以a1+qp-1為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列．

an+qp-1=(a1+qp-1)qn-1，從而求出an．

二、an+1=pan+qn(p,q為常數(shù))型

此類型的基本方法是先轉(zhuǎn)化為類型一再由待定系數(shù)法求得通項(xiàng).

原式可轉(zhuǎn)化為an+1qn+1=pq?anqn+1，令anqn=bn, ①

即bn+1=pqbn+1,則由類型一求出bn,再代入①可求得an．

三、an+1=an+f(n)型

此類型{an}可轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n)，其中{f(n)}是可求和數(shù)列，即逐項(xiàng)作差：a2-a1=f(1),

a3-a2=f(2),

…,

an-an-1=f(n-1).

將以上式子累加得：an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1).

設(shè)求得f(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)，則有an=a1+g(n).

這種求數(shù)列通項(xiàng)的方法即為迭加法．

四、an+1=anf(n) 型

此類型{an}可轉(zhuǎn)化為an+1an=f(n)，其中{f(n)}是可求積數(shù)列，即可逐項(xiàng)作商如下：a2a1=f(1),a3a2=f(2),a4a3,…,anan-1=f(n-1),

將以上式子兩邊分別相乘，得ana1=f(1)?f(2)?f(3)…f(n-1).

設(shè)求得f(1)?f(2)?f(3)…f(n-1)=g(n)，則有an=a1g(n)，這種求數(shù)列通項(xiàng)的方法即為迭乘法．

五、an+1=pan+qan-1(p,q為常數(shù))型

此類型可設(shè)an+1+xan=y(an+xan-1),即an+1=(y-x)an+yxan-1,

y-x=p,xy=q

x2+px-q=0.

由一元二次方程可解出x、y的值，構(gòu)造{an+1+xan}等比數(shù)列(公比為 y)，從而可轉(zhuǎn)化為類型一來求通項(xiàng)．

六、

其他類型

【例1】 若數(shù)列{an}滿足a1=12,an=1-1an-1(n≥2,n∈N),求a2003.

解：n=1,a1=12；

n=2,a2=-1；

n=3,a3=2；

n=4,a4=12；

…

{an}是以3為周期的數(shù)列，則a2003=a667×3+2=a2=-1.

【例2】 已知數(shù)列{an}滿足12a1+122a2+…+12nan=2n+5(n∈N)

，求{an}的通項(xiàng)公式.

解：12 a1+122a2+…+12nan=2n+5，

①

12 a1+122a2+…+12n-1an-1=2(n-1)+5(n≥2).

②

兩式相減得12nan=2(n≥2)，即an=12n+1(n≥2).

an=14（n=1）；12n+1（n≥2）.

若數(shù)列{an}的遞推公式是an+1=f(an)，則用遞推法求通項(xiàng)的一般方法是：

an=f(an-1)=f(f(an-2))=f(f(f(an-3)))=…

【例3】 設(shè)an+1=a2n,a1=2,求an.

解：an+1=a2n，

篇9

若數(shù)列{an}的遞推公式為an+1

=f(an),把此式中的an+1

、an均換成x得方程x=f(x).我們把方程x=f(x)的實(shí)數(shù)根x稱為數(shù)列{an}的不動(dòng)點(diǎn).利用數(shù)列的非零不動(dòng)點(diǎn)，即可簡(jiǎn)便快捷地求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

一、若f(an)為整式，而{an}又只有一個(gè)非零不動(dòng) 點(diǎn)x0,則可考慮用化簡(jiǎn)an+1-x0=f(an)-x0的方法求解.

例1 若a1=

-1,an=2an-1+3(n∈N

*,且n≥2),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析：由x=2x+3知{an}僅有一個(gè)非零不動(dòng)點(diǎn)-3，則an-(-3)=2an-1

+3-(-3)=2an-1

+6.

所以an+3=2(an-1

+3)

所以{an+3}是以a1+3=2首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，則當(dāng)n

≥2時(shí)，有an+3=2n,故an=2n-3.

又a1=-1也滿足上式.

所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-3.

例2 若a1=0,an+1=

n+2n

an+

1n(n∈N

*),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析：

由x=

n+2n

x+1n知{an}僅有一個(gè)非零不動(dòng)點(diǎn)-

12，則

an+1-（-12

）=

n+2

n

an+1n

-(-12

).

所以an+1+12

=n+2n

(an+12),

則

an+1+12

n+2

=an+12n.

所以an+1+12

(n+1)(n+2)

=an+

12

n(n+1)

,故{an+12

n(n+1)}是一個(gè)常數(shù)列.

所以an+12

n(n+1)

=a1+12

1×(1+1)

=

122

=14.

所以an=

n2+n-24.

又a1=0也滿足上式.

所以{an}的通項(xiàng)公式為an=

n2+n-24.

二、若f(an)為分式，而{an}有兩個(gè)相同的非零不動(dòng)點(diǎn)x0,則可考慮用化簡(jiǎn)an+1-x0=f(an)-x0的方法求解

例3 若a1=-1,an=

12-an-1

(n∈N

*,且n≥2),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析：

由x=

12-x得{an}有兩個(gè)相同的非零不動(dòng)點(diǎn)1，

則an-1

=12-an-1

-1=

an-1-1

2-an-1

.

兩邊取倒數(shù)得1an-1

=

2-an-1

an-1-1

=

1an-1

-1-1.

所以{1an-1}

是以1a1-1

=-12

為首項(xiàng)、-1為公差的等差數(shù)列，故當(dāng)n≥2時(shí)，

1an-1

=-12

+(n-1)•(-1)=

12

-n.

所以an=

3-2n1-2n.

又a1=-1也滿足上式.

所以{an}的通項(xiàng)公式為an=

篇10

                                                                                   從求數(shù)列通項(xiàng)公式問題談高中生數(shù)學(xué)反思能力的培養(yǎng)

                                                                                                              邢錫光1    張璟怡2

                                                （1、武漢市洪山高中，湖北  武漢  430070 2、武漢市關(guān)山中學(xué)，湖北  武漢  430070）

摘  要：求數(shù)列通項(xiàng)公式是高中數(shù)列一類常見和重要的題型，其題型解法較多也復(fù)雜，許多學(xué)生產(chǎn)生對(duì)求通項(xiàng)公式的畏難和消極情緒.我們?cè)撊绾螐恼n本內(nèi)容入手，通過不斷改變條件，不斷的反思，將此類問題深入下去，使學(xué)生突破和解決這類問題，成為目前我們關(guān)注的問題.

關(guān)鍵詞：數(shù)列；通項(xiàng)公式 反思能力

求數(shù)列通項(xiàng)公式是高中數(shù)列一類常見和重要的題型，也是高考的熱點(diǎn)之一，其題型解法較多也復(fù)雜，許多學(xué)生產(chǎn)生對(duì)求通項(xiàng)公式的畏難和消極情緒.我們?cè)撊绾螐恼n本內(nèi)容入手，通過不斷改變條件，不斷的反思，將此類問題深入下去，使學(xué)生突破和解決這類問題，成為目前我們關(guān)注的問題.

由等差數(shù)列概念 （常數(shù)），學(xué)生們掌握了迭代法和累加法求通項(xiàng)公式.

反思1 若 ，如何求通項(xiàng) ；

嘗試當(dāng) 分別為 時(shí)求通項(xiàng) ，不難發(fā)現(xiàn)仍可由迭代法和累加法轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和問題解決.注意合理運(yùn)用分組求和、裂項(xiàng)求和、錯(cuò)位相減求和等基本求和方法.

由等比數(shù)列概念 （常數(shù)），學(xué)生們掌握了迭代法和累乘法求通項(xiàng)公式.

反思2 若 ，如何求通項(xiàng) ；

嘗試當(dāng) 分別為 時(shí)求通項(xiàng) ，不難發(fā)現(xiàn)仍可由迭代法和累乘法轉(zhuǎn)化為數(shù)列求積問題解決.

反思3由等比數(shù)列概念 （常數(shù)），可等價(jià)于 ，那么若 （p,q為常數(shù)），如何求通項(xiàng) ；

學(xué)生合作交流后發(fā)現(xiàn)仍可由迭代法和累加法求通項(xiàng)公式，但累加法求通項(xiàng)公式難度較大.另外，學(xué)生已經(jīng)對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列概念有了較深的理解，可以適當(dāng)點(diǎn)撥學(xué)生設(shè)法構(gòu)造新等差數(shù)列或等比數(shù)列解決問題.

嘗試當(dāng)q=1時(shí)， 為等差數(shù)列；當(dāng) 時(shí)， 為等比數(shù)列；當(dāng) 時(shí)，可設(shè)問鋪墊，是否數(shù)列 為等比數(shù)列？從而歸納此類問題方法，先求待定系數(shù)x，由 ， 得 ，再構(gòu)造等比數(shù)列 求其通項(xiàng) ，最后再求通項(xiàng) .

反思4若 （q為常數(shù)），如何求通項(xiàng) ；

當(dāng) 時(shí)，本類型問題仍可由迭代法和累加法求通項(xiàng)公式，但先求待定系數(shù)x，再構(gòu)造等比數(shù)列求其通項(xiàng)是否還使用呢？

嘗試當(dāng) 時(shí)，能否沿用反思3的方法先求待定系數(shù)？嘗試的過程中出現(xiàn)了什么問題，怎樣改進(jìn)？從而歸納此類問題方法，

先求待定系數(shù)x，y，由  ， 得 ，再構(gòu)造等比數(shù)列 ，最后再求通項(xiàng) .

嘗試當(dāng) 時(shí)，能否利用已有的方法求通項(xiàng) .

方法一：兩邊同除以 ，即 ，令 ，則 ，這樣可轉(zhuǎn)化為反思2解決；

方法二：兩邊同除以 ，即 ，令 ，則 ，當(dāng) 時(shí)，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列解決，當(dāng) 時(shí)，轉(zhuǎn)化為反思3解決；

方法三：先求待定系數(shù)x， ,再構(gòu)造等比數(shù)列求解.

反思5若 （r,t， 且 ， 為常數(shù)），如何求通項(xiàng) ；

學(xué)生合作探究，發(fā)現(xiàn)可利用對(duì)數(shù)運(yùn)算達(dá)到將問題降次的目的，

 ，即 ，令 ，則 ，這樣可轉(zhuǎn)化為反思3解決；

反思6若已知二階遞推公式 （p,q為常數(shù)），如何求通項(xiàng) ；

經(jīng)過前述五個(gè)問題的研究，學(xué)生可以順利構(gòu)造新等比數(shù)列完成通項(xiàng)公式的求取.

 ，即 為等比數(shù)列，最后轉(zhuǎn)化為反思4求解.

反思7若已知分式遞推公式 （p,q，h，為非零常數(shù)），如何求通項(xiàng) ；

學(xué)生合作探究可自行完成等式的變形， ，即

 ，（）

方法一：兩邊同除以 ，當(dāng) 時(shí)，  ，令 可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求解；當(dāng) 時(shí)， ，令 ，可得 ，這樣可轉(zhuǎn)化為反思3解決；

方法二：觀察變形式的結(jié)構(gòu)，先求待定系數(shù)k,t,s，再構(gòu)造等比數(shù)列求解，

 即轉(zhuǎn)化為 為等比數(shù)列求解.

反思8若已知分式遞推公式 （p,q，h,k為常數(shù)），如何求通項(xiàng) ；

學(xué)生合作探究可自行完成等式的變形， ，即

 ，

先求待定系數(shù)g,u,s,t，再構(gòu)造等比數(shù)列求解，

 即轉(zhuǎn)化為 為等比數(shù)列求解.

課本p57  給出填空 ，

反思9若已知 等量關(guān)系，如何求通項(xiàng) .

嘗試當(dāng) 1時(shí), 可得 2,1-2得 ,即 故,  ,由等比數(shù)列概念,可求得通項(xiàng),但要注意 時(shí)的情況不含在上述關(guān)系式中,須單獨(dú)討論.

最后通過練習(xí)來深化、理解和檢驗(yàn)理論的學(xué)習(xí).

1、（2009年陜西卷）已知數(shù)列 滿足 ， ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.

點(diǎn)撥:屬于反思6的范疇.由已知 ，先求待定系數(shù)k,s, ,得 ，從而得到等比數(shù)列 ，再轉(zhuǎn)化為反思3解決；或等比數(shù)列 ，再轉(zhuǎn)化為反思1解決.

答案：

2、（2011年廣東卷）設(shè)b>0,數(shù)列 滿足 ， ,求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.

點(diǎn)撥:屬于反思7的范疇.由已知 ，變形得到 ，兩邊同除以 ，得 ，令 ，可得 ，當(dāng)b=2時(shí)，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列；當(dāng) 時(shí)，這樣可再轉(zhuǎn)化為反思3解決.

答案：

3、（2008年四川卷）已知數(shù)列 滿足 ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.

點(diǎn)撥:屬于反思9的范疇.由已知 1，得

 2，由2-1， ，這樣可再轉(zhuǎn)化為反思4解決，注意對(duì)b的討論.

答案：

受之以魚不如授之以漁，將現(xiàn)成的知識(shí)教給學(xué)生，不如教給他們獲取知識(shí)的方法，反思能力的培養(yǎng)將幫助學(xué)生變過去被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式，也是學(xué)生能長(zhǎng)效和高效學(xué)習(xí)的有力保證。