導語：如何才能寫好一篇向量平行公式，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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關鍵詞：橋梁 連續(xù)箱梁 貝雷桁架式掛籃 施工

隨著我國高速公路，城市市政基礎設施建設的發(fā)展，鋼筋混凝土連續(xù)箱梁橋，連續(xù)剛構橋常被采用，隨之而來的連續(xù)箱梁施工方法因各項目工程的特點而多樣，特別是平行貝雷桁架式掛籃以其結(jié)構輕巧，拼裝簡便，移動靈活等優(yōu)點而廣泛運用，這里主要介紹以貝雷桁片作為勁性主梁的平行貝雷桁架式掛籃在連續(xù)箱梁懸臂施工中的應用，供類似橋型施工參考.

一.工程概況：

嘉興市洪興西路跨北郊河大橋主橋為三跨T型剛構，橋跨布置為40+60+40米，單幅橋面總寬12.75米，T型剛構設計為直腹板單箱雙室變截面梁，箱梁底寬10.75米，兩邊翼板各寬1米，主墩為9#，10#，四主墩均在北郊河中。因此要求9#，10#墩采用掛籃懸澆施工。

主橋連續(xù)箱梁節(jié)段為：0#塊3米，1#塊2.6米，2#塊2.6米，3#塊3.1米4#塊3.1米，5#塊3.1米，6#塊3.0米，7#塊1.56米。共有6塊箱梁需要進行掛籃施工。

塊件最大重量為70.7噸（3#塊），最小重量為45.87噸（7#塊）。

設計掛籃荷載要求：掛籃承重為150噸，掛籃自重控制40噸。

二、掛籃模型確定：

由于本工程箱梁節(jié)段少，重量較輕，橋面寬度較窄（寬度為12.75米），經(jīng)幾方面比較，結(jié)合本工程特點，決定采用平行桁架式掛籃。由組合貝雷片作為勁性主梁，每兩片為一組，共三組。

前上、下橫梁為：1根雙拼32#工字鋼、1根雙拼工字45#鋼。

后上、下橫梁為：1根雙拼36#工字鋼、1根雙拼36#工字鋼。

底模采用固定平臺，底板采用6毫米鐵板，22#工字梁為平臺分配縱梁。

掛籃前后各置180×20鋼板吊帶。提升裝置為30噸螺旋千斤頂。

三、底模平臺

底模平臺采用22#工字鋼作為分配縱梁，間距40厘米，腹板位置采用滿布，用8槽鋼作橫向連結(jié)型鋼梁，面層鋪設6mm鋼板作為底模。作用于平臺上的荷載參考有關資料，荷載系數(shù)取值如下：

四、上、下橫梁驗算

五、提升系統(tǒng)扁擔分配梁驗算

本掛籃提升由吊帶、雙拼22#槽鋼扁擔分配梁、30噸手動螺旋千斤頂組成。由前后下橫梁的受力圖可知，前中吊帶的受力最大，其承受的拉力為N中=R15=32.37（T）。理論上可把扁擔分配梁和30噸手動螺旋千斤頂組成的結(jié)構當成外伸簡支梁來分析。

剛度滿足要求。

六、承重桁架驗算

承重桁架采用貝雷梁，每道腹板處設一組，每組由兩片貝雷片組成，全橋布置三組。

1. 作用在主桁架的荷載：

由前上下橫梁內(nèi)力圖的支座反力可知主桁架懸臂端的集中荷載：

G前=32.37+16.78+16.97+3.5×4=80.12噸

同理由后上下橫梁內(nèi)力圖的支座反力可知掛籃后橫梁處主桁架的集中荷載G后=9.42+6.62+3.5×4=30.04噸。

由于在進行前后橫梁的受力計算時都施加了1.2的安全系數(shù)，G前、G后都帶有1.2的安全系數(shù)。并且包括掛籃自重。

主桁架后錨采用Φ32精軋螺紋鋼作拉錨，雙拼22#槽鋼為扁擔梁，每組貝雷梁設置三道Φ32精軋螺紋鋼，從后端40厘米處開始間距50厘米設置，

故貝雷主桁架的受力基本圖如下：

剛度滿足要求。綜上所述拉錨受力安全。

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[關鍵詞] 三維斑點追蹤成像；左心室功能；2型糖尿??；血糖控制不良；糖化血紅蛋白；超聲

[中圖分類號] R445.1 [文獻標識碼] A [文章編號] 1672-4062（2017）01（a）-0034-02

糖尿病是一種胰島素分泌缺陷或胰島素作用缺陷引起的代謝性疾病，而長期的血糖高水平損傷血管及神經(jīng)，可通過多種途徑導致全身多器官功能障礙，糖尿病也是心腦血管疾病的危險因素之一[1]，糖尿病患者心血管疾病死亡率是非糖尿病患者的2～4倍。而糖尿病血糖控制不良則是患者病情進展的重要影響因素。而早期糖尿病心功能變化不明顯，常規(guī)檢測手段較難洞察。該研究采用實時三維斑點追蹤成像比較糖尿病患者血糖控制不良者、血糖控制良好者及健康體檢者左心室功能，旨在探討糖尿病患者心功能特點，現(xiàn)報道如下。

1 資料與方法

1.1 一般資料

選擇2015年5月―2016年3月大慶市人民醫(yī)院及大慶油田總醫(yī)院就診的2型糖尿病患者78例。按照糖化血紅蛋白大小分為2組。其中糖化血紅蛋白0.05），具有可比性。

1.2 方法

采用Philips IE33型彩色多普勒超聲心動圖，實時三維全容積探頭，頻率1～5 MHz，幀頻>60幀/s，受試者取左側(cè)臥位，連接心電圖。先常規(guī)方法進行二維成像。然后調(diào)整為4D模式，先囑患者屏氣，采集連續(xù)穩(wěn)定周期≥6個的動態(tài)圖像。自動顯示水平定位線，顯示心尖四腔心觀、二腔心觀及三腔心觀。分別在舒張末期、收縮末期時，在心尖處心內(nèi)膜和二尖瓣瓣環(huán)重點各描記1個點，舒張末期與收縮末期心內(nèi)膜的追蹤輪廓線軟件自動描述，計算左心室舒張末期和左心室收縮末期容積，左心室射血分數(shù)用Volume waveform軟件自動得出容積曲線計算，左心室舒張末期心肌質(zhì)量選用LV Mass 軟件計算并描記心外膜，左心室收縮末期心肌質(zhì)量采用RT3D Strain ROI軟件計算，并自動得出左心室各應變量的牛眼圖及應變曲線，并記錄整體縱向收縮期峰值應變、左心室整體圓周收縮期峰值應變、左心室整體向收縮期峰值應變、左心室整體面積收縮期峰值應變的絕對值。

1.3 統(tǒng)計方法

所有數(shù)據(jù)均采用SPSS 20.0統(tǒng)計學軟件錄入、整理、分析，計量數(shù)據(jù)采用均數(shù)±標準差（x±s）表示，A組、B組和對照組差異分析采用方差分析，兩兩比較采用LSD-t檢驗。P

2 結(jié)果

A組左心室舒張末期容積（71.6±6.3）mL、左心室收縮末期容積（47.2±5.5）mL、左心室射血分數(shù)（63.4±6.2）%，左心室質(zhì)量（119.7±10.5）g、整體縱向收縮期峰值應變（18.0±3.1）%、左心室整體圓周收縮期峰值應變（16.9±2.1）%、左心室整體向收縮期峰值應變（36.1±2.1）%、左心室整體面積收縮期峰值應變（25.2±2.6）%。B組左心室舒張末期容積（71.2±5.8）mL、左心室收縮末期容積（46.8±5.9）mL、左心室射血分數(shù)（62.8±6.8）%，左心室質(zhì)量（131.6±12.2）g、整體縱向收縮期峰值應變（14.7±2.2）%、左心室整體圓周收縮期峰值應變（16.5±1.6）%、左心室整體向收縮期峰值應變（35.8±1.7）%、左心室整體面積收縮期峰值應變（20.3±2.0）%。對照組左心室舒張末期容積（72.4±6.6）mL、左心室收縮末期容積（47.7±5.1）mL、左心室射血分數(shù)（64.0±6.5）%，左心室質(zhì)量（116.8±9.4）g、整體縱向收縮期峰值應變（18.6±3.3）%、左心室整體圓周收縮期峰值應變（17.4±2.5）%、左心室整體向收縮期峰值應變（36.4±2.6）%、左心室整體面積收縮期峰值應變（25.7±2.8）%。

3組左心室舒張末期容積、左心室收縮末期容積、左心室射血分數(shù)、左心室整體圓周收縮期峰值應變及左心室整體向收縮期峰值應變經(jīng)方差分析，差異無統(tǒng)計學意義（P>0.05）。與A組和對照組相比，B組左心室質(zhì)量大、整體縱向收縮期峰值應變及整體面積收縮期峰值應變率低，差異有統(tǒng)計學意義（P0.05）。

3 討論

心室肌呈縱行帶狀排列，自肺動脈于后方呈螺旋形繞過主動脈終至于心間，形成尖端環(huán)和基底環(huán)兩個螺旋，尖端環(huán)心肌纖維先螺旋下降，到達心尖部后扭轉(zhuǎn)向上，基地環(huán)則包繞左、右心室心底部。左心室壁心肌纖維為多重交織層疊，心內(nèi)膜下心肌纖維為右手螺旋狀環(huán)繞心室腔、而心外膜下心肌纖維為左手螺旋[2]。

心室的心肌纖維走向決定了其收縮、舒張的特性。這為超聲心動圖用于心室功能評價提供基礎。而近年來在評價左心室功能的超聲心動圖技術包括三維超聲心動圖、二維超聲斑點追蹤成像及實時三維斑點追蹤成像[3]。三維超聲心動圖通過X、Y軸及Z軸的組合，形成金字塔形三維數(shù)據(jù)顯示三維立體成像，但是該技術分辨率較低，細微結(jié)構分辨能力不足，心間部心內(nèi)膜顯示模糊。二維超聲斑點追蹤法則是通過逐幀追蹤二維灰階超聲圖像中形成的斑點信息，并通過最佳模式匹配技術，標記心肌運動軌跡，從而形成了多個方位的心肌運動參數(shù)。蘭斌等[4]人采用二維超聲斑點追中成像用于原發(fā)性高血壓患者左室評價，發(fā)現(xiàn)無左心室心肌肥厚患者左房前后徑、室間隔舒張末期厚度及左室后壁舒張末期厚度、左室心肌質(zhì)量及左室心肌質(zhì)量指數(shù)較正常對照組具有顯著升高，這提示了二維超聲斑點追蹤成像在高血壓患者左心室肥厚有較好的早期病變診斷價值。其優(yōu)點為無角度依賴性，幀頻高，缺點為對幀頻要求較高，時間與空間分辨力仍不夠理想，斑點追蹤時斑點粒子可能會移動到掃描平面以外造成斑點缺失。

實時三維斑點追蹤成像可全面真實地反應心肌在三維空間里的運動[5]。在冠心病患者左心容積及功能方面實時三維斑點追蹤成像的評價效果與640層CT定量技術相[6]。整體縱向收縮期峰值應變在心血管疾病左心室評價中最敏感，主要由心內(nèi)膜層的縱向心肌收縮產(chǎn)生[7]，整體面積收縮期峰值應變與左心室收縮功能相關性良好[8]。該研究結(jié)果顯示與A組和對照組相比，B組左心室質(zhì)量大、整體縱向收縮期峰值應變及整體面積收縮期峰值應變率低，差異有統(tǒng)計學意義（P0.05）。提示這3個指標或可成為2型糖尿病患者左心室功能檢測的敏感指標。

[參考文獻]

[1] 闕鳳連，萬艷，肖文霞，等.2型糖尿病患者血腦鈉肽和超敏C反應蛋白與左心功能的關系[J].中外醫(yī)學研究，2014，12（21）：21-23.

[2] 楊晨光，汪芳，孫由靜，等.三維斑點追蹤技術評價冠脈狹窄患者左心室局部縱向收縮功能的研究[J].中國臨床醫(yī)學影像雜志，2014，25（5）：325-328.

[3] 陳利明，錢鳳文.超聲心動圖新技術在左心室收縮功能評價中的應用進展[J].山東醫(yī)藥，2014，54（11）：96-99.

[4] 蘭斌，郭盛蘭，吳玉，等.二維超聲斑點追蹤成像在原發(fā)性高血壓患者左室心肌應變及心功能評價中的應用價值[J].安徽醫(yī)藥，2016，20（5）：895-899.

[5] 張艷，趙存瑞，張璐，等.三維超聲斑點追蹤技術在早期原發(fā)性高血壓患者左心室縱向收縮功能評價中的應用[J].山東醫(yī)藥，2015，55（19）：70-72.

[6] 張健，鄭哲嵐，王振，等.實時三維超聲心動圖與640層CT定量評價冠心病患者左心室容積及收縮功能的對比研究[J].浙江醫(yī)學，2013，35（15）：1424-1427.

[7] 馬曉棠，李敏，黃敬垣，等.三維斑點追蹤技術對2型糖尿病患者左心室心肌應變的分析[J].浙江臨床醫(yī)學，2015，17（4）：513-515.

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【關鍵詞】高中數(shù)學、教材改革、建議

《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》的推出使我國高中數(shù)學的教學有了很大提高，但是，我們也應清楚地認識到，任何事物都有一個不斷發(fā)展和完善的過程，現(xiàn)行教材的結(jié)構也不是盡善盡美的，教材的使用上還會出現(xiàn)一些現(xiàn)行的問題，它需要我們教學時認真思考這些問題，保留傳統(tǒng)優(yōu)秀的東西，摒棄一些繁、難、偏、舊的東西，教學中時刻進行反思，及時總結(jié)經(jīng)驗，與同行、與學生廣泛展開討論，尋求解決問題的方案，使自己的教學穩(wěn)中有變，變中求現(xiàn)行，為我們在數(shù)學教學中進行能力培養(yǎng)創(chuàng)造良好的條件。

“研究幾何的根本出路是代數(shù)化，引入向量是代數(shù)化的需要。”基于此，人教版高中《數(shù)學》第一冊(下B)，利用向量方法來研究立體幾何問題，這給傳統(tǒng)的高中立體幾何的教學注入了一股現(xiàn)行鮮的氣息，使學生初步體會到作為解決幾何問題的通法一一向量方法的威力。但筆者在教學實踐中發(fā)現(xiàn)了教材中也存在一些美中不足的地方，現(xiàn)對其提出幾點意見。

一、教材應當適度提高對綜合推理的訓練

二面角作為空間中最重要的角之一，我們認為不管是哪一種教材體系，都應當把它列為重要的研究對象。而教材對二面角的處理僅僅設置了1課時，給師生以一帶而過的感覺。特別是對二面角平面角的作法，絕大多數(shù)學生在一節(jié)課的時間內(nèi)難以掌握，所以當學生都無法找到計算對象時，就更談不上去求解它了。另外，該部分內(nèi)容又不容易自然地納入向量方法體系之中。因此，建議增加關于二面角的例題。一方面，把二面角的求解與向量方法結(jié)合起來；另一方面，借此適當?shù)靥岣呔C合推理的訓練。因為空間中的角度(也包括距離)是立體幾何中重要的度量問題，這些問題的解決又一定程度依賴于綜合推理。正如課程標準中要求所說：“把幾何推理與代數(shù)運算推理有機地結(jié)合起來，為學生的思維活動開發(fā)了更加廣闊的空間，在教學中要緊緊把握這個大方向，不能有所偏廢?！?/p>

二、用向量方法研究平行關系的問題相對較少

教材中利用向量方法研究垂直關系的例題、練習及習題比比皆是，但利用向量方法研究平行關系的例題卻為數(shù)不多。且不能很好地體現(xiàn)向量方法的優(yōu)越性。

例如教材第30頁例3，課堂教學中發(fā)現(xiàn)，學生首先想到的不是用向量方法，反而更容易想到的是用相似三角形這一較為熟知的知識點去推證四邊形EFGH與，平行四邊形ABCD的各邊對應平行，并且簡潔易行。類似這樣的題目還有第41頁例5(該題用反證法也很容易證明)，第79頁參考例題2(該題用三角形中位線及等腰三角形底邊上的中線也是高線的知識也很容易解決)，限于篇幅，不再一一贅述?？傊?，這些題口給我們的感覺只是為了介紹向量方法，但卻不能顯示出向量方法的優(yōu)越性。另外，在練習和習題中再很難找到用向量方法來研究平行關系的題目了。筆者建議，教材要讓所選例題更具有典型性和代表性，并且在練習和習題中編擬一些利用向量方法研究，平行關系(包括線線，平行、線面平行、面面平行）的題目，來充分顯示用向量方法解決立體幾何問題的優(yōu)越性。

三、教材的知識體系需要進一步條理和完整

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從近五年新課程高考對平面向量的考查情況來看，這部分內(nèi)容大多考查平面向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積等坐標線性運算及其幾何意義，有時會與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識點相交匯，體現(xiàn)平面向量“數(shù)與形”的雙重身份，題型主要是選擇題和填空題，與三角函數(shù)和解析幾何交匯往往在大題中，分值一般在5～10分，難度不大，屬于中低檔難度的題型.

二 考點掃描

1. 平面向量的有關概念

（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）.

（2）零向量：長度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的.

（3）單位向量：長度等于1個單位的向量.

（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量，任一組平行向量都可以移到同一條直線上.規(guī)定：與任一向量平行.

（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量.

（6）相反向量：長度相等且方向相反的向量.

例1. 給出下列命題：①若

=

，則=；②若A，B，C，D是不共線的四點，則=是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若，滿足

>

且與同向，則>；④若∥，∥，則∥.

其中正確命題的序號是 （請把正確命題的序號都填上）.

解析：對①，若

=

，則與不一定共線，故不能得出

=

；對②，根據(jù)向量相等的條件顯然成立；對③，因為向量除了有大小還有方向，故向量是不能比較大小的，所以不對；因為的方向是任意的，對任意向量，都有∥，所以在④中，令=則知該命題不對.

綜上所述，只有②是正確的.

解題寶典：正確理解向量的概念與向量的模，零向量、單位向量、相等與相反向量、平行向量（也叫共線向量）等概念及其含義是解題的關鍵.相等向量是指大小相等，方向相同的向量；相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性；共線向量即為平行向量，它們均與起點無關；向量不能比較大小，但向量的模能比較大小.

現(xiàn)學現(xiàn)用1. 給出下列命題：

①λ，μ為實數(shù)，若λ=μ，則與共線；②若=，則ABCD為平行四邊形；③若=，=，則=；④λ=0（λ為實數(shù)），則λ必為零.

其中正確命題的個數(shù)是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 平面向量的線性運算

1. 向量的加法和減法.

（1）加法

①法則：服從三角形法則、平行四邊形法則.

②運算性質(zhì)：+=+（交換律）；（+）+=+（+）（結(jié)合律）；+=+=.

（2）減法

①減法與加法互為逆運算；

②法則：服從三角形法則.

2. 實數(shù)與向量的積.

（1）長度與方向規(guī)定如下：

①|(zhì)λ|=|λ|||；

②當λ>0時，λ與的方向相同；當λ

（2）運算律：設λ、 μ∈R，則：

①λ（μ）=（λμ）；②（λ+μ）=λ+μ；③λ（+）=λ+λ.

例2. （2012年東北三校模擬）如圖所示，若四邊形ABCD是一個等腰梯形，AB∥DC，M、N分別是DC、AB的中點，已知=，=，=，試用、、表示= ，+= .

解析：=++， =-=-，

=-=-，==， =--，

+=+++=2=-2-.

解題寶典：（1）解題的關鍵在于搞清構成三角形的三條邊間的相互關系，能熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.

（2）用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧是：①觀察各向量的位置；②尋找相應的三角形或多邊形；③運用法則找關系；④化簡結(jié)果.

現(xiàn)學現(xiàn)用2. 在ABC中，=，DE∥BC交AC于點E，BC邊上的中線AM交DE于點N.設=，=，用，表示向量、、、、、.

3. 共線向量問題.

兩個向量共線定理：向量與（≠0）共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得=λ.

例3. 設兩個非零向量與不共線.

（1）若=+，=2+8，=3（-）.

求證：A、B、D三點共線；

（2）試確定實數(shù)k，使k+和+k共線.

解析：（1）證明：=+，=2+8，=3（-），

=+=2+8+3（-）=2+8+3-3=5（+）=5 .

、共線，又它們有公共點B，A、B、D三點共線.

2） k+與+k共線，存在實數(shù)λ，使k+=λ（+k），

即k+=λ+λk，（k-λ）=（λk-1）.

與是不共線的兩個非零向量， k-λ=λk-1=0， k2-1=0，k=±1.

解題寶典：（1）向量共線的充要條件中要注意當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運用和方程思想.

（2）證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.

現(xiàn)學現(xiàn)用3. 已知，是不共線的向量，若=λ1+，=+λ2（λ1，λ2∈R），則A、B、C三點共線的充要條件為（ ）

A. λ1=λ2=-1 B. λ1=λ2=1

C. λ1λ2-1=0 D. λ1λ2+1=1

4. 向量的坐標運算.

（1）設=（x1，y1），=（x2，y2），則+=（x1+x2，y1+y2），-=（x1-x2，y1-y2），λ=（λx1，λy1）.

（2）已知 A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2-x1，y2-y1），即一個向量的坐標等于該向量終點的坐標減去始點的坐標.

例4. 已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2），D（-2，3），則以，為一組基底來表示++= .

解析： =（1，3），=（2，4），=（-3，5），=（-4，2），=（-5，1）， ++=（-3，5）+（-4，2）+（-5，1）=（-12，8）.

根據(jù)平面向量基本定理，必存在唯一實數(shù)對，使得++=+， （-12，8）=（1，3）+（2，4）， -2=

+2

，

8=3

+4

， 得=32，=-22.

++=32-22.

解題寶典：利用平面向量基本定理而引入?yún)?shù)是解決向量問題的常用技巧，而方程（組）是求解工具，體現(xiàn)了向量坐標運算的優(yōu)越性.特別需要注意：向量的一個方程相當于實數(shù)的兩個方程，橫坐標一個，縱坐標一個.

現(xiàn)學現(xiàn)用4. 在ABC中，點P在BC上，且=2，點Q是AC的中點，若=（4，3），=（1，5），則等于（ ）

A.（-2，7） B.（-6，21）

C.（2，-7） D.（6，-21）

5. 向量坐標運算的應用.

平面向量共線的坐標表示：設=（x1，y1），=（x2，y2），其中≠，則與共線?=λ?x1y2-x2y1=0.

例5. 平面內(nèi)給定三個向量=（3，2），=（-1，2），=（4，1） .

（1）若（+k）∥（2-），求實數(shù)k；

（2）設[]=（x，y）滿足（[]-）∥（+）且|[]-|=1，求[].

解析：（1）（+k）∥（2-），又+k=（3+4k，2+k），2-=（-5，2），

2×（3+4k）-（-5）×（2+k）=0， k=-.

（2） []-=（x-4，y-1），+=（2，4），又（[]-）∥（+）且|[]-|=1，

4（x-4）-2（y-1）=0，

（x-4）2+（y-1）2=1，解得x=4+

，

y=1+

或x=4-

，

y=1-

.

[]=（，）或[]=（，）.

解題寶典：向量平行的坐標公式實質(zhì)是把向量問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)的運算問題.通過坐標公式建立參數(shù)的方程，通過解方程或方程組求得參數(shù)，充分體現(xiàn)了方程思想在向量中的應用.

現(xiàn)學現(xiàn)用5.已知點O（0，0），A（1，2），B（4，5），且=+t.

（1）求點P在第二象限時，實數(shù)t的取值范圍；

（2）四邊形OABP能否為平行四邊形？若能，求出相應的實數(shù)t；若不能，請說明理由.

6. 平面向量數(shù)量積的運算.

（1）平面向量數(shù)量積的意義.

①，是兩個非零向量，它們的夾角為θ，則數(shù)||·

||·cosθ叫做與的數(shù)量積，記作·，即·=||·||·cosθ.規(guī)定0·=0；當時，θ=90°，這時·=0.

②·的幾何意義.

·等于的長度||與在的方向上的投影||cosθ的乘積.

（2）向量數(shù)量積的性質(zhì).

①如果[]是單位向量，則·[]=[]·=||cos.

②?·=0且·=0?.

③·=||2，||=.

④cos=.

⑤|·|≤||||.

（3）數(shù)量積的運算律.

①交換律·=·.

②分配律（+）·=·+·.

③對λ∈R，λ（·）=（λ）·=·（λ）.

（4）數(shù)量積的坐標運算.

設=（a1，a2），=（b1，b2），則① ·=11+22；② ?a1b1+a2.b2=0.③||=；④cos=.

例6. 若 [e] [1]、[e] [2]是夾角為的單位向量，且=2[e] [1]+[e] [2]，=-3[e] [1]+2[e] [2]，則 ·等于（ ）

A. 1 B. -4 C. - D.

解析：依題意，·=||·||·cos=，·=（2+）·（-3+2）=-6||32+2||32+·=-6+2+=-，選C.

解題寶典：熟練掌握向量數(shù)量積的定義與數(shù)量積的運算率是解決本題的關鍵.

現(xiàn)學現(xiàn)用6. O是平面上一點，A，B，C是平面上不共線三點，動點P滿足=+λ（+），當λ=時，·（+）的值為________.

7 . 平面向量數(shù)量積的運用.

（1）求向量的模與夾角.

例7. 已知||=4，||=3，（2-3）·（2+）=61.

（1）求與的夾角θ；

（2）求|+|和|-|；

解析：（1）由（2-3）·（2+）=4||2-4·-3||2=61及||=4，||=3，得·=-6，

cosθ===-，又θ∈[0°，180°]， θ=120°.

（2） |+|====.

同理，|-|==.

解題寶典：解這類題關鍵是理順思路，用對公式，避免出現(xiàn)一些不必要的錯誤.例如，計算|+|時，利用（+）2=2+2·+[][2]得到的·是數(shù)量積||||cosθ，而不是||||.在ABC中求角時，還應注意向量與的夾角并非三角形內(nèi)角∠ABC.

現(xiàn)學現(xiàn)用7. 設和是兩個單位向量，其夾角是60°，求向量=2+與b=2-3的夾角.

（2）兩平面向量的垂直與平行.

例8. 設x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2.-4）且，∥，則 x= ，y= .

解析：由得2x-4=0?x=2，由∥得-4=2y?y=2.

解題寶典：以數(shù)量積為載體考查兩向量垂直和平行是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的題型，完成手段是熟練運用向量垂直與平行的坐標運算公式.

現(xiàn)學現(xiàn)用8. 已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O為原點.

（1）若∥，求tanα的值；

（2）若，求sin2α的值；

8. 向量與三角函數(shù)的交匯.

例9. 在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，設向量=（sinA，cosB），=（cosA，sinB）.

（1）若∥，求角C；

（2）若，B=15°，a=+，求邊c的大小.

解析：（1）由∥?sinAsinB-cosAcosB=0?cos（A+B）=0.

因為0

（2）由?sinAcosA+sinBcosB=0?sin2A+sin2B=0.

已知B=15°，所以sin2A+sin30°=0，sin2A=-，

因為0

根據(jù)正弦定理=?=?c=，

因為sin105°=sin（45°+60°）=，所以c==2.

解題寶典：與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標運算及其應用是高考熱點題型.解答此類問題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標運算公式、向量模、夾角的坐標運算公式外，還應掌握三角恒等變換的相關知識.

現(xiàn)學現(xiàn)用9.設函數(shù)f（x）=·，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R.

（Ⅰ）若f（x）=1-且x∈[-，]，求x；

（Ⅱ）若函數(shù)y=2sin2x的圖像按向量=（m，n）（|m|

現(xiàn)學現(xiàn)用答案：

1. A. 2. =；=-；=（-）；=（-），=（+）；=（ +）.3. C. 4. B. 5. （1）-

篇5

【關鍵詞】高中數(shù)學 教材改革 建議

《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》的推出使我國高中數(shù)學的教學有了很大提高，但是，我們也應清楚地認識到，任何事物都有一個不斷發(fā)展和完善的過程，現(xiàn)行教材的結(jié)構也不是盡善盡美的，教材的使用上還會出現(xiàn)一些現(xiàn)行的問題，它需要我們教學時認真思考這些問題，保留傳統(tǒng)優(yōu)秀的東西，摒棄一些繁、難、偏、舊的東西，教學中時刻進行反思，及時總結(jié)經(jīng)驗，與同行、與學生廣泛展開討論，尋求解決問題的方案，使自己的教學穩(wěn)中有變，變中求現(xiàn)行，為我們在數(shù)學教學中進行能力培養(yǎng)創(chuàng)造良好的條件。

“研究幾何的根本出路是代數(shù)化，引入向量是代數(shù)化的需要?！被诖?，人教版高中《數(shù)學》第一冊(下B)，利用向量方法來研究立體幾何問題，這給傳統(tǒng)的高中立體幾何的教學注入了一股現(xiàn)行鮮的氣息，使學生初步體會到作為解決幾何問題的通法一一向量方法的威力。但筆者在教學實踐中發(fā)現(xiàn)了教材中也存在一些美中不足的地方，現(xiàn)對其提出幾點意見。

一、教材應當適度提高對綜合推理的訓練

二面角作為空間中最重要的角之一，我們認為不管是哪一種教材體系，都應當把它列為重要的研究對象。而教材對二面角的處理僅僅設置了1課時，給師生以一帶而過的感覺。特別是對二面角平面角的作法，絕大多數(shù)學生在一節(jié)課的時間內(nèi)難以掌握，所以當學生都無法找到計算對象時，就更談不上去求解它了。另外，該部分內(nèi)容又不容易自然地納入向量方法體系之中。因此，建議增加關于二面角的例題。一方面，把二面角的求解與向量方法結(jié)合起來；另一方面，借此適當?shù)靥岣呔C合推理的訓練。因為空間中的角度(也包括距離)是立體幾何中重要的度量問題，這些問題的解決又一定程度依賴于綜合推理。正如課程標準中要求所說：“把幾何推理與代數(shù)運算推理有機地結(jié)合起來，為學生的思維活動開發(fā)了更加廣闊的空間，在教學中要緊緊把握這個大方向，不能有所偏廢。”

二、用向量方法研究平行關系的問題相對較少

教材中利用向量方法研究垂直關系的例題、練習及習題比比皆是，但利用向量方法研究平行關系的例題卻為數(shù)不多。且不能很好地體現(xiàn)向量方法的優(yōu)越性。

例如教材第30頁例3，課堂教學中發(fā)現(xiàn)，學生首先想到的不是用向量方法，反而更容易想到的是用相似三角形這一較為熟知的知識點去推證四邊形EFGH與，平行四邊形ABCD的各邊對應平行，并且簡潔易行。類似這樣的題目還有第41頁例5(該題用反證法也很容易證明)，第79頁參考例題2(該題用三角形中位線及等腰三角形底邊上的中線也是高線的知識也很容易解決)，限于篇幅，不再一一贅述。總之，這些題口給我們的感覺只是為了介紹向量方法，但卻不能顯示出向量方法的優(yōu)越性。另外，在練習和習題中再很難找到用向量方法來研究平行關系的題目了。筆者建議，教材要讓所選例題更具有典型性和代表性，并且在練習和習題中編擬一些利用向量方法研究，平行關系(包括線線，平行、線面平行、面面平行）的題目，來充分顯示用向量方法解決立體幾何問題的優(yōu)越性。

三、教材的知識體系需要進一步條理和完整

教材中，球的體積及表面積公式的推導分別用到了教材中未出現(xiàn)的圓柱和棱錐的體積公式，而這些公式無論是對幫助學生理解球的體積及表面積公式的推導過程，還是對在實際應用中的價值方面，都是應當在本章中有所體現(xiàn)的，即使它們是被作為了解的內(nèi)容。另外，用祖嘔原理(這一原理的發(fā)現(xiàn)比西方早了1100多年)推導球的體積公式反映了我國古代數(shù)學的偉大成就，建議可作為閱讀材料介紹給學生，以此，對學生進行愛國主義教育，激勵學生的民族自豪感和為國富民強而勤奮學習的熱情?？傊滩牡母母锸且獙鹘y(tǒng)教材中的“繁難偏舊”進行改革，而如果把傳統(tǒng)教材中精華的部分也舍掉的話，那肯定不是課程改革的初衷。

在中學階段，向量方法被應用于立體幾何的教學中尚屬首次。以上雖不是什么大的問題，但作為中學教材，它是要在全國進行推廣和使用的。因此，無論是從它的權威性而言，還是從它的科學性而言，這些“小問題”都希一望引起編者的重視。相信，只要通過教師本著邊學、邊教、邊改進、邊完善的精神，中學數(shù)學教材的改革必將日趨完善，日趨成熟。

參考文獻

[1]馬復.設計合理的數(shù)學教學.高等教育出版社，2003.

[2]劉兼，黃翔，張丹.數(shù)學課程設計［M］.高等教育出版社，2003.

[3]鄭毓信.數(shù)學教育：從理論到實踐［M］.上海教育出版社，2004.

[4]戴再平.開放題——數(shù)學教學的新模式［M］.上海教育出版社，2004.

篇6

江蘇高考中立體幾何題屬于容易題，比三角題更容易得高分，要求能運用4條公理、3條推論和9條定理證明一些空間位置關系的簡單命題。

具體要求：

1. 理解空間點、線、面的位置關系；會用數(shù)學語言規(guī)范地表述空間點、線、面的位置關系。了解以下可以作為推理依據(jù)的4條公理、3條推論和1條定理：

公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)。

公理2：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

公理3：過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面。

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點,有且只有一個平面。

推論2：經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面。

推論3：經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面。

公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行。

定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應平行,并且方向相同,那么這兩個角相等。

2. 了解空間線面平行、垂直的有關概念；能正確地判斷空間線線、線面與面面的位置關系；理解如下的4條關于空間中線面平行、垂直的判定定理,并能用圖形語言和符號語言表述這些判定定理(這4條定理的證明不作要求)。

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行。

一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行。

一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,則該直線與此平面垂直。

一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直。

3. 理解如下的4條關于空間中線面平行、垂直的性質(zhì)定理,能用圖形語言和符號語言表述這些性質(zhì)定理,并能加以證明。

一條直線與一個平面平行,則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行。

兩個平面平行,則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行。

垂直于同一個平面的兩條直線平行。

兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

4. 了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式(不要求記憶公式,試卷中會提示),會求直棱柱、正棱錐、正棱臺、圓柱、圓錐、圓臺和球的表面積和體積。

復習中應注意結(jié)合常見的空間幾何體(長方體、三棱錐、四棱臺、圓柱、球等)的實際模型,學會將自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言,能做到準確地使用數(shù)學語言表述幾何對象的位置關系。

二、 關注熱點題型,做到臨陣不亂

近四年江蘇高考立體幾何大題回顧。

(2008•江蘇T16)在四面體ABCD中,CB=CD,ADBD,且E,F分別是AB,BD的中點．

求證：(1) 直線EF∥平面ACD;

(2) 平面EFC平面BCD．

(2009•江蘇T16)如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分別是A1B,A1C的中點,點D在B1C1上,A1DB1C.

求證：(1) EF∥平面ABC;

(2) 平面A1FD平面BB1C1C．

(2010•江蘇T16)如圖,四棱錐PABCD中,PD平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.

(1) 求證：PCBC；

(2) 求點A到平面PBC的距離.

(2011•江蘇T16)如圖,在四棱錐PABCD中,平面PAD平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分別是AP,AD的中點．

求證：(1) 直線EF∥平面PCD；

(2) 平面BEF平面PAD．

通過分析比較上面四題,我們不難發(fā)現(xiàn)江蘇高考命題符合《課程標準和學習要求》,突出了線面位置關系的考查,且多次以證明線面平行和面面垂直的形式呈現(xiàn)?？紤]到此乃文、理科同學的必做題,為了兼顧公平性,試題中多面體的底面具有一般性，不易通過空間向量來處理，這是理科同學要切記的。

分析空間平行關系、垂直關系的證明方法和轉(zhuǎn)化途徑通常有以下方法：

線線、線面、面面平行(垂直)關系的證明,常常通過轉(zhuǎn)化的策略加以解決。其關系為：

線線平行線面平行面面平行

線線垂直線面垂直面面垂直

線面平行的證明方法主要有兩種：一是利用線面平行的判定定理；二是利用平面平行的性質(zhì)

(若α∥β,aα,則a∥β)。

三、 掌握重要思想方法,實現(xiàn)降維簡化轉(zhuǎn)換

復習中,要注意聯(lián)系平面圖形的知識,利用類比、聯(lián)想等方法,辨別平面圖形和立體圖形的異同,理解兩者的內(nèi)在聯(lián)系,感悟?qū)⒖臻g問題轉(zhuǎn)化為平面問題是處理立體幾何問題的重要思想。復習中對一些易錯題要加以總結(jié)提高。如利用斜二測畫法,畫出的直觀圖與實際圖形面積比值為24；與邊長為a的正三角形類比可得到：棱長為a的正四面體的高為h=63a,體積為V=212a3,內(nèi)切球的半徑為14h,外切球的半徑為34h。

科學是到處為家的，不過只是任何不播種的地方，它是不會使其豐收的。――赫爾岑

四、 空間向量與立體幾何

這是報考物理的同學在數(shù)學附加題中可能涉及的問題。在08年以來的江蘇四次高考中,數(shù)學附加題中僅在08年、11年考查了《空間向量與立體幾何》內(nèi)容。

同學們在復習備考時要體會“空間向量”的工具性作用。用“空間向量”這一工具來研究空間有關點、直線和平面的位置關系和度量問題。要會運用類比、歸納等方法,通過向量及其運算由平面向空間推廣的過程,體驗數(shù)學在結(jié)構上的和諧美,弄清空間向量與平面向量的區(qū)別與聯(lián)系。具體要求是：

1. 理解直線的方向向量與平面的法向量的意義；會用待定系數(shù)法求平面的法向量；

2. 能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直和平行關系；

3. 能用向量方法證明有關線、面位置關系的一些定理(包括三垂線定理)；能用向量方法判斷一些簡單的空間線面的平行和垂直關系；

4. 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題；體會向量方法在研究幾何問題中的作用。

【規(guī)律方法總結(jié)】

1. 求異面直線所成角,線面角或面面所成角,最終都歸結(jié)到求兩直線方向向量夾角上,通過坐標運算求模、求數(shù)量積得解?？梢?熟練掌握空間兩向量夾角的求法是解題的基本功．

2. 確定平面法向量時,要明確法向量的不唯一性,為方便起見,常選用一個較簡潔的法向量。

篇7

關鍵詞：幾何；解析幾何；三角；模型

一、向量與平面幾何的關系

平面幾何是學習平面向量的重要載體，沒有平面幾何這一載體，學生很難理解平面向量的一些概念.同時由于向量可以用有向線段表示，這就為用向量解決平面幾何問題創(chuàng)造了條件.牢牢把握向量與平面幾何的關系，一方面應用向量加減法三角形法則與平行四邊形法則、向量的模、向量的平行與垂直等幾何意義解決問題；另一方面結(jié)合平面幾何知識解決向量問題.

例1.（05年浙江高考題）已知向量a≠e，e=1，對任意t∈R，恒有a-te≥a-e，則（ ）

A.ae B.a（a-e） C.e（a-e） D.（a+e）（a-e）

解：如圖1，設O，A為定點，■=a，■=e，■=te，t在變，te也在變，即點P為動點，但■=t■，恒有■∥■，故O，P，H三點共線.因而a-te表示■的模長，a-e表示■的模，對任意的t∈R，恒有a-te≥a-e成立，表示■≥■恒成立，所以恒有■■，即e（a-e），選C.

點評：解利用向量的減法的幾何意義和向量平行的充要條件，運用數(shù)形結(jié)合、動靜結(jié)合等思想把向量問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，非常直觀地找到了答案.

二、向量與解析幾何的關系

由于向量的坐標化使向量與解析幾何建立一定的聯(lián)系，也改變了解析幾何中的一些傳統(tǒng)研究方法.由于向量內(nèi)積的幾何幾何意義，即向量投影等概念，可以用來解決點到直線的距離.向量坐標表示方法使方程思想有了更廣泛的應用，應用向量內(nèi)積還可以解決兩條直線夾角等問題，大大簡化了解析幾何中的計算.但值得一提的是新教材中定比分點定理和兩條直線的夾角公式，它們是傳統(tǒng)教材的難點問題，向量的引入可以廢除這兩個公式的“武功”，既減輕了學生的學習負擔，又培養(yǎng)了綜合應用數(shù)學的能力.

例2.（2009全國卷Ⅱ理）已知雙曲線C：■-■=1（a>0，b>0）的右焦點為F，過F且斜率為■的直線交C于A、B兩點，若■=4■，則曲線C的離心率為（ ）

A.■ B.■ C.■ D.■

解：設雙曲線C：■-■=1的右準線為l，過A、B分別作AMl于M，BNl于N，BDAM于D，由直線AB的斜率為■，知直線AB的傾斜角60°，∠BAD=60°，AD=■AB，

由雙曲線的第二定義有：

AM-BN=AD=■（■-■）=■AB=■（■+■）.

又■=4■

■?3■=■■e=■.故選A.

評析結(jié)合了向量的模的幾何意義和雙曲線的知識解決問題.

三、向量與立體幾何中的關系

在選修2-1引入了空間向量，它的引入為解決三維空間中圖形的位置關系與度量問題提供了一個十分有效的工具，將復雜繁瑣的立體幾何問題轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)計算問題，進一步闡釋了幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系.

例3.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=4，AB=2.以AC的中點O為球心、AC為直徑的球面交PD于點M，交PC于點N.

（1）求直線CD與平面ACM所成的角的大小；

（2）求點N到平面ACM的距離.

解：（1）如圖2所示，建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；設平面ACM的一個法向量n=（x，y，z），由n■，n■可得：

2x+4y=02y+2z=0，令z=1，則n=（2，-1，1）.設所求角為α，則sinα=■=■，

所以所求角的大小為arcsin■.

（2）由條件可得，ANNC.在RtPAC中，PA2=PN?PC，所以PN=■，則NC=PC-PN=■，■=■，所以所求距離等于點P到平面ACM距離的■，設點P到平面ACM距離為h，則h=■=■，所以所求距離為■h=■.

點評：應用向量數(shù)量積的知識，將立體幾何線面角轉(zhuǎn)化為直線方向向量與法向量的夾角，點到面得距離轉(zhuǎn)化■在平面法向量n的投影，充分應用了向量的幾何意義.

四、向量與三角的關系

用向量方法可研究解析幾何中兩直線夾角問題，用向量方法還可研究三角形中有關角的計算（包括垂直問題）和三角公式、余弦定理的推導.與傳統(tǒng)比較，向量方法簡潔明了，構造思想對培養(yǎng)創(chuàng)新思維很有價值.向量作為一種新的運算工具，常常與三角結(jié)合起來，廣泛應用于解決三角問題.

例4.（2010年四川高考題）（Ⅰ）1證明兩角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；

2由Cα+β推導兩角和的正弦公式Sα+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

（Ⅱ）已知ABC的面積S=■■?■=3，且cosB=■，求cosC.

解（1）①如圖3，在直角坐標系xoy內(nèi)做單位圓O，并作出角α、β與-β，使角α的始邊為OX，交O于點P1，終邊交O于P2；角β的始邊為OP2，終邊交O于P3；角-β的始邊為OP1，終邊交O于P4.

則P1（1，0），P2（cosα，sinα），P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（-β），sin（-β））.

P1P3=P2P4及兩點間的距離公式，得

[cos（α+β）-1]2+sin2（α+β）=[cos（-β）-cosα]2+[sin（-β）-sinα]2

展開并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.

②由①易得cos（■-α）=sinα，sinα（■-α）=cosα.

sin（α+β）=cos[■-（α+β）]=cos[（■-α）+（-β）]=sinαcosβ+cosαsinβ.

（2）由題意，設ABC的角B、C的對邊分別為b、c，

則S=■bc sinA=■■?■=bc cosA=3>0

A∈（0，■），cosA=3sinA.

又sin2A+cos2A=1，sinA=■，cosA=■.

由題意，cosB=■，得sinB=■，

cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=■，

故cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-■.

點評：應用向量的坐標表示和內(nèi)積運算及兩點間的距離公式，推導出兩角和的余弦公式，比傳統(tǒng)方法更加簡潔明了、簡單易懂，充分體現(xiàn)了向量的工具性.

五、向量與數(shù)學模型的關系

由于向量具有明顯物理背景和幾何特征，而且具有形式特征，這就為向量與某些數(shù)學模型發(fā)生了聯(lián)系.如向量a=（x，y）的模等于■向量數(shù)量積的定義等都具有模型特征，所以只要具有類似特征的問題，都可以轉(zhuǎn)化為向量問題來解決.

例5.已知a、b∈R+，a+b=1，求證：■+■≤2■.

證明：設m=（1，1），n=（■，■），

則m=■，n=■=2

由性質(zhì)m?n≤m?n，得■+■≤2■

點評：本題利用■與向量模的結(jié)構上的類似而構造向量，然后利用向量數(shù)量積的模小于向量模的積來解決問題.向量不等式“m?n≤m?n”也是解決不等式的重要工具，是實現(xiàn)由等到不等的重要手段，在求最值中經(jīng)常用到.由于向量具有雙重特征，向量的表示方法多樣，因而向量解決問題方法也多樣.向量的應用應該不拘于幾何特征和代數(shù)形式，從不同的角度抓住不同的特征得到不同的方法解決問題，可見異曲同工之妙.

參考文獻：

[1]祈平.課標要求下向量及其教學的一些思考和建議[J].中學數(shù)學，2008（12）.

篇8

關鍵詞：向量法解題 思想 策略

在現(xiàn)實世界的各個領域，對事物的特性及采用度量來標記是常見的手段，但在這個標記的過程中，有的只需要標記它的大小，如物體的質(zhì)量等，我們稱這種度量的結(jié)果為標量（純量）；而有的不僅需要大小還需要方向，如物體運動的速度等，我們稱這種度量的結(jié)果為向量（矢量）。所謂向量法，即從問題條件入手，找到與向量知識相關點，轉(zhuǎn)化為向量背景下的形式，借助向量運算法則求解，然后回到原問題中達到解決問題的目的。

數(shù)學思維是抽象的，數(shù)學解題的思想是具體的，由于向量的雙重身份，借助向量解題的思想就更具鮮活性。現(xiàn)就幾種常見的向量法解題做出簡單的闡述。

1.建模的思想方法

構造模型是中學數(shù)學中重要的思想方法之一，運用它可以迅速的研究某些實際問題，

即：實際問題 數(shù)學問題 解決問題 返回原問題

向量中，不少知識點和問題蘊含著這一思想方法。如向量的加減法法則--可歸結(jié)為平行四邊形或三角形模型；有關位移等問題--抽象為解三角形問題等。教學中，適時地啟發(fā)學生對這些問題的背景進行分析，抽象和概括，形成建模的思想意識，增強分析和解決問題的能力。

2.數(shù)形結(jié)合的思想方法

向量運算律貌似代數(shù)，但他其實是幾何，故而它是數(shù)形結(jié)合的典范。他把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，即實現(xiàn)形--數(shù)--形，或是把數(shù)賦予幾何意義，即實現(xiàn)數(shù)--形--數(shù)，從而解決問題。

3.平移變換的思想方法

平移變換是研究函數(shù)圖像或幾何圖形的一種重要的思想方法。通過適當平移可使較復雜的函數(shù)解析式得到簡化或某些幾何圖形中的隱蔽關系更加明朗。在向量一章中，相等向量，平行向量，共線向量等概念的建立及相關作圖的訓練，作為向量知識的一個應用--平移公式的推導，以及運用平移公式解決有關問題，均是這一思想方法的體現(xiàn)。

4.映射思想方法

映射思想：當處理甲問題有困難時，可以聯(lián)想適當?shù)挠成?，把問題甲及其關系結(jié)構，映射成與它有一一對應關系且容易處理的問題乙，再把所得結(jié)果通過逆映射返回到原問題的問題中去，得到原問題的解決方案。例如建立適當坐標系，把向量利用坐標表示，利用數(shù)的運算推理解決問題。

5.化歸轉(zhuǎn)換的思想方法

化歸轉(zhuǎn)換：將一種研究對象在一定條件下轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為另一種研究對象的思想方法。在向量中，如向量的夾角問題，向量的平移，垂直關系的研究均可化歸為他們對應向量或向量坐標的運算問題；三角形形狀判斷可化歸為判斷向量的數(shù)量積與零的大小關系問題等。

6.分解思想方法

按認識原則，有些問題需通過分解，才能清晰地了解數(shù)學問題內(nèi)部的各種制約關系，從中找到一個解決問題的方法。分解思想的實質(zhì)是分解--組合--分割--拼合的辯證思想，向量中基向量的應用即是一個典型的例子。

7.分類討論的思想方法

分類討論的思想主要依據(jù)數(shù)學對象的不同屬性，將數(shù)學對象分為不同情形并對其研究得出結(jié)論的數(shù)學思想方法。向量知識中，如平行向量有同向和反向之分；定比分點公式中 λ的取值有大于1，大于0小于1，小于0之分等等。

8.方程的思想方法

向量雖然有其幾何的意義，但其運算律確是代數(shù)的，因此，我們在處理向量問題時對于求解某向量或判別向量關系的問題，可以借助方程的工具，利用消元的方式達到解決問題的目的。在采用這種思想方法時，要注意基本向量的選擇?；鞠蛄康倪x擇是根據(jù)題目的特性確定的。同時要注意基本向量是線性無關或彼此獨立條件下的向量，通常將同一頂點出發(fā)的若干向量作為基本向量。平面向量的基本定理給出了選擇基本向量的一種方法。

9.整體思想方法

向量既有大小又有方向，是一個整體。向量利用坐標表示實現(xiàn)了幾何的代數(shù)化，對于也是一個整體，向量的許多運算都可以用這個"整體"來解決。

10.公式化思想方法

公式化思想方法是指把問題中反映的等量關系轉(zhuǎn)化為向量中的等量關系，借助向量知識實現(xiàn)簡化問題，求解問題。例如：兩向量相等的充要條件的坐標表示形式為"若兩向量相等，則兩向量的坐標相同"，利用此公式，在處理向量相等時，只須分析它們的坐標是否相等即可。

參考文獻

[1]顧越嶺著.數(shù)學解題通論.廣西教育出版社.2001

[2]錢佩玲.邵光榮編著.數(shù)學思想方法與中學數(shù)學.北京師范大學出版社2003

[3]教育部編輯部組織編寫.中學新課標資源庫（數(shù)學卷）北京工業(yè)大學出版社2004

篇9

平面向量數(shù)量積的運算、模與夾角、平行與垂直問題，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)屬中低檔題.數(shù)量積的幾何運算與數(shù)量積的坐標運算及其幾何意義，及數(shù)量積的變形應用均為常規(guī)應用，也是考查的重點.

縱觀歷年全國各地高考卷，考查的內(nèi)容有：數(shù)量積運算及其性質(zhì)、向量的模、向量的夾角、向量的投影、向量垂直.

再看湖北卷近幾年高考情況，考試內(nèi)容主要是數(shù)量積的坐標運算、坐標形式的求模公式、夾角公式或向量投影公式、坐標形式的向量垂直的充要條件，沒有涉及數(shù)量積的幾何運算.

命題特點

立足湖北，放眼全國. 綜合近幾年全國各地的高考卷，平面向量的數(shù)量積及其應用在高考命題中仍以穩(wěn)中求新、穩(wěn)中求活，在穩(wěn)定中發(fā)展.穩(wěn)定的是題目大多是以坐標形式出現(xiàn)，考查數(shù)量積的幾何運算或坐標運算，發(fā)展的是向量知識的綜合應用有所加強.

1. 數(shù)量積的坐標表示重運算、重基礎

數(shù)量積的坐標運算的特點是注重基本概念和坐標形式的運算公式，注重考查運算能力.

例1 已知點[A（-1， 1）]，[B（1， 2）]，[C（-2， -1）]，[D（3，4）]，則向量[AB]在[CD]方向上的投影為 （ ）

A. [322] B. [3152]

C. [-322] D. [-3152]

解析 [AB=2，1]，[CD=5，5]，

向量[AB]在[CD]方向上的投影為

[AB?CDCD=2×5+1×552+52][=1552=322].

答案 A

點撥 兩個坐標表示的向量的數(shù)量積就是對應坐標積的和，易錯記為交叉坐標積的和.向量的投影是數(shù)量積中的一個重要概念，易混淆向量[a]在[b]方向上的投影與向量[b]在[a]方向上的投影這兩個概念.前者是[acosθ]，后者是[bcosθ]，還易把投影當作向量，投影是數(shù)量，可正可負可為零.

例2 已知點[O0，0，A0，b，Ba，a3]，若[OAB]為直角三角形，則必有 （ ）

A. [b=a3]

B. [b=a3+1a]

C. [b-a3b-a3-1a=0]

D. [b-a3+b-a3-1a=0]

解析 由條件得，[a≠0]，[b≠0]，

所以[∠AOB]不可能是直角.

又[OAB]為直角三角形，所以[∠OAB]或[∠OBA]是直角，即[OA?AB=0]或[OB?BA=0].

又[AB=（a，a3-b）]，所以[b（a3-b）=0]或[a2+a3（a3-b）=0，]

化簡得[b=a3]或[b=a3+1a].

答案 C

點撥 向量垂直與向量平行一樣，也是一種重要的向量關系，在高考中出現(xiàn)的頻率很高.向量是否垂直，一是通過幾何法判斷，二是通過向量法判斷，看數(shù)量積是否為零.值得注意的是向量垂直則數(shù)量積為零，反之不成立.因為向量垂直是指兩個非零向量的關系，零向量與任一向量的數(shù)量積為零.

2. 數(shù)量積及幾何意義重運算、重應用

平面向量的數(shù)量積及幾何意義，通常以兩種方式出現(xiàn)，一是純向量形式，二是以幾何圖形為載體，重點是數(shù)量積的運算.

例3 設[e1，e2]為單位向量，非零向量[b=xe1+ye2]，[x，y∈R].若[e1，e2]的夾角為[π6]，則[xb]的最大值等于 .

解析 由條件得，[b2=b2=（xe1+ye2）2]

[=x2+2xye1?e2+y2=x2+3xy+y2]，

因此[b2x2=1+3yx+y2x2][=yx+322+14≥14].

所以[bx]最小值為[12]，故[xb]的最大值為2.

答案 2

點撥 數(shù)量積是向量的一種運算，它的結(jié)果是數(shù).理解數(shù)量積不僅要理解其含義，而且要理解其運算律，數(shù)量積滿換律、分配律.無結(jié)合律，因為[（a?b）?c]不是數(shù)量積，[（a?b）?c]是向量；無消去律，因為[a?b=a?c（a≠0）]不能推出[b=c].向量的模即向量的大小，是向量的基本概念.向量的模的求法也有兩種，一是借助幾何圖形求線段長度，二是通過向量運算求得.而向量運算求模有兩個公式，一是向量式[a=a2]，二是坐標式[a=x2+y2]，[（x，y）]是向量[a]的坐標，這兩個公式都應熟練掌握.

例4 在平行四邊形[ABCD]中，[AD=1，][∠BAD=60°，][E]為[CD]的中點，若[AC?BE=1]，則[AB]的長為 .

解析 如圖，[AC=AD+AB]，

[BE=BC+CE=AD-12AB]，

所以[AC?BE=][AD2+12AD?AB-12AB2]

=[1+12×1×AB×cos60°-12AB2]

[=1+14AB-12AB2=1]，解得[AB=12].

答案 [12]

點撥 有關幾何形式的數(shù)量積運算，通常用基向量法，即選擇一組基底，將問題向量用基底線性表示，運用數(shù)量積定義和運算法則，注意要充分利用平面圖形的幾何性質(zhì).

例5 設ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B=[14]AB，且對于AB上任一點P，恒有[PB?PC≥P0B?P0C]，則 （ ）

A. [∠ABC=90°] B. [∠BAC=90°]

C. [AB=AC] D. [AC=BC]

解析 由題意，設|[AB]|=4，則|[P0B]|=1，過點[C作AB]的垂線，垂足為H，在AB上任取一點P，設[HP0=a]，則由數(shù)量積的幾何意義可得，

[PB?PC=PH?PB=PB-（a+1）PB]，

[P0B?P0C=-P0H?P0B=-a]，

于是[PB?PC≥P0B?P0C]恒成立，

等價于[PB-（a+1）PB≥-a]恒成立，

整理得[PB2-（a+1）PB+a≥0]恒成立，

只需[?=（a+1）2-4a=（a-1）2≤0]即可，于是[a=1].

因此我們得到[HB=2]，即[H是AB]的中點，

故[ABC]是等腰三角形，所以[AC=BC]，選D.

答案 D

點撥 數(shù)量積的幾何意義是：[a?b]等于[a]的模與[b]在[a]方向上投影之積，也可以等于[b]的模與[a]在[b]方向上的投影之積，實質(zhì)上就是求數(shù)量積的一種新方法.在數(shù)量積的幾何運算中，若能根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，確定向量端點在另一向量上射影位置，用幾何意義求數(shù)量積比較簡單.

3. 向量應用重綜合、重交匯

向量綜合應用在高考中經(jīng)常得到體現(xiàn)，一是內(nèi)部知識的綜合，二是與三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何綜合，近年來又出現(xiàn)與不等式、線性規(guī)劃問題綜合的情況，可見綜合范圍有擴大趨勢.

例6 已知[a，b]是單位向量，[a?b=0].若向量[c]滿足[c-a-b=1]，則[c]的取值范圍是 （ ）

A. [2-1，2+1] B. [2-1，2+2]

C. [1，2+1] D. [1，2+2]

解析 法一：建立直角坐標系，設[a=（1，0），][b=（0，1），][c=（x，y）.]

由[c-a-b=1]得，[（x-1）2+（y-1）2=1].

令[x-1=cosθ]，[y-1=sinθ]，

則[x2+y2=（cosθ+1）2+（sinθ+1）2][=3+22sin（θ+π4）].

[-1≤sin（θ+π4）≤1]，

[3-22≤x2+y2≤3+22].

[c=x2+y2]，

[2-1≤|c|≤2+1].

法二：因[c=（a+b）+（c-a-b），]由絕對值三角不等式得，

[a+b-c-a-b≤c≤a+b+c-a-b].

即[2-1≤|c|≤2+1].

答案 A

點撥 本題是向量模的取值范圍問題，考查向量知識和方法的綜合應用.向量內(nèi)部知識的綜合，常出現(xiàn)向量的線性運算與數(shù)量積、平行與垂直、夾角與模的綜合，考查方法有代數(shù)法與幾何法.

備考指南

平面向量的數(shù)量積及其應用是平面向量的重點知識，在每年高考中都占有一席之地.因而在復習過程中，應以基礎為主，從基本概念、基本運算、基本方法、基本應用出發(fā)，鞏固知識，培養(yǎng)能力.

1. 對以前考查的熱點，如向量坐標的線性運算或數(shù)量積，不能放松.模與夾角的計算，平行與垂直的判斷，仍要熟練.

2. 對新增的熱點，如向量的數(shù)量積的幾何意義、向量的投影、向量的幾何運算要引起重視.

3. 對向量的應用，除了在三角、立幾、解幾中的應用外，還要注意在不等式、線性規(guī)劃、數(shù)列等方面的應用.

限時訓練

1. 已知向量[a，b]，那么“[a?b=0]”是“向量[a，b]互相垂直”的 （ ）

A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件

C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件

2. 設[a，b]是兩個非零向量，下列能推出[a=b]的是 （ ）

A. [a∥b] B. [a2=b2]

C. [a?c=b?c] D. [a=b]且[a，b]的夾角為0°

3. 已知向量[a=（4，3）]，[b=（-1，2）]，若向量[a+kb]與[a-b]垂直，則[k]的值為 （ ）

A. [233] B. 7

C. [-115] D. [-233]

4. 設[a，b]是非零向量，若函數(shù)[f（x）=（xa+b）?（a-xb）（x∈R）]的圖象不是直線，且在[x=0]處取得最小值，則必有 （ ）

A. [ab]

B. [a∥b]

C. [a，b]不垂直且[a=b]

D. [a，b]不垂直且[a≠b]

5. 在四邊形[ABCD]中，[AC=（1，2）]，[BD=（-4，2）]，則該四邊形的面積為 （ ）

A. [5] B. [25]

C. [5] D. 10

6. [ABC]的外接圓的圓心為[O]，半徑為2，且[OA+AB+AC][=0]，則向量[CA]在[CB]方向上的投影為 （ ）

A. [3] B. 3

C. [-3] D. -3

7. 設[a，b，c]是單位向量，且[a?b=0]，則[（a-c）?（b-c）]的最小值為 （ ）

A. [2-1] B. [1-2]

C. [-2] D. [2]

8. 如圖，[ABC]的外接圓的圓心為[O]，[AB=2]，[AC=3，BC=7]，則[AO?BC]的值是 （ ）

A. [32] B. [52]

C. [2] D. [3]

9. 在邊長為1的正六邊形[ABCDEF]中，記以[A]為起點，其余頂點為終點的向量分別為[a1，a2，a3，a4，a5]；以[D]為起點，其余頂點為終點的向量分別為[d1，d2，d3，d4，d5].若[m，M]分別為[（ai+aj+ak）?（dr+ds+dt）]的最小值、最大值，其中[{i，j，k}?{1，2，3，4，5}]，[{r，s，t}?{1，2，3，4，5}]，則[m，M]滿足 （ ）

A. [m=0，M>0] B. [m0]

C. [m

10. 如圖，在扇形[OAB]中，[∠AOB=60°]，[C]為弧[AB]上且與[A，B]不重合的一個動點，且[OC=xOA+yOB]，若[u=x+λy（λ>0）]存在最大值，則[λ]的取值范圍為 （ ）

A. （1，3） B. （[13]，3）

C. （[12]，1） D. （[12]，2）

11. 已知向量[a]，[b]滿足[a=（1，0），b=（2，4）]，則[|a+b|=]__________.

12. 已知向量[a，b]滿足[a=4，][b=3]且[（2a-][3b）?（2a+b）=61]，則[a]與[b]的夾角為 .

13. 已知向量[m=（1，2）]，[n=（1，1）]，若[m]與[m+λn]的夾角為銳角，則實數(shù)[λ]的取值范圍為__________.

14. 在[RtABC]中，[∠C=90°]，若[ABC]所在平面內(nèi)一點[P]滿足[PA+PB+λPC=0].

（1）當[λ=1]時，[PA2+PB2PC2=]___________；

（2）[PA2+PB2PC2]的最小值為___________.

15. 已知數(shù)列[an]是公差不為零的等差數(shù)列，[Sn]為其前[n]項的和. 等比數(shù)列[bn]的前三項分別為[a2，a5，a11].

（1）求數(shù)列[bn]的公比；

（2）若[a1=1]，[OQn=（ann，Snn2）（n∈N?）]，求[OQn]的最大值.

16. 設[ABC]的三個內(nèi)角[A，B，C]所對的邊分別為[a，b，c]，且滿足[（2a+c）BC?BA+cCA?CB=0].

（1）求角[B]的大??；

（2）若[b=23]，試求[AB?CB]的最小值.

17.已知[O]為坐標原點，向量[OA=（sinα，1）]，[OB=（cosα，0）]，[OC=（-sinα，2）]，點[P]滿足[AB=BP].

（1）記函數(shù)[f（α）=PB?CA]，[α∈（-π8，π2）]，討論函數(shù)[f（α）]的單調(diào)性，并求其值域；

（2）若[O，P，C]三點共線，求[OA+OB]的值.

18. 兩非零向量[a，b]滿足[2a+b]與[b]垂直，集合[A=][xx2+（a+b）x+ab=0]是單元素集.

篇10

【關鍵詞】解析幾何;向量的概念

The vector solution of the analytic geometry method

Ma Hong-yin

【Abstract】The topic in the analytic geometry because of a great deal of application property and sketch, make parts of student felling the topic be difficult to do, and from here creation awe by difficulty mental state, see resolution hair Mao.Then influence their result, influence study interest.If lead the vector into among them, get around for the ability a lot of and difficult processing of problem.The flat surface vector has several form and algebra form because of it of"dual identity", while study many other problem all have very extensive of application.It is contact several medium of knowledge, 1 which become mathematics knowledge in the high school hand over to remit a point.

【Key words】Analytic geometry;The concept of vector

解析幾何中的題目由于大量應用性質(zhì)及圖形,使得部分學生感覺題目難做,并由此產(chǎn)生畏難心理,見解析題就發(fā)憷。進而影響了他們的成績,影響了學習興趣。如果將向量引入其中,就能回避好多難處理的問題。平面向量由于其具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”,在研究其他許多問題時都有很廣泛的應用.它是聯(lián)系多項知識的媒介,成為中學數(shù)學知識的一個交匯點,數(shù)學高考重視能力立意,在知識網(wǎng)絡的交匯點上設計試題,因此,解析幾何與平面向量的融合交匯是新課程高考命題改革的發(fā)展方向和創(chuàng)新的必然趨勢。而學生普遍感到不適應,本文結(jié)合幾個例題,說明平面向量在平面解析幾何中的一些簡單應用.由于建立直角坐標系,給出了向量的坐標表示式,由此導出了向量的加法、減法及實數(shù)與向量積的坐標運算,這就為用“數(shù)”的運算處理“形”的問題架起了橋梁。因此運用向量方法解決平面幾何問題,能夠?qū)栴}中的隱蔽條件明朗化,復雜條件簡單化,化難為易,最終能解決問題。從而使學生體驗到成功的樂趣,建立學好數(shù)學的信心,又學到思考的方法,從而逐步提高推理的能力。

基礎知識梳理

1. 向量的概念、向量的幾何表示、向量的加法和減法;

2. 實數(shù)與向量的積、兩個向量共線的充要條件、向量的坐標運算;

3. 平面向量的數(shù)量積及其幾何意義、平面兩點間的距離公式、線段定比分點人坐標公式和向量的平移公式;

4. 橢圓、雙曲線、拋物線的定義及簡單幾何性質(zhì)的靈活運用;

5. 曲線方程(含指定圓錐曲線方程及軌跡方程);

6. 直線與圓錐曲線的位置關系問題(交點、弦長、中點弦與斜率、對稱問題)確定參數(shù)的取值范圍;

7. 平面向量作為工具綜合處理有關長度、角度、垂直、射影等問題以及圓錐曲線中的典型問題。

例題講解

1. 求軌跡問題

例1. O為原點,點A(1,1),B(1,-1).若存在 ,使點C滿足 ,其中 =1.求點C的軌跡方程______________

解:設C(x,y) 則(x,y) =(1,1)+ (1,-1)

=( ,)+(, )

=(+ ,- )

x=+ ,y= -

= , =

=1,

x2-y2=4

說明:在引入向量的坐標表示后,可以使向量運算代數(shù)化,這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起。

練習1.平面直角坐標系中, 為坐標原點,已知 ,若點 滿足 ,其中 ,且 ,則點 的軌跡方程為( D)

A.B.

C. D.

2.過點 ,作直線 交雙曲線 于A、B不同兩點,已知 。

(1)求點P的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線。

(2)是否存在這樣的直線 ,使 ?若存在,求出 的方程;若不存在,說明理由。

解:(1)設 的方程為 ,代入

得

當 時,設

則

設 ,由 ,

再將 代入 得 (*)

時,滿足(*)式。

2.關于數(shù)量積的運算

例2.設坐標原點是 O,拋物線 y=x2與過點(0, )的直線交于A,B兩點.

則 =( )

解:設A(x1,x12),B(x2,x22)

則 = (x1,x12)(x2,x22)=x1x2+( x1x2)2

設直線AB的方程為:y- =kx

則由y=x2

y- =kx解得x2-kx- =0

x1x2=- =-

說明:向量數(shù)量積的坐標表示,構建起向量與解析幾何的密切關系,使向量與解析幾何融為一體。求此類問題的關鍵是:利用向量數(shù)量積的坐標表示,溝通向量與解析幾何的聯(lián)系。體現(xiàn)了向量的工具性。

練習(2007年新課程卷)設坐標原點為 ,拋物線 與過焦點的直線交于 兩點,則 等于( B )

A. B. C.D.

3.方向向量的應用

例3.雙曲線的中心在坐標原點O,兩條漸近線的方向向量分別為 =(2,1), =(-2,1).P是雙曲線上的一個動點,已知 =(5,0),的最小值為 ,求雙曲線的方程.

解:雙曲線的兩條漸近線的方向向量是 =(2,1),=(-2,1)

兩條漸近線分別為:y= x , y=- x

設雙曲線的方程為:x -4y =λ,P(x,y)

=(x-5,y)

=

=

=

當x=4時, 有最小值是 。

所以,得

雙曲線的方程是: ,即:

說明:由于向量可以用一條有向線段來表示,有向線段的方向可以決定解析幾何中直線的斜率,故直線的方向向量與解析幾何中的直線有著天然的聯(lián)系。求解此類問題的關鍵是:根據(jù)直線的方向向量得出直線方程,再轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解決。

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練習

(1)O是平面上一定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿足

=+λ( + ),λ,則點P的軌跡一定通過ABC 的(B)

(A)外心(B)內(nèi)心(C)重心 (D)垂心

(2)已知平面上直線l的方向向量 =(- , ),點O(0,0)和點A(1,-2)在l上的射影分別為O,和A,,則 =λ ,其中λ=( D )

(A) (B)- ( C)2(D)-2

4.向量夾角的應用

例4已知A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點,且y1y2

解:∠AOB為銳角,

>0,即x1x2+y1y2>0(*)

設M(x0,0),直線AB的斜率為k(k≠0),

則AB可以寫成:y=k(x-x0)與y2=2px聯(lián)立

得:k2x2-(2k2x0+2p)x+kx02=0

于是:x1x2=x02

y12y22=(2px1)(2px2)=4p2x02

而y1y2

代入(*)式得:

x02-2px0>0

x0>0,x0>2p

易知:若ABx軸亦成立。

說明:求解這類問題的關鍵是:先把向量用坐標表示,再用解析幾何知識結(jié)合向量的夾角公式使問題獲解;

練習

橢圓 的焦點為F1,F2 ,點P為該橢圓上的動點,當∠F1PF2為鈍角時,求點P的橫坐標的取值范圍。( )

5.共線向量的應用

例5、已知橢圓 的長、短軸端點分別為A、B,從此橢圓上一點M向x軸作垂線,恰好通過橢圓的左焦點 ,向量 與 是共線向量。

(1)求橢圓的離心率e;

(2)設Q是橢圓上任意一點,、 分別是左、右焦點,求∠的取值范圍;

解:(1) , 。

是共線向量, ,b=c,故 。

(2)設

當且僅當 時,cosθ=0,θ 。

說明:由于共線向量與解析幾何中平行線、三點共線等具有異曲同工的作用,因此,解析幾何中與平行線、三點共線等相關的問題均可在向量共線的新情景下設計問題。求解此類問題的關鍵是:正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點共線等的關系,把有關向量的問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題。