導(dǎo)語：圖像特征巧解高中數(shù)學(xué)函數(shù)題研究一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要：圖像與函數(shù)是密不可分的，通過圖像可以將抽象的函數(shù)直觀展現(xiàn)在學(xué)生面前，使函數(shù)問題具體化、清晰化。文章通過對函數(shù)圖像與函數(shù)問題的關(guān)聯(lián)研究，提出如何利用函數(shù)圖像解答高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題，幫助學(xué)生輕松應(yīng)對數(shù)學(xué)函數(shù)問題，使學(xué)生能夠擺脫函數(shù)學(xué)習(xí)困境，獲得學(xué)習(xí)自信，并提出函數(shù)教學(xué)的合理建議，以提高課堂教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：高中函數(shù)；圖像特征；解題技巧；對策建議

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是學(xué)生接受高層次學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)內(nèi)容。函數(shù)不僅在數(shù)學(xué)中涉及，還存在于其他學(xué)科和專業(yè)中。因此，函數(shù)是高中生必須掌握和具備的數(shù)學(xué)知識。利用函數(shù)圖像將函數(shù)語言轉(zhuǎn)化為圖像，可以使函數(shù)更加直觀，學(xué)生理解起來更容易。本文對如何利用函數(shù)圖像解答函數(shù)題進(jìn)行論述。

一、高中函數(shù)及函數(shù)圖像的特點(diǎn)和意義

函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有很重要的地位。從內(nèi)容上看，很多數(shù)學(xué)內(nèi)容都涉及函數(shù)，函數(shù)屬于解題的重要方式，具有很強(qiáng)的應(yīng)用性和分析價(jià)值；從難易程度來看，函數(shù)的延展性比較強(qiáng)，既可以簡化，又可以涉及較難的知識點(diǎn)；從題型來看，通過變化，函數(shù)題型十分豐富，既可以簡單考查某一知識點(diǎn)，以填空和單選形式出現(xiàn)，又可以考查函數(shù)多個(gè)知識點(diǎn)以及和其他知識點(diǎn)的聯(lián)系，以解答分析題出現(xiàn)在試卷最后；從函數(shù)的學(xué)習(xí)意義來看，函數(shù)不僅僅是獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容，還應(yīng)用于物理、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科和專業(yè)，學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的過程不會只停留在高中階段，當(dāng)升入大學(xué)后，很多專業(yè)知識都會涉及函數(shù)。由此可見，高中函數(shù)對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、其他學(xué)科學(xué)習(xí)以及思維的培養(yǎng)有著重要的意義。函數(shù)圖像作為函數(shù)的一部分，具有解釋函數(shù)、輔助學(xué)生理解函數(shù)的作用。通過函數(shù)圖像輔助函數(shù)教學(xué)，可使學(xué)生較快掌握函數(shù)題的特點(diǎn)和解題方式。在函數(shù)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生養(yǎng)成利用函數(shù)圖像解答函數(shù)題的習(xí)慣，使學(xué)生形成清晰的函數(shù)思維。

二、利用圖像解答函數(shù)問題的原則

1.利用函數(shù)圖像，培養(yǎng)學(xué)生圖像思維。函數(shù)與圖像是密不可分的，函數(shù)是圖像的表示，圖像是函數(shù)的體現(xiàn)。學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)，就應(yīng)養(yǎng)成函數(shù)圖像解題思維。高中教師在函數(shù)教學(xué)中，要以培養(yǎng)學(xué)生圖像思維能力為原則，使學(xué)生養(yǎng)成圖像解題的習(xí)慣，利用函數(shù)圖像分析語言，促使學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)能夠利用很少的運(yùn)算得到函數(shù)題的答案。2.利用函數(shù)圖像，培養(yǎng)學(xué)生解題技巧。函數(shù)圖像解題思維要以扎實(shí)的解題技巧為基礎(chǔ)。俗話說：“巧婦難為無米之炊?！眱H有利用圖像的思維，缺少解題技巧，在面對函數(shù)題時(shí)不知道如何利用，也是無法實(shí)現(xiàn)良好結(jié)合的。教師要以培養(yǎng)學(xué)生解題技巧為原則，讓學(xué)生在解題時(shí)可以根據(jù)題目和重點(diǎn)畫出函數(shù)圖像，找到解題方式。3.利用函數(shù)圖像，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合意識。函數(shù)與圖像是不可分割的，教師利用函數(shù)圖像培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識，在題目中設(shè)計(jì)做圖像的例題，既能鍛煉學(xué)生的畫圖能力，也能培養(yǎng)學(xué)生的圖像思維意識。學(xué)生利用函數(shù)的特性，將特性表現(xiàn)在函數(shù)圖像中，能逐漸形成看到圖像就獲得表達(dá)式的技能，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合意識。

三、利用函數(shù)圖像解答函數(shù)題的實(shí)踐研究

單純地利用文字整理題目內(nèi)容和關(guān)鍵點(diǎn)，難以得到全面、有效的答案，而通過繪制函數(shù)圖像解答函數(shù)問題，卻可以直觀地分析、判斷。另外，利用函數(shù)圖像與函數(shù)性質(zhì)對應(yīng)，還可以解決函數(shù)零點(diǎn)、根的個(gè)數(shù)、不等式等問題。因此，在看到函數(shù)問題時(shí)，學(xué)生首先要考慮可以繪制什么樣的函數(shù)圖像，通過函數(shù)圖像進(jìn)行接下來的探究。1.對函數(shù)圖像分類討論。學(xué)生利用函數(shù)圖像，可以對函數(shù)進(jìn)行分類。函數(shù)問題中，分類討論的題目十分常見，并且情況復(fù)雜，學(xué)生僅通過文字很難把所有情況逐一列舉。因此，學(xué)生要掌握函數(shù)的特殊性質(zhì)，在繪制函數(shù)圖像后，通過圖像對各種情況展開討論。有些函數(shù)題中，由于自變量的變化會影響函數(shù)，這時(shí)教師可讓學(xué)生繪制出函數(shù)圖像，利用坐標(biāo)表達(dá)函數(shù)，再對自變量進(jìn)行分類討論。常見的圖像與函數(shù)對應(yīng)關(guān)系為：從函數(shù)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)得到函數(shù)極值、最值，從圖像分析奇偶性，從圖像的趨勢分析單調(diào)性和周期。例如，函數(shù)中帶有絕對值判斷單調(diào)性，就要通過去掉絕對值，畫出函數(shù)圖像進(jìn)行分析，分別討論寫出正負(fù)x時(shí)的函數(shù)，再畫出函數(shù)圖像，選擇x對應(yīng)的曲線，去掉不對應(yīng)部分，形成圖像。又如，對于常見的指數(shù)函數(shù)y=（a-1）x，首先要明確圖像與（a-1）的關(guān)系，再把圖像和方程結(jié)合，分別導(dǎo)出（a-1）與0和1的關(guān)系，進(jìn)行不同情況下的函數(shù)圖像的表達(dá)，就可以判斷圖像走向和趨勢。這種利用畫圖分類討論的形式，可以節(jié)省學(xué)生解題時(shí)間，提高解題效率，使學(xué)生數(shù)學(xué)函數(shù)思維更加清晰。2.對函數(shù)圖像進(jìn)行特征應(yīng)用。通過基礎(chǔ)圖像表達(dá)函數(shù)，再利用函數(shù)圖像獲得表達(dá)式，是函數(shù)最基本的特征。很多時(shí)候，單一的函數(shù)問題無法從函數(shù)式中獲得答案，學(xué)生要通過函數(shù)特有的特點(diǎn)，畫圖分析，得到答案。例如，對于“做出y=x+1/x的函數(shù)圖像”，學(xué)生要根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的奇偶性判斷出該函數(shù)為奇函數(shù)，然后根據(jù)特性做出x>0時(shí)的函數(shù)圖像，得到x>0時(shí)函數(shù)≥2，得到函數(shù)最低點(diǎn)為（1，2），再通過分析x在（0，1）為減函數(shù)，在x>1時(shí)為增函數(shù)，結(jié)合x+1/x>x，得到結(jié)論y=x為漸近線，最后畫出圖像。學(xué)生利用函數(shù)的特點(diǎn)，畫出函數(shù)圖像，找到函數(shù)特有的性質(zhì)，就可以順利解答函數(shù)題。另一種方式就是通過描述，寫出函數(shù)方程式，然后選擇正確的函數(shù)圖像，這類試題以文字表述為主，需要學(xué)生從文字中提煉關(guān)鍵語句，獲得主要內(nèi)容，再進(jìn)行下一步分析，討論不同情況下的函數(shù)表達(dá)式，并利用函數(shù)表達(dá)式做出函數(shù)圖像。例如，對于“利用圖像表達(dá)出圖形中移動點(diǎn)包含的陰影面積。在直角梯形ABCD中，角B為直角，BC=CD=1/2AB，DC∥AB，有一點(diǎn)P沿著C到D方向運(yùn)動，若P移動的路程為x，組成的三角形ABP面積為y，寫出x與y的函數(shù)關(guān)系式，并做出圖像”。學(xué)生可通過試題，得到梯形樣式和P點(diǎn)的移動，做出圖像，再把三角形用陰影表示出來，模仿P點(diǎn)移動軌跡，尋找P點(diǎn)移動過程中面積的區(qū)別，發(fā)現(xiàn)P點(diǎn)在BC邊上移動形成變化的三角形，在CD邊上移動則形成了上底、下底、高都不變的直角梯形，然后分別寫出函數(shù)關(guān)系式，做出函數(shù)圖像。這樣，學(xué)生就通過語言文字，提取函數(shù)關(guān)系，再利用函數(shù)關(guān)系分析函數(shù)圖像，最終得到答案。3.通過函數(shù)圖像，快速解答選擇題。很多函數(shù)題的解答需要煩瑣的過程，花費(fèi)大量的時(shí)間。在有規(guī)定時(shí)間的考試中，對于涉及函數(shù)的選擇題，學(xué)生可利用特殊值帶入或者函數(shù)圖像估算、排除、確定最終選項(xiàng)。一些選擇題鍛煉的就是學(xué)生對函數(shù)特性的理解能力，并非需要學(xué)生計(jì)算出具體的答案，這時(shí)函數(shù)圖像就在解題中發(fā)揮了重要的作用。利用函數(shù)方程求不等式就是很好的應(yīng)用，當(dāng)不等式不能帶入或者麻煩的時(shí)候，就可以利用其對應(yīng)的函數(shù)方程，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式的函數(shù)方程，從兩個(gè)函數(shù)方程在直角坐標(biāo)系上的位置關(guān)系判斷不等式的大小。例如，判斷對數(shù)函數(shù)的大小時(shí)，試題中給出a、b的大小關(guān)系，0<a<b<1，然后給出以a為底的b，以b為底的a，以1/a為底的b和以1/b為底的a，選擇排序大小正確的選項(xiàng)。學(xué)生可首先設(shè)Y1、Y2、Y3、Y4分別為底是a、b、1/a、1/b的對數(shù)函數(shù)，由0<a<b<1推出a、b、1/a、1/b的大小關(guān)系，然后在同一坐系中做出底數(shù)不同的函數(shù)圖像，再做出垂直于（a，0）和（b，0）的直線，得到與四個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，比較對應(yīng)的縱坐標(biāo)，得出大小關(guān)系。

綜上所述，利用圖像解答函數(shù)問題，可以幫助學(xué)生直觀、具體、全面地分析問題，獲得思路和答案。教師應(yīng)當(dāng)將函數(shù)圖像解題思維和解題技巧滲透在函數(shù)教學(xué)中，讓學(xué)生學(xué)會繪制函數(shù)圖像，對函數(shù)進(jìn)行分類討論，遇到情境問題時(shí)則仔細(xì)耐心地判斷特征，利用函數(shù)圖像特征解答函數(shù)問題，掌握函數(shù)特性，為深入研究函數(shù)打下基礎(chǔ)。

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作者:余文 單位:福建省寧德五中