數(shù)形結(jié)合研究論文
時(shí)間:2022-01-13 11:31:00
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推行素質(zhì)教育,培養(yǎng)面向新世紀(jì)的合格人才,使學(xué)生具有創(chuàng)新意識(shí),在創(chuàng)造中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),教育應(yīng)更多的關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和策略。數(shù)學(xué)家喬治.波利亞所說:“完善的思想方法猶如北極星,許多人通過它而找到正確的道路”。隨著課程改革的深入,“應(yīng)試教育”向“素質(zhì)教育”轉(zhuǎn)變的過程中,對(duì)學(xué)生的考察,不僅考查基礎(chǔ)知識(shí),基本技能,更為重視考查能力的培養(yǎng)。如基本知識(shí)概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理的學(xué)習(xí)和探索過程中所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法;要求學(xué)生會(huì)觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括;會(huì)闡述自己的思想和觀點(diǎn)。從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想觀念層次上的數(shù)學(xué)教育。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維,數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實(shí)現(xiàn),在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)思維能力,形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣,既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn),也是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)切入點(diǎn)。
“數(shù)缺形,少直觀;形缺數(shù),難入微”,數(shù)形結(jié)合的思想,就是研究數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法,它是指把代數(shù)的精確刻劃與幾何的形象直觀相統(tǒng)一,將抽象思維與形象直觀相結(jié)合的一種思想方法。
數(shù)形結(jié)合的思想貫穿初中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。數(shù)形結(jié)合思想的主要內(nèi)容體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:(1)建立適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)模型(主要是方程、不等式或函數(shù)模型),(2)建立幾何模型(或函數(shù)圖象)解決有關(guān)方程和函數(shù)的問題。(3)與函數(shù)有關(guān)的代數(shù)、幾何綜合性問題。(4)以圖象形式呈現(xiàn)信息的應(yīng)用性問題。采用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn)。如果能將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來,有效地相互轉(zhuǎn)化,一些看似無法入手的問題就會(huì)迎刃而解,產(chǎn)生事半功倍的效果。
數(shù)形結(jié)合的思想方法,不象一般數(shù)學(xué)知識(shí)那樣,通過幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征,學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識(shí)水平和知識(shí)特點(diǎn),逐步滲透,螺旋上升,不斷的豐富自身的內(nèi)涵。
教學(xué)中可以從以下幾個(gè)方面,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括,形成對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的的主動(dòng)應(yīng)用。
一、滲透數(shù)形結(jié)合的思想,養(yǎng)成用數(shù)形結(jié)合分析問題的意識(shí)
每個(gè)學(xué)生在日常生活中都具有一定的圖形知識(shí),如繩子和繩子上的結(jié)、刻度尺與它上面的刻度,溫度計(jì)與其上面的溫度,我們每天走過的路線可以看作是一條直線,教室里每個(gè)學(xué)生的坐位等等,我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識(shí)基礎(chǔ),把生活中的形與數(shù)相結(jié)合遷移到數(shù)學(xué)中來,在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的滲透,挖掘教材提供的機(jī)會(huì),把握滲透的契機(jī)。如數(shù)與數(shù)軸,一對(duì)有序?qū)崝?shù)與平面直角坐標(biāo)系,一元一次不等式的解集與一次函數(shù)的圖象,二元一次方程組的解與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系等,都是滲透數(shù)形結(jié)合思想的很好機(jī)會(huì)。
如:直線是由無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合,實(shí)數(shù)包括正實(shí)數(shù)、零、負(fù)實(shí)數(shù)也有無數(shù)個(gè),因?yàn)樗鼈兊倪@個(gè)共性所以用直線上無數(shù)個(gè)點(diǎn)來表示實(shí)數(shù),這時(shí)就把一條直線規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度,把這條直線就叫做數(shù)軸。建立了數(shù)與直線上的點(diǎn)的結(jié)合。即:數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù),每個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到表示它的點(diǎn),建立了實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,由此讓學(xué)生理解了相反數(shù)、絕對(duì)值的幾何意義。建立數(shù)軸后及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)軸來進(jìn)行有理數(shù)的比較大小,學(xué)生通過觀察、分析、歸納總結(jié)得出結(jié)論:通常規(guī)定右邊為正方向時(shí),在數(shù)軸上的兩個(gè)數(shù),右邊的總大于左邊的,正數(shù)大于零,零大于負(fù)數(shù)。讓學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合思想在解決問題中的應(yīng)用。為下面進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想奠定基礎(chǔ)。
例:根據(jù)所給圖形在下列橫線上填上合適數(shù)字,并說明理由:
-1--,--3---,---6--,----10--,--15----,--21----,---28--,--36---……-----在講解通過形來說明數(shù)的找規(guī)律問題中應(yīng)該從形中找數(shù)。如第一個(gè)圖形有一個(gè)小正方形,第二個(gè)圖形有三個(gè)小正方形,第三個(gè)圖形有六個(gè)小正方形,那么第四個(gè)圖形將有幾個(gè)小正方形呢?從前三個(gè)中尋找規(guī)律,第二個(gè)比第一個(gè)多兩個(gè)小正方形,第三個(gè)比第二個(gè)多三個(gè)小正方形,那么第四個(gè)就比第三個(gè)多四個(gè)小正方形,第四個(gè)圖形就有十個(gè)小正方形,第五個(gè)比第四個(gè)多五個(gè)小正方形,那么第五個(gè)就有十五個(gè)小正方形,依次類推,第六個(gè)圖形就有二十一個(gè)小正方形,第七個(gè)圖形就有二十八個(gè)小正方形,第八個(gè)圖形就有三十六個(gè)小正方形。那么上面的橫線上分別填上10、15、21、28、36,第n個(gè)圖形就應(yīng)該有1+2+3+4+5+6……+n=個(gè)小正方形。這也體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。
例2:小明的父母出去散步,從家走了20分到一個(gè)離家900米的報(bào)亭,母親隨即按原速返回。父親看了10分報(bào)紙后,用了15分返回家。你能在下面的平面直角坐標(biāo)系中畫出表示父親和母親離家的時(shí)間和距離之間的關(guān)系嗎?
結(jié)合探索規(guī)律和生活中的實(shí)際問題,反復(fù)滲透,強(qiáng)化數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想,使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。并能在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的時(shí)候注意一些基本原則,如是知形確定數(shù)還是知數(shù)確定形,在探索規(guī)律的過程中應(yīng)該遵循由特殊到一般的思路進(jìn)行,從而歸納總結(jié)出一般性的結(jié)論。
二、學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想,增強(qiáng)解決問題的靈活性,提高分析問題、解決問題的能力
在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想時(shí),應(yīng)讓學(xué)生了解,所謂數(shù)形結(jié)合就是找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn),根據(jù)對(duì)象的屬性,將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來,有效地相互轉(zhuǎn)化,就成為解決問題的關(guān)鍵所在。
數(shù)形結(jié)合的結(jié)合思想主要體現(xiàn)在以下幾種:
(1)用方程、不等式或函數(shù)解決有關(guān)幾何量的問題;
(2)用幾何圖形或函數(shù)圖象解決有關(guān)方程或函數(shù)的問題;(3)解決一些與函數(shù)有關(guān)的代數(shù)、幾何綜合性問題;
(4)以圖象形式呈現(xiàn)信息的應(yīng)用性問題。
例1:一個(gè)角的補(bǔ)角是這個(gè)角余角的3倍,求這個(gè)角的度數(shù)。
解:設(shè)這個(gè)角為X0,則它的余角為(900-x0),它的補(bǔ)角為(1800-x0)根據(jù)題意得:
1800-x0=3(900-x0)
解這個(gè)方程得:x0=450
所以這個(gè)角為450
例2:一塊四周鑲有寬度相等的花邊的地毯如圖所示,它的長(zhǎng)為8m,寬為5m。如果地毯中央長(zhǎng)方形圖案的面積為18m2,那么花邊有多寬?
SHAPE\*MERGEFORMAT
如果設(shè)花邊的寬為xm,那么地毯中央長(zhǎng)方形圖案的長(zhǎng)_(8-2x)_________m,寬為___(_5-2x)________m.根據(jù)題意,可得方程
______(8-2x)(5-2x)=18_______。
解這個(gè)方程得出x的值
這就是用方程的方法來解決有關(guān)幾何圖形的問題
例4:A、B兩地相距150千米,甲、乙兩人騎自行車分別從A、B兩地相向而行。假設(shè)他們都保持勻速行駛,則他們各自到A地的距離s(千米)都是騎車時(shí)間t(時(shí))的一次函數(shù).
1時(shí)后乙距A地120千米,
2時(shí)后甲距A地40千米.
問經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩人相遇?
[分析]可以分別作出兩人s與t之間的關(guān)系圖象,
找出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就行了。
例5:下圖中L1,L2分別表示B離岸起兩船相對(duì)于海岸的距離s與追趕時(shí)間t之間的關(guān)系。
SHAPE\*MERGEFORMAT
根據(jù)圖象回答下列問題:
當(dāng)時(shí)間t等于多少分鐘時(shí),我邊防快艇B能夠追趕上A。
SHAPE\*MERGEFORMAT
分析:可先根據(jù)圖象給出的信息,確定L1,L2的函數(shù)表達(dá)式,然后把兩個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式組成方程組,解這個(gè)方程組就得到了兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo),即為所得結(jié)論。
解:由圖象知:直線L2過點(diǎn)(0,6)和點(diǎn)(10,8)直線L2過點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(10,6)設(shè)直線L1的表達(dá)式為s=k1t;直線L2的表達(dá)式為s=k2t+b
所以10k1=6k1=s=t
10k2+b=8
b=610k2+6=810k2=2k2=b=6
s=t+6
s=tt=15
解這個(gè)方程組得:
S=t+6s=9
所以,當(dāng)時(shí)間t等于15分鐘時(shí),我邊防快艇B能夠追趕上A。
由以上的幾個(gè)例子,我們可以看出數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用往往能使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問題變得直觀,解題思路非常的清晰,步驟非常的明了。另一方面在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中,可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
利用現(xiàn)有教材,教學(xué)中著意滲透并力求幫助學(xué)生初步掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法,結(jié)合其它數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí),注意幾種思想方法的綜合使用,給學(xué)生提供足夠的材料和時(shí)間,啟發(fā)學(xué)生積極思維。相信會(huì)使學(xué)生在認(rèn)識(shí)層次上得到極大的提高,收到事半功倍的教學(xué)成效。論文關(guān)鍵詞:思維滲透數(shù)學(xué)思想方法思維能力契合點(diǎn)創(chuàng)新意識(shí)
論文摘要:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維,數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實(shí)現(xiàn),在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)思維能力,形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣,數(shù)形結(jié)合的思想貫穿初中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。數(shù)形結(jié)合思想的主要內(nèi)容體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:(1)建立適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)模型(主要是方程、不等式或函數(shù)模型),(2)建立幾何模型(或函數(shù)圖象)解決有關(guān)方程和函數(shù)的問題。(3)與函數(shù)有關(guān)的代數(shù)、幾何綜合性問題。(4)以圖象形式呈現(xiàn)信息的應(yīng)用性問題。采用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn)。如果能將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來,有效地相互轉(zhuǎn)化,一些看似無法入手的問題就會(huì)迎刃而解,產(chǎn)生事半功倍的效果。
參考文獻(xiàn):
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[3]《2008年陜西中考全程指導(dǎo)》中考命題研究組