數(shù)學(xué)知識有效運用性論文
時間:2022-05-26 05:43:00
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編者按:本文主要從對數(shù)學(xué)思想的概說;小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)地位;小學(xué)生探究性地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值與意義進行論述。其中,主要包括:數(shù)學(xué)也成為一門有組織的、獨立的和理性的學(xué)科、數(shù)學(xué)思想盡管在人類開始有初級的數(shù)學(xué)知識的時候是受經(jīng)驗世界的啟發(fā)、數(shù)學(xué)思想是抽象的,數(shù)學(xué)思維與經(jīng)驗世界是無關(guān)的、所謂純粹理念就是思維的最抽象的要素所形成的理念、數(shù)學(xué)知識是從概念的構(gòu)造得出來的知識、數(shù)學(xué)思想的抽象性并非獨立于經(jīng)驗事實而存在、數(shù)學(xué)因為它在考察自然中所起的作用而被評價為頭等重要的、數(shù)學(xué)知識是對概念的理智構(gòu)造、小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的探究性不僅從邏輯推理上是嚴密和精確的等,具體請詳見。
數(shù)學(xué)在其人類的歷史發(fā)展中,從其根本沒有數(shù)學(xué)知識到人們只能分辨一、二和許多的數(shù)字概念,到今天,數(shù)學(xué)也成為一門有組織的、獨立的和理性的學(xué)科。數(shù)學(xué)的歷史是一部演繹的歷史,人類從借助于經(jīng)驗開始,通過把經(jīng)驗事實符號化。進行簡單的運算和推理,把數(shù)學(xué)發(fā)展成為一門抽象的學(xué)科,這不是在說數(shù)學(xué)是一門不具有實在意義和價值的玄學(xué),相反,是如同古希臘亞里士多德時代的理想,即科學(xué)應(yīng)是數(shù)學(xué),亞里士多德的目的就是要達到數(shù)學(xué)的確實性。因此,文章旨在從數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)性及其方法的探究性來論述對開拓小學(xué)生探究性地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思考。
一、對數(shù)學(xué)思想的概說
數(shù)學(xué)思想盡管在人類開始有初級的數(shù)學(xué)知識的時候是受經(jīng)驗世界的啟發(fā),但它的思想實質(zhì)卻是抽象的。這即是在說,數(shù)學(xué)知識不是來源于經(jīng)驗,而是理智的構(gòu)造。“對于brouwer(布勞威爾),數(shù)學(xué)的對象是從理智的構(gòu)造得來的,其中基本的數(shù)目是1,2,3,……提供了這種構(gòu)造的原型。”brouwer認為。數(shù)學(xué)思維與我們的經(jīng)驗世界無關(guān)。這不是在說數(shù)學(xué)思想是沒有任何實在意義的想象,相反,數(shù)學(xué)是建立在嚴密的思維基礎(chǔ)之上的,是一門理性的學(xué)科。正是因為如此,數(shù)學(xué)知識才具有確實性。因此,有人認為,數(shù)學(xué)是真正的科學(xué)。數(shù)學(xué)是理智的構(gòu)造,也就是數(shù)學(xué)的知識具有先驗性,也即客觀性。因為,任何具有絕對必然性的知識都不是以后天的、經(jīng)驗的事實為原因或依據(jù),而必須是本身就具有必然性。這種本身所固有的必然性就如OliverHeaviside(亥維賽)所說,邏輯可以等待,因為它是永恒的。數(shù)學(xué)知識的先驗性并非是從脫離于經(jīng)驗事實的角度來說具有客觀性。而是說數(shù)學(xué)知識的客觀性或必然性是先行于經(jīng)驗事實的。
數(shù)學(xué)思想是抽象的,數(shù)學(xué)思維與經(jīng)驗世界是無關(guān)的,不是在說數(shù)學(xué)是一種純粹想象的構(gòu)建并且僅僅是如此而已。數(shù)學(xué)不僅只能建立在實用的基礎(chǔ)上,而且按照康德的說法,“純粹數(shù)學(xué),特別是純粹幾何學(xué),只有在涉及感官對象的條件下才有其客觀實在性?!比魏斡杉兇饣孟攵脕淼漠a(chǎn)物都無法澄清其真理性,除了幻想的事實以外。同時,數(shù)學(xué)的先驗客觀性也不是在唯心主義地指出,數(shù)學(xué)的知識統(tǒng)治著宇宙,是宇宙的第一因,而是在說數(shù)學(xué)知識和通過數(shù)學(xué)的嚴密的思維方式揭示出了宇宙的規(guī)律和和諧。數(shù)學(xué)知識和通過數(shù)學(xué)的思維方式所揭示的知識體現(xiàn)的是思維和存在的同一性。因此,數(shù)學(xué)思想的抽象性不但沒有脫離我們的經(jīng)驗事實,而是它本身就與我們的經(jīng)驗事實具有內(nèi)在一致性。但是數(shù)學(xué)思想的這種抽象性是可以被我們的思維和想象獨立出來的,也就是數(shù)學(xué)的思維是猶如形式邏輯的推理,這也是數(shù)學(xué)思維所必須采取的。因為,任何經(jīng)驗的推理都不具有必然性和可靠性。按照康德的說法,數(shù)學(xué)知識是從概念的構(gòu)造得出來的理性知識。因此,數(shù)學(xué)的思維方式本質(zhì)上就是一種演繹邏輯。
“邏輯學(xué)是研究純粹理念的科學(xué),所謂純粹理念就是思維的最抽象的要素所形成的理念?!毖堇[邏輯也就是關(guān)于論證的邏輯學(xué),也就是以有效的前提推出正確的結(jié)論。這是一種先天綜合的方法,也就是不以任何經(jīng)驗為依據(jù)。演繹邏輯的前提也就是笛卡兒所指的清晰自明的概念或命題,笛卡兒認為,凡是清晰明確被人認知的,都是真的。因此。演繹邏輯就是一種對清晰自明的概念進行構(gòu)造的科學(xué)。比如這樣一個論證:前提1、蘇格拉底是人,前提2、所有人都是會死的,結(jié)論、所以,蘇格拉底是會死的。數(shù)學(xué)也就是一種數(shù)理邏輯,通過把經(jīng)驗事實符號化或數(shù)字化,抽象成一般的概念,再進行理智的構(gòu)造。在上面的論證中,我們可以把它轉(zhuǎn)化為符號的論證。我們可以把結(jié)論分為兩個部分:主詞(A)和謂詞(M),“蘇格拉底”是主詞,“會死的”是謂詞,其中“人”是一項中詞。我們用(S)來代替,上面的論證形式就變成了:1、A是S,2、所有S都是M,3、所以,A是M。在數(shù)學(xué)中,無論是數(shù)字概念,還是符號概念,都是抽象的,這種抽象在人類開始擁有最初級的數(shù)學(xué)知識前,是從經(jīng)驗事實中抽譯出來,比如:一、二……這些基本的數(shù)字概念。而后,抽象的概念是理智從概念構(gòu)造出來的,如我們今天所熟知的上億的數(shù)字概念。而這些概念是基本的和自明的,因為說數(shù)字“1”及其所指的數(shù)量時,這是最清晰的。
二、小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)地位
數(shù)學(xué)知識是從概念的構(gòu)造得出來的知識。構(gòu)造概念也就是從清晰自明的概念以及通過清晰自明的概念的構(gòu)造所得來的正確的概念進行構(gòu)造。由此,小學(xué)數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)思想的邏輯構(gòu)造中的基礎(chǔ)地位也就是必然的。根據(jù)演繹邏輯,數(shù)學(xué)知識要具有確實性,其前提必須是真的,也就是進行數(shù)學(xué)推理的前提本身是可說明清楚的,不能把假定為真的前提當(dāng)作無需證明的前提。因此,數(shù)學(xué)知識從誕生起的那個前提必然要是不證自明的,否則,整個數(shù)學(xué)系統(tǒng)都是容易被摧毀的。小學(xué)數(shù)學(xué)也就在承擔(dān)著這種熟知數(shù)學(xué)的基本概念并能進行簡單的數(shù)學(xué)推理,包括數(shù)學(xué)運算和簡單幾何的解析。從人類發(fā)展史來看,小學(xué)數(shù)學(xué)也就在對從人類開始擁有基本的數(shù)學(xué)知識以來的數(shù)學(xué)推理的基本前提及其基本的推理方法進行系統(tǒng)的掌握。因此,小學(xué)一年級數(shù)學(xué)首先從數(shù)字“1”開始,隨后,學(xué)習(xí)基本的運算:“1+1:2”。及類似的基本運算。到小學(xué)二年級,了解基本的平面概念并進行簡單的解析,如了解長方形,并計算長方形的周長等。整個人類的數(shù)學(xué)知識在最開始的時候,人們只能分辨像一、二和許多這些最基本的數(shù)字概念,后來可以對其進行演算,并能對簡單的物質(zhì)世界進行數(shù)學(xué)似的解析。猶如在古巴比倫文化中發(fā)展程度最高的算術(shù)——阿卡得人的算術(shù)。因此,小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)地位從整個數(shù)學(xué)思想上來說,就如羅素的邏輯原子主義所指:“原子命題是其他一切命題的基礎(chǔ)和根據(jù)?!?/p>
在對數(shù)學(xué)思想的概說中。已經(jīng)說明過,數(shù)學(xué)思想的抽象性并非獨立于經(jīng)驗事實而存在,而是數(shù)學(xué)知識的誕生是開始于經(jīng)驗的,數(shù)學(xué)知識的真理性也必須達到思維與存在的同一性。從人類數(shù)學(xué)知識的發(fā)展史來看,數(shù)學(xué)的誕生事實也是如此。因此,小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)地位還在于從感性認知的角度來談。任何企圖從純粹的玄思妙想中得出結(jié)論都不應(yīng)具有肯定的價值,因為,知識的客觀有效性就像幾何學(xué)對空間必然有效外,而并不能一定就涉及到實在的對象,而幾何學(xué)必須建立在感性形式之上。數(shù)學(xué)思想的邏輯性就在于理智對概念的構(gòu)造,而最初的概念必須建立在感性直觀的形式上。這不是一種對經(jīng)驗的直觀,而是一種純粹的直觀。數(shù)字“1”的概念是一種純粹的直觀,數(shù)字“11”的概念則是由11個“1”相加,是對數(shù)字“1”這個最基本的概念的簡單的推理或構(gòu)造。同時,數(shù)學(xué)知識之所以具有客觀有效性,在于它只是涉及感官對象,因為企圖透過顯現(xiàn)給我們的物體去研究物自體都是徒勞無益的。因此,小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性不僅在于學(xué)習(xí)其概念構(gòu)造的基礎(chǔ)性,而且在于從感性的形式上進入數(shù)學(xué)的最初的概念,并開始把這種數(shù)學(xué)的最初概念應(yīng)用于經(jīng)驗事實中。如小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)簡單的計量面積后,也就可以把這種簡單計量方式應(yīng)用在簡單的生活對象中。
三、小學(xué)生探究性地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值與意義
“從古希臘時代起,數(shù)學(xué)因為它在考察自然中所起的作用而被評價為頭等重要的。天文學(xué)和音樂經(jīng)常與數(shù)學(xué)相連接,而力學(xué)和光學(xué)則毫無疑問是數(shù)學(xué)的。”這即是在表明,數(shù)學(xué)所揭示的客觀規(guī)律性不僅是應(yīng)用在經(jīng)驗世界中,而且只有在經(jīng)驗世界中,數(shù)學(xué)知識才是客觀有效的。僅僅是純粹的數(shù)學(xué)演繹并不構(gòu)成實在的價值和意義,所以,數(shù)學(xué)只能建立在實用的基礎(chǔ)上。但是,這種實用性是指數(shù)學(xué)知識的有效性和運用性,而非經(jīng)驗世界中的實用性。經(jīng)驗世界中的實用性,是直接性的,這種直接性不具備有效性和運用性。數(shù)學(xué)知識的有效性和運用性就在于它的實踐性,也即探究性。這種探究性包括兩方面。
(一)數(shù)學(xué)知識是對概念的理智構(gòu)造,這種理智構(gòu)造本身就是探究性的。探究性的思維基礎(chǔ)是辯證思維,也就是從概念到概念,概括和細論,結(jié)合和區(qū)劃,綜合和分析等。在小學(xué)數(shù)學(xué)中,不僅是使小學(xué)生開始掌握清晰自明的數(shù)學(xué)概念,如數(shù)字概念,而且在于使小學(xué)生開始掌握和運用基本的運算能力和分析能力。如小學(xué)數(shù)學(xué)中的四則運算、簡便方法運算以及通過應(yīng)用題的形式來分析并解決日常生活中的數(shù)學(xué)問題等。這即是開拓人的探究性思維的開始。同時,這種探究性也在于從開始掌握和運用時并進入到對真理性的把握,因為,從一開始掌握的數(shù)字“1”所代表的數(shù)量概念是不可否認的,到數(shù)字“2”為“1+1”所構(gòu)造出來的概念仍然是十分嚴密和精確的,以至類推,小學(xué)生并一開始就從嚴密和精確的態(tài)度進入對真理的探究中。這種理智的探究性或?qū)嵺`性盡管是人類探索真理的源泉,但是,如果超出了實用意義的范圍,進入了純粹理性推理的范圍。那數(shù)學(xué)知識的確實性也就完全超出了人類的判斷能力,這也就使數(shù)學(xué)知識的確實性本身對于人類來說始終處于懸而未決的狀態(tài)而失去意義。
(二)因此,小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的探究性不僅從邏輯推理上是嚴密和精確的,還在于數(shù)學(xué)思維在日常生活中的運用。這種運用既是防止因數(shù)學(xué)思維的抽象性而使小學(xué)生在以后對生活與社會的思考中由于沒正確對待數(shù)學(xué)知識的確實性和數(shù)學(xué)推理的意義所在,而陷入純粹的理性主義。甚至主觀唯心主義。因為,數(shù)學(xué)思維的探究性要具有實在的意義,必然是只能在解決我們的感官對象上才有實在的意義。因此,這種探究性也必須應(yīng)用在對經(jīng)驗事實的實踐意義上。同時,也是防止小學(xué)生因著眼于純粹的經(jīng)驗事實,在以后對生活和社會的思考中陷入和心理主義者一樣的境地。這種心理主義在小學(xué)生最開始進入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時就有所表現(xiàn),因為他完全可以把“2+3=?”的結(jié)果算成不是“5”的任何結(jié)果。當(dāng)然,這種表現(xiàn)并不是心理主義,而是腦子好象是空白的,但這種空白若不經(jīng)嚴密和精確的邏輯推理進行洗禮,這種空白就將被他成長中的沒經(jīng)過嚴密思考的經(jīng)驗事實所左右,雖不具備心理主義的理論素養(yǎng),但其觀念必然是和那些心理主義者的觀念一樣是遭到否定的。
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