導(dǎo)語：數(shù)學(xué)知識交匯研究論文一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

1．立體幾何與平面解析幾何的交匯

在教材中，立體幾何與解析幾何是互相獨立的兩章，彼此分離不相聯(lián)系，實際上，從空間維數(shù)看，平面幾何是二維的，立體幾何是三維的，因此，立體幾何是由平面幾何升維而產(chǎn)生；另一方面，從立體幾何與解析幾何的聯(lián)系看，解析幾何中的直線是空間二個平面的交線，圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）是平面截圓錐面所產(chǎn)生的截線；從軌跡的觀點看，空間中的曲面（曲線）是空間中動點運動的軌跡，正因為平面幾何與立體幾何有這么許多千絲萬縷的聯(lián)系，因此，在平面幾何與立體幾何的交匯點，新知識生長的土壤特別肥沃，創(chuàng)新型題型的生長空間也相當(dāng)寬廣，這一點，在04高考卷中已有充分展示，應(yīng)引起我們在復(fù)習(xí)中的足夠重視。

1.1空間軌跡

教材中，關(guān)于軌跡，多在平面幾何與平面解析幾何中加以定義，在空間中，只對球面用軌跡定義作了描述。如果我們把平面解析幾何中的定點、定直線不局限在同一個平面內(nèi)，則很自然地把軌跡從平面延伸到空間。

例1，（04高考重慶理科）若三棱錐A—BCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動點P到平面BCD距離與到棱AB距離相等，則動點P的軌跡與△ABC組成的圖形可能是（）

解：設(shè)二面角A—BC—D大小為θ，作PR⊥面BCD，R為垂足，PQ⊥BC于Q，PT⊥AB于T，則∠PQR=θ，且由條件PT=PR=PQ·sinθ，∴為小于1的常數(shù)，故軌跡圖形應(yīng)選（D）。

例2，已知邊長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1，在正方體表面上距A為（在空間）的點的軌跡是正方體表面上的一條曲線，求這條曲線的長度。

解：此問題的實質(zhì)是以A為球心、為半徑的球在正方體ABCD—A1­B1C1D1，各個面上交線的長度計算，正方體的各個面根據(jù)與球心位置關(guān)系分成二類：ABCD，AA1DD1，AA1BB1為過球心的截面，截痕為大圓弧，各弧圓心角為，A1B1C1D1，B1BCC1，D1DCC1為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為，故各段弧圓心角為，∴這條曲線長度為。

1.2平面幾何的定理在立體幾何中類比

高考考綱對考生思維能力中明確要求“會對問題或資料進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括，會用演繹、歸納和類比進行推理，能合乎邏輯地、準(zhǔn)確地進行表述”，類比推理可考查考生利用舊知進行知識遷移、組合和融匯的能力，是一種較好地考查創(chuàng)新能力的形式，平面幾何到立體幾何的類比，材料豐富，操作性強，在歷年高考中均有不俗表現(xiàn)。

例3，（04高考廣東卷題15）由圖(1)有面積關(guān)系：，則由圖(2)有體積關(guān)系（答案：）

評注：數(shù)學(xué)結(jié)論的類比既需要數(shù)學(xué)直覺，也需要邏輯推理能力，它是高考考查創(chuàng)新能力的重要載體，從平面幾何到立體幾何的結(jié)論類比，更是這一類考題蘊藏豐富的寶庫，從三角形到三棱錐，從正方形到正方體，從圓到球等等，如果我們稍加留意，就會有很多收獲。

1.3幾何體的截痕

例：球在平面上的斜射影為橢園：已知一巨型廣告汽球直徑6米，太陽光線與地面所成角為60°，求此廣告汽球在地面上投影橢圓的離心率和面積（橢圓面積公式為S=πab，其中a,b為長、短半軸長）。

解：由于太陽光線可認(rèn)定為平行光線，故廣告球的投影

橢園等價于以廣告球直徑為直徑的圓柱截面橢園：此時

b=R，a==2R，∴離心率，

投影面積S=πab=π·k·2R=2πR2=18π。

評注：囿于空間想象能力的限制，幾何體的截痕和投影是立體幾何中的一個難點，也是具，有良好區(qū)分度的考題素材，因此有必要適當(dāng)進行相應(yīng)的訓(xùn)練，才能形成基本的解題策略。

1.4幾何體的展開

例：有一半徑為R的圓柱，被與軸成45°角平面相截得“三角”圓柱ABC,則此“三角”圓柱的展開圖為（）

解：設(shè)圓柱底面中心O，底面圓周上任一點P''''，過P''''的圓柱母線與截點為P，

∠AOP''''=θ，則∵∠CBA=45°，作P''''Q⊥AB于Q，∴|PP''''|=|AC|－|AQ|=2R－（R－Rcosθ）=R（1+cosθ），AP''''=Rθ。

∴在柱面展開圖中，以AB直線為x軸，AC為y軸建立直角坐標(biāo)系，相應(yīng)點P坐標(biāo)為（x,y），則有消去得，展開圖輪廓線為余弦曲線，故應(yīng)選（D）

評注：幾何體與其展開圖，包含了平面與空間的大量信息，需要較強的空間想象能力，要進行點與對應(yīng)點，線段與對應(yīng)線段的位置與數(shù)量的細致分析，需找出變與不變量以及變化規(guī)律，因此，它是代數(shù)與幾何、空間與平面的重要知識交匯點。

2．概率與數(shù)列的交匯

數(shù)列是以正整數(shù)n為自變量的函數(shù)，而n次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)k次的概率Pn(k)也是自然數(shù)n,k的函數(shù)，借助于自然數(shù)這一紐帶，可實現(xiàn)數(shù)列與概率的交匯。

例4：質(zhì)點從原點O出發(fā)，在數(shù)軸上向右運動，且遵循以下運動規(guī)律：質(zhì)點向右移動一個單位的概率為，右移2個單位的概率為，設(shè)質(zhì)點運動到點（n,0）的概率為Pn。

①求P1和P2。

②求證｛Pn－Pn－1｝是等比數(shù)列。

③求Pn。

解：①P1=，

②由題意可知，質(zhì)點到達點（n,0），可分兩種情形，由點（n-1,0）右移1個單位或由點（n-2,0）右移2個單位，故由條件可知：（n≥3）

評注：本題解題關(guān)鍵是數(shù)列的遞歸規(guī)律，建立概率數(shù)列的遞推公式，用數(shù)列知識解題，這種復(fù)雜的系列問題通過擷取其片段，解剖其規(guī)律，是破解難題的常用手段。

3．向量與三角、幾何的交匯

向量既有長度，又有方向，因此，向量蘊含長度和角度，因此，以幾何、三角為背景的問題便可成為產(chǎn)生向量問題良好溫床。

例5：（04高考湖北卷19）如圖，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以A為中點，問和夾角取何值時，的值最大？并求出這個最大值。

評注：本題為用向量形式表現(xiàn)的幾何最值問題，具有較強的綜合性，適時建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)形式，最終轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，大大降低了解題的難度。同時，也對相關(guān)知識的化歸能力提出了較高要求。

4．向量與立體幾何的交匯

在最新版部編教材中，向量的內(nèi)容有所加強，特別在平面向量的運算規(guī)律和平面向量基本定理進一步擴充到空間中，向量的工具性地位更加突出，因此，用向量解立體幾何問題也不應(yīng)局限在建立空間直角坐標(biāo)系，用空間坐標(biāo)運算來解決問題，而應(yīng)著眼于向量的本質(zhì)內(nèi)容。

例6：已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1各棱長均為1，

且棱AA1，AD，AB兩兩成60°角，E,F分別為

A1D1和B1B中點，求EF的長。

評注：本題新穎之處在于向量與立體幾何的結(jié)合，并不只是建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)向量來解題。對于那種不方便建立空間直角坐標(biāo)系的問題，如斜棱柱斜棱錐等可直接利用空間向量的運算性質(zhì)解題。

5．向量與解析幾何的交匯

由于向量在描述長度與角度上獨特的工具性，解析幾何有著向量展現(xiàn)的良好的基礎(chǔ)，歷年新高考試卷已在此積累了不少成功經(jīng)驗，04高考也不例外，使向量與解幾的結(jié)合更加合縫與自然。

例7.（2005高考全國卷1）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線。

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設(shè)M為橢圓上任意一點，且，證明為定值。

（I）解：設(shè)橢圓方程為

則直線AB的方程為

故為定值，定值為1.

評注：解向量與解幾的交匯題，關(guān)鍵在于利用向量的坐標(biāo)形式把向量條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)條件。

6．?dāng)?shù)列與函數(shù)的交匯

數(shù)列與函數(shù)一脈相承，因此，數(shù)列與函數(shù)的交匯是傳統(tǒng)的命題熱點，04、05年高考更有長足的表現(xiàn)，把數(shù)列、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識點交匯在一起，綜合程度和思維要求均有所提高。

例8（2005高考浙江卷）設(shè)點(，0)，和拋物線：y＝x2＋anx＋bn

(n∈N*)，其中an＝－2－4n－，由以下方法得到：x1＝1，點P2(x2，2)在拋物線C1：y＝x2＋a1x＋b1上，點A1(x1，0)到P2的距離是A1到C1上點的最短距離，…，點在拋物線：y＝x2＋anx＋bn上，點(，0)到的距離是到上點的最短距離．

即時，等式成立

由①②知，等式對成立，故是等差數(shù)列。

評注：函數(shù)是特殊的數(shù)列，因此函數(shù)與數(shù)列具有天然的親密關(guān)系，可我們在學(xué)習(xí)中，往往過分關(guān)注數(shù)列的特殊性和數(shù)列解題的特殊技巧，高考強調(diào)函數(shù)和數(shù)列的結(jié)合，有助于糾正這一偏差。

綜上所述，知識交匯處是創(chuàng)新型試題生長的沃土，也是高考復(fù)習(xí)中十分重要的著眼點。在高考復(fù)習(xí)中，我們必須重視在知識交匯處挖掘復(fù)習(xí)素材，加強知識交匯點的訓(xùn)練，才能增強高考創(chuàng)新型試題的適應(yīng)能力。