導(dǎo)語：如何才能寫好一篇實(shí)數(shù)集，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

2、所有有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。

3、正整數(shù)和負(fù)整數(shù)的總稱叫整數(shù)。包括0的一切實(shí)數(shù)，即不存在虛數(shù)部分的數(shù)均為整數(shù)。

4、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)。

篇2

ABCD分值: 5分 查看題目解析 >88.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為（ ）ABCD分值: 5分 查看題目解析 >99. 函數(shù)在處取得最小值，則（ ）A是奇函數(shù)B是偶函數(shù)C是奇函數(shù)D是偶函數(shù)分值: 5分 查看題目解析 >1010. 在中，，，為斜邊的中點(diǎn)，為斜邊上一點(diǎn)，且，則的值為（ ）AB16C24D18分值: 5分 查看題目解析 >1111. 設(shè)是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)）且，則的值為（ ）A2BC3D分值: 5分 查看題目解析 >1212.對(duì)于實(shí)數(shù)定義運(yùn)算“”： ，設(shè)，且關(guān)于的方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（ ）ABCD分值: 5分 查看題目解析 >填空題 本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填寫在題中橫線上。1313. 設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .分值: 5分 查看題目解析 >1414.若拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)的值為 .分值: 5分 查看題目解析 >1515.已知向量滿足，，與的夾角為，則與的夾角為 .分值: 5分 查看題目解析 >1616.已知函數(shù)時(shí)，則下列所有正確命題的序號(hào)是 .①，等式恒成立；②，使得方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；③，若，則一定有；④，使得函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn).分值: 5分 查看題目解析 >簡(jiǎn)答題（綜合題） 本大題共70分。簡(jiǎn)答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.17.證明：數(shù)列為等比數(shù)列；18.求.分值: 10分 查看題目解析 >18中，角所對(duì)的邊分別為，且.19.求的值；20.若，求面積的值.分值: 12分 查看題目解析 >19命題實(shí)數(shù)滿足（其中），命題實(shí)數(shù)滿足.21.若，且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；22.若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.分值: 12分 查看題目解析 >20在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，且是以為直角的等腰直角三角形，點(diǎn)在三邊圍成的區(qū)域內(nèi)（含邊界）.23.若，求；24.設(shè)，求的值.分值: 12分 查看題目解析 >21已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為-2，當(dāng)時(shí)值為0.25.求的值；26.若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.分值: 12分 查看題目解析 >22已知函數(shù)的最小值為0，其中，設(shè).27.求的值；28.對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；29.討論方程在上根的個(gè)數(shù).22 第(1)小題正確答案及相關(guān)解析正確答案

解析

的定義域?yàn)椋?，解得x＝1－a＞－a.當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：

因此，在處取得最小值，故由題意，所以.考查方向

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值中的應(yīng)用.解題思路

首先求出函數(shù)的定義域，并求出其導(dǎo)函數(shù)，然后令，并判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)而得出函數(shù)取得極值，即最小值.易錯(cuò)點(diǎn)

無22 第(2)小題正確答案及相關(guān)解析正確答案

解析

由知對(duì)恒成立即是上的減函數(shù).對(duì)恒成立，對(duì)恒成立， ……8分考查方向

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用.解題思路

首先將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來研究單調(diào)性，進(jìn)而求出的取值范圍易錯(cuò)點(diǎn)

無22 第(3)小題正確答案及相關(guān)解析正確答案

時(shí)有一個(gè)根，時(shí)無根.解析

由題意知，由圖像知時(shí)有一個(gè)根，時(shí)無根或解： ，，又可求得時(shí).在時(shí) 單調(diào)遞增.時(shí)， ，時(shí)有一個(gè)根，時(shí)無根.考查方向

本題主要考查分離參數(shù)法.解題思路

篇3

[關(guān)鍵詞]數(shù)系 實(shí)數(shù)的完備性 閉區(qū)間套定理 循環(huán)證明

中圖分類號(hào)：TP260 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-914X（2016）21-0392-02

引言

實(shí)數(shù)系具有完備性這一重要性質(zhì)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)尤其是分析正是建立在這一基礎(chǔ)之上，它可由實(shí)數(shù)系六大基本定理刻畫。歷代數(shù)學(xué)家用各種方法證明了實(shí)數(shù)完備性六大定理，除了常見的圓周法循環(huán)證明外，還有各種等價(jià)性證明。這些證明方法里蘊(yùn)含著對(duì)這六大定理及其運(yùn)用方法和技巧的理解。這六大定理也可以運(yùn)用于數(shù)學(xué)分析中其他定理的證明。其中，通過構(gòu)造閉區(qū)間套運(yùn)用閉區(qū)間套定理能夠解決分析中其他問題。通過對(duì)這六大定理的了解和應(yīng)用，能夠了解如何用分析的語言來刻畫數(shù)學(xué)定理，領(lǐng)略數(shù)學(xué)證明的魅力。

1.實(shí)數(shù)理論的建立

1.1 從有理數(shù)到無理數(shù)

數(shù)是數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)概念。數(shù)學(xué)不斷發(fā)展進(jìn)步，與此同時(shí)，數(shù)系也不斷擴(kuò)展。人類很早就認(rèn)識(shí)了有理數(shù)。在公元前五世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派主張“萬物皆數(shù)”，當(dāng)時(shí)所有人都堅(jiān)定不移地認(rèn)為“一切數(shù)均可表示成整數(shù)或者整數(shù)之比”。然而，畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生希帕索斯一天突然想用勾股定理來測(cè)度等腰直角三角形的斜邊與直角邊之比，卻發(fā)現(xiàn)這個(gè)值無法測(cè)度，于是提出了無理數(shù)的存在。這一發(fā)現(xiàn)震驚了當(dāng)時(shí)整個(gè)數(shù)學(xué)界，人們無法否認(rèn)無理數(shù)的存在，然而之前長(zhǎng)期的認(rèn)識(shí)使得人們同樣無法接受它，這一問題持續(xù)了千年之久。

在希帕索斯提出無理數(shù)之后，人類才開始意識(shí)到有理數(shù)并不完美，然而當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)還并不能很好地解釋無理數(shù)的存在。直到18世紀(jì)，基本常數(shù)圓周率和自然常數(shù)e等被數(shù)學(xué)家證明是無理數(shù)之后，才有越來越多的人擁護(hù)無理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)一起組成了實(shí)數(shù)集合，也正是在實(shí)數(shù)理論建立之后，人們才從根本上理解和承認(rèn)了無理數(shù)。

1.2 實(shí)數(shù)理論的提出

17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茲先后提出的牛頓―萊布尼茲公式，成為整個(gè)微積分論的基礎(chǔ)。兩人的理論都建立在無窮小量的分析之上，但是他們自身卻不能很好地理解和運(yùn)用無窮小量。因此微積分也受到了很多人的攻擊和反對(duì)。

這使得當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們很是尷尬。在應(yīng)用上，微積分非常成功，然而，在理論上，它自身的邏輯卻是混亂的。為了解決這一問題，數(shù)學(xué)家們將分析基礎(chǔ)建立在實(shí)數(shù)體系之上，分別建立了自己的分析體系。也正是在這個(gè)時(shí)候，實(shí)數(shù)理論才被提出并被普遍接受，成為數(shù)學(xué)分析的基石。

2.實(shí)數(shù)系六大基礎(chǔ)定理

2.1 實(shí)數(shù)系六大基礎(chǔ)定理

19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們分別提出了自己的實(shí)數(shù)體系，后來，隨著分析的發(fā)展和嚴(yán)格，數(shù)學(xué)家們對(duì)各種實(shí)數(shù)體系進(jìn)行了歸納和總結(jié)，建立了實(shí)數(shù)理論。實(shí)數(shù)理論可以歸結(jié)為六大基本定理，包括確界存在定理，單調(diào)有界數(shù)列收斂定理，閉區(qū)間套定理，致密性定理，柯西收斂定理和有限覆蓋定理。

2.1.1確界存在定理（實(shí)數(shù)系連續(xù)性定理）

定義：非空有上界的閉集一定有上確界，非空有下界的閉集一定有下確界。1817年由捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾提出，刻畫了實(shí)數(shù)系的連續(xù)性性質(zhì)，這也是數(shù)學(xué)史上首次提出實(shí)數(shù)理論。

2.1.2單調(diào)有界收斂定理

定義：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必定收斂。這個(gè)定理由德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯提出，常用于數(shù)列收斂的判斷和證明。

2.1.3閉區(qū)間套定理

定義：設(shè)一列閉區(qū)間n=1，2，3….滿足1）………….2）。則.

2.1.4致密性定理

定義：有界數(shù)列有收斂的子列。從極限點(diǎn)的角度來敘述致密性定理，就是有界數(shù)列必有極限點(diǎn)。

2.1.5柯西收斂定理

定義：如果數(shù)列{}具有以下特性：對(duì)于任意給定的，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n， m>N時(shí)，成立，則稱數(shù)列{}收斂。

2.1.6有限覆蓋定理：

定義：設(shè)G={/}是的一個(gè)開覆蓋，則必存在有限子集={，…….}覆蓋。

2.2 循環(huán)證明法

實(shí)數(shù)系六大基礎(chǔ)定理彼此之間相互等價(jià)，可用循環(huán)證明法證明其成立。循環(huán)證明法，也稱圓周法，是證明多個(gè)等價(jià)性定理的常見方法。通常假設(shè)其中一個(gè)定理成立，用這個(gè)定理來證明下一個(gè)定理成立，再以下一個(gè)已經(jīng)證明的定理為已知，依次證明之后的定理成立。然后，用最后一個(gè)定理來證明第一次假設(shè)的定理成立。用循環(huán)證明法證明實(shí)數(shù)完備性六大基礎(chǔ)定理的常見思路是，由確界存在定理證明單調(diào)有界收斂定理，由單調(diào)有界收斂定理證明閉區(qū)間套定理，由閉區(qū)間套定理證明致密性定理，由致密性定理證明柯西收斂準(zhǔn)則，由柯西收斂準(zhǔn)則證明有限覆蓋定理，最后，再由有限覆蓋定理證明確界存在定理。

3.閉區(qū)間套定理的運(yùn)用

在實(shí)數(shù)六大基礎(chǔ)定理中，閉區(qū)間套定理十分典型，也有著較強(qiáng)的應(yīng)用技巧。閉區(qū)間套定理是指滿足一定條件的閉區(qū)間套最后可以收斂到同一個(gè)點(diǎn)，主要可由單調(diào)有界收斂定理證明。

從閉區(qū)間套定理的定義可以看出，根據(jù)閉區(qū)間的原有性質(zhì)，可利用閉區(qū)間套定理推導(dǎo)出閉區(qū)間上某點(diǎn)或者該點(diǎn)所在鄰域的性質(zhì)，即已知“整體性質(zhì)”可推導(dǎo)“局部性質(zhì)”。根據(jù)閉區(qū)間套定理的這一特質(zhì)，閉區(qū)間套定理可以容易地推廣到n維空間。在運(yùn)用閉區(qū)間套定理時(shí)，閉區(qū)間套的構(gòu)造和“局部性質(zhì)”的繼承是關(guān)鍵。

3.1運(yùn)用反證法從“局部性質(zhì)”證明“整體性質(zhì)”

例.設(shè)f（x）在R上有定義，f（x）逐點(diǎn)單調(diào)增加，即

證明：f（x）在R上嚴(yán)格單調(diào)遞增。

分析：這是一道典型的由“局部性質(zhì)”推導(dǎo)到“整體性質(zhì)”的證明題?？梢钥紤]閉區(qū)間套定理與反證法結(jié)合。假設(shè)在某個(gè)區(qū)間上結(jié)論不成立，通過閉區(qū)間套的構(gòu)造將該性質(zhì)傳遞到某個(gè)鄰域上，與已知的“局部性質(zhì)”相矛盾，從而證明結(jié)論成立。

證明：假設(shè)f（x）在R上不是單調(diào)遞增，即。用二分法構(gòu)造閉區(qū)間套。等分，若；若。此時(shí)總有，。等分，如上方法可選，滿足，……如此繼續(xù)可以得到一列閉區(qū)間{}滿足

故假設(shè)錯(cuò)誤，即f（x）在R上單調(diào)遞增。

運(yùn)用閉區(qū)間套定理的關(guān)鍵在于閉區(qū)間套的構(gòu)造，常見的構(gòu)造方法有二分法等。通過二分法構(gòu)造閉區(qū)間套，選擇合適的閉區(qū)間套繼承并傳遞原有閉區(qū)間的性質(zhì)。最后，該性質(zhì)可逐漸傳遞到某個(gè)點(diǎn)或者某個(gè)鄰域上。閉區(qū)間套定理經(jīng)常可與反證法連用，由此來解決分析上的問題或者完成定理的證明。

4、總結(jié)

實(shí)數(shù)理論體系的出現(xiàn)意味著分析從混亂開始走向嚴(yán)格，它是整個(gè)數(shù)學(xué)分析大廈的基石，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分析的邏輯與和諧之美。實(shí)數(shù)完備性的六大定理不僅是強(qiáng)大的理論支撐，也廣泛應(yīng)用于其他數(shù)學(xué)問題的解決和其他定理的證明之中。

參考文獻(xiàn)

[1] 數(shù)學(xué)分析 高等教育出版社.陳紀(jì)修.於崇.

[2] 關(guān)于實(shí)數(shù)完備性定理的用法討論.楊艷.

[3] 論實(shí)數(shù)系完備性定理的和諧美.梁俊奇.

篇4

【關(guān)鍵詞】 自然數(shù)集；實(shí)數(shù)集；無窮；反證法

對(duì)角線論證，可以回答的問題像是：給你無限長(zhǎng)的時(shí)間，你能否把所有的實(shí)數(shù)數(shù)完？而判斷能不能數(shù)完，本質(zhì)上是在比較自然數(shù)與實(shí)數(shù)的多少.問題也就等價(jià)于探討自然數(shù)集與實(shí)數(shù)集大小的關(guān)系.然而兩個(gè)集合元素的個(gè)數(shù)都是無窮的，如何來比較它們之間元素個(gè)數(shù)的關(guān)系呢？看似沒有頭緒的問題，康托卻巧妙地僅僅通過抽象的論證，就證明了這個(gè)看似無從入手的問題.

如何比較兩個(gè)集合的大??？

討論如何比較兩個(gè)集合的大小，先從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子說起，假設(shè)許多觀眾涌入一個(gè)禮堂，我們?nèi)绾闻袛嘤^眾數(shù)和座椅數(shù)的關(guān)系？

第一種方法，數(shù)數(shù)法.在觀眾進(jìn)來之前，我們可以分別數(shù)一數(shù)觀眾與座椅，然后將兩個(gè)數(shù)字加以比較，如果這兩個(gè)數(shù)一樣，那么就說明觀眾與座椅數(shù)相等.但是這種方法僅限于集合元素可數(shù)的情況下，在無窮集是沒有辦法實(shí)現(xiàn)的.

第二種方法，一一對(duì)應(yīng)法.觀眾進(jìn)入禮堂后找座椅坐下，當(dāng)觀眾全部進(jìn)入以后，如果剛好把座椅全部坐完，那么人和座椅的數(shù)目就是相等的，在這種狀況下，我們不用通過數(shù)數(shù)就可以判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系.而實(shí)際上，人們數(shù)數(shù)也是建立在這種一一對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)上的，數(shù)數(shù)是把人數(shù)或座椅數(shù)和自然數(shù)做的一一對(duì)應(yīng)，一一對(duì)應(yīng)的觀念是比自然數(shù)的數(shù)數(shù)更基本的觀念.

喬治?康托對(duì)這一概念作出了如下定義：

如果能夠根據(jù)某一法則，使集合M與集合N中的元素建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，那么，集合M與集合N等價(jià).

為什么（0，1）之間的實(shí)數(shù)與全體的實(shí)數(shù)一樣多？

將（0，1）線段彎成半圓弧形，圓心為O，半圓下面是一條無限延伸的實(shí)數(shù)線.如圖所示.

因?yàn)閳A弧是由（0，1）線段彎曲而成，所以上面的點(diǎn)仍然代表線段（0，1）上的點(diǎn).從O點(diǎn)作一條射線，分別交圓弧于A1點(diǎn)，交實(shí)數(shù)線于A2點(diǎn)，則A1與A2就是對(duì)應(yīng)的，同理可以看出B1與B2對(duì)應(yīng)，C1與C2對(duì)應(yīng)，而實(shí)數(shù)線無窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)與圓弧的兩個(gè)端點(diǎn)對(duì)應(yīng)，這樣整個(gè)圓弧上的點(diǎn)就和這條無限延伸的實(shí)數(shù)線上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來，這也就證明了（0，1）集合與實(shí)數(shù)集的大小是相等的，（0，1）之間的實(shí)數(shù)與全體的實(shí)數(shù)一樣多.

為什么實(shí)數(shù)永遠(yuǎn)數(shù)不完？

判斷實(shí)數(shù)能不能數(shù)完，實(shí)質(zhì)是比較自然數(shù)集與實(shí)數(shù)集之間的大小關(guān)系，因?yàn)閮蓚€(gè)集合都是無窮集，所以用數(shù)數(shù)的辦法是不可能辦到的，而只能采用一一對(duì)應(yīng)的辦法.一一對(duì)應(yīng)，也就是建立自然數(shù)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因?yàn)榍懊嬉呀?jīng)論證（0，1）之間的實(shí)數(shù)與全體的實(shí)數(shù)一樣多，所以在這里完全可以用（0，1）之間的實(shí)數(shù)代替全體的實(shí)數(shù)集.問題轉(zhuǎn)化為比較（0，1）集合與自然數(shù)集之間的大小關(guān)系.

康托的對(duì)角線論證，采用的是大家熟悉的反證法，首先假定區(qū)間（0，1）內(nèi)的實(shí)數(shù)能夠與自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)，然后，從這一假定出發(fā)最終推出邏輯矛盾.對(duì)應(yīng)關(guān)系我們假設(shè)如下：從（0，1）隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為a1與自然數(shù)1對(duì)應(yīng)，然后再取一個(gè)數(shù)記為a2與自然數(shù)2對(duì)應(yīng)，依此類推，我們不在乎實(shí)數(shù)被取到的順序，而是只在乎最終產(chǎn)生的一一對(duì)應(yīng).為了講清楚康托的論證，我們假定存在如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

篇5

概念及其記法

.（2）使學(xué)生初步了解“屬于”關(guān)系的意義

.（3）使學(xué)生初步了解有限集、無限集、空集的意義

能力目標(biāo)：（1）重視基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)、基本技能的訓(xùn)練和能力

的培養(yǎng)；

（2）啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨(dú)立

思考，學(xué)會(huì)分析問題和創(chuàng)造地解決問題；

（3）通過教師指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)知識(shí)結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生抽象概

括能力和邏輯思維能力；

教學(xué)重點(diǎn)：集合的基本概念及表示方法

教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法，正確表示

一些簡(jiǎn)單的集合

授課類型：新授課

課時(shí)安排：2課時(shí)

教具：多媒體、實(shí)物投影儀

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入：

1．簡(jiǎn)介數(shù)集的發(fā)展，復(fù)習(xí)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，質(zhì)數(shù)與和數(shù)；

2．教材中的章頭引言；

3．集合論的創(chuàng)始人——康托爾（德國(guó)數(shù)學(xué)家）；

4．“物以類聚”，“人以群分”；

5．教材中例子（P4）。

二、新課講解：

閱讀教材第一部分，問題如下：

（1）有那些概念？是如何定義的？

（2）有那些符號(hào)？是如何表示的？

（3）集合中元素的特性是什么？

（一）集合的有關(guān)概念（例題見課本）：

1、集合的概念

（1）集合：某些指定的對(duì)象集在一起就形成一個(gè)集合。

（2）元素：集合中每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素。

2、常用數(shù)集及其表示方法

（1）非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集）：全體非負(fù)整數(shù)的集合。記作N

（2）正整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集。記作N*或N+

（3）整數(shù)集：全體整數(shù)的集合。記作Z

（4）有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合。記作Q

（5）實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)的集合。記作R

注意：（1）自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的，也就是說，自然數(shù)集包括

數(shù)0。

（2）非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集。記作N*或N+。Q、Z、R等其它

數(shù)集內(nèi)排除0的集，也是這樣表示，例如，整數(shù)集內(nèi)排除0

的集，表示成Z*

3、元素對(duì)于集合的隸屬關(guān)系

（1）屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A

（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作

4、集合中元素的特性

（1）確定性：按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)給定一個(gè)元素或者在這個(gè)集合里，

或者不在，不能模棱兩可。

（2）互異性：集合中的元素沒有重復(fù)。

（3）無序性：集合中的元素沒有一定的順序（通常用正常的順序?qū)懗觯?/p>

注：1、集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……

元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

2、“∈”的開口方向，不能把a(bǔ)∈A顛倒過來寫。

練習(xí)題

1、教材P5練習(xí)

2、下列各組對(duì)象能確定一個(gè)集合嗎？

（1）所有很大的實(shí)數(shù)。（不確定）

（2）好心的人。（不確定）

（3）1，2，2，3，4，5．（有重復(fù)）

閱讀教材第二部分，問題如下：

1．集合的表示方法有幾種？分別是如何定義的？

2．有限集、無限集、空集的概念是什么？試各舉一例。

（二）集合的表示方法

1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的

方法。

例如，由方程的所有解組成的集合，可以表示為{-1，1}

注：（1）有些集合亦可如下表示：

從51到100的所有整數(shù)組成的集合：{51，52，53，…，100}

所有正奇數(shù)組成的集合：{1，3，5，7，…}

（2）a與{a}不同：a表示一個(gè)元素，{a}表示一個(gè)集合，該集合只

有一個(gè)元素。

描述法：用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合，并把這個(gè)條

件寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。

格式：{x∈A|P（x）}

含義：在集合A中滿足條件P（x）的x的集合。

例如，不等式的解集可以表示為：或

所有直角三角形的集合可以表示為：

注：（1）在不致混淆的情況下，可以省去豎線及左邊部分。

如：{直角三角形}；{大于104的實(shí)數(shù)}

（2）錯(cuò)誤表示法：{實(shí)數(shù)集}；{全體實(shí)數(shù)}

3、文氏圖：用一條封閉的曲線的內(nèi)部來表示一個(gè)集合的方法。

注：何時(shí)用列舉法？何時(shí)用描述法？

（1）有些集合的公共屬性不明顯，難以概括，不便用描述法表示，只能用列舉法。

如：集合

（2）有些集合的元素不能無遺漏地一一列舉出來，或者不便于、不需要一一列舉出來，常用描述法。

如：集合；集合{1000以內(nèi)的質(zhì)數(shù)}

注：集合與集合是同一個(gè)集合

嗎？

答：不是。

集合是點(diǎn)集，集合=是數(shù)集。

（三）有限集與無限集

1、有限集：含有有限個(gè)元素的集合。

2、無限集：含有無限個(gè)元素的集合。

3、空集：不含任何元素的集合。記作Φ，如：

練習(xí)題：

1、P6練習(xí)

2、用描述法表示下列集合

①{1，4，7，10，13}

②{-2，-4，-6，-8，-10}

3、用列舉法表示下列集合

①{x∈N|x是15的約數(shù)}{1，3，5，15}

②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}

注：防止把{（1，2）}寫成{1，2}或{x=1，y=2}

③

④{-1，1}

⑤{（0，8）（2，5），（4，2）}

⑥

{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}

三、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1．集合的有關(guān)概念

（集合、元素、屬于、不屬于、有限集、無限集、空集）

2．集合的表示方法

（列舉法、描述法、文氏圖共3種）

篇6

關(guān)鍵詞：希爾伯特旅館悖論；無窮集；一一對(duì)應(yīng)；等勢(shì)；可數(shù)集

希爾伯特旅館內(nèi)設(shè)無限個(gè)房間，所有的房間也都客滿了。這時(shí)又有一位新客人想投宿。旅館主人就讓1號(hào)房間的客人搬到2號(hào)房間，2號(hào)房間的客人搬到3號(hào)房間，3號(hào)房間的客人搬到4號(hào)房間，這樣繼續(xù)移下去。這樣一來，新客人就被安排住進(jìn)了已空出來的1號(hào)房間。

再設(shè)想旅館又客滿了，這時(shí)又來了無窮多個(gè)人想投宿。旅館主人怎么辦呢？他讓1號(hào)房間的客人搬到2號(hào)房間，2號(hào)房間的客人搬到4號(hào)房間，3號(hào)房間的客人搬到6號(hào)房間，這樣繼續(xù)下去。現(xiàn)在，所有的單號(hào)房間都空出來了，新來的無窮多位客人可以住進(jìn)去，問題解決了。

這就是大數(shù)學(xué)家大衛(wèi)?希爾伯特提出的著名悖論。雖然叫做悖論，但它在邏輯上是完全正確的，意大利數(shù)學(xué)家伽利略在他的最后一本科學(xué)著作《兩種新科學(xué)》中也提到一個(gè)問題：正整數(shù)集{1，2，3，4…}和平方數(shù)集{1，4，9，16…}哪個(gè)大呢？由高中的集合知識(shí)我們知道集合的真子集的元素個(gè)數(shù)一定小于全集元素個(gè)數(shù)，那么奇數(shù)號(hào)房間數(shù)應(yīng)小于房間總數(shù)。問題出現(xiàn)在哪呢？因?yàn)檫@是一個(gè)與無限有關(guān)的悖論，有限集合的真子集元素的個(gè)數(shù)一定小于全集元素個(gè)數(shù)。而無限集合與有限集合的性質(zhì)并不相同。無限集合與無限集合又應(yīng)如何比較呢？無限集是如何定義的呢？高中集合說集合中元素是有限的，集合叫有限集，集合中元素是無限的，那么集合就叫無限集。我們熟悉的實(shí)數(shù)集、自然數(shù)集都是無限集。那么無限集的本質(zhì)是什么？它是否具備有限集合所具有的性質(zhì)。

集合是初中升高中所學(xué)的第一個(gè)數(shù)學(xué)概念，這門研究集合的數(shù)學(xué)理論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中被稱為集合論，它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本分支，在數(shù)學(xué)中占據(jù)著一個(gè)極其獨(dú)特的地位。其創(chuàng)始人是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾，他也以其集合論的成就被列為二十世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展史上影響最深的學(xué)者之一。十七世紀(jì)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了一門新的分支：微積分。一些基本概念如極限、實(shí)數(shù)、級(jí)數(shù)等的研究都涉及無窮多個(gè)元素組成的集合，這樣就導(dǎo)致了集合論的建立，狄利克雷、黎曼等人都研究過這方面的問題，但只有康托爾在這一過程中系統(tǒng)發(fā)展了一般點(diǎn)集的理論，并開拓了一個(gè)全新的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域。

1872年康托爾開始提出“集合”的概念。他對(duì)集合所下的定義是：把若干確定的有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個(gè)整體，就稱為一個(gè)集合，其中各事物稱為該集合的元素。最能顯示出他獨(dú)創(chuàng)性的是他對(duì)無窮集元素個(gè)數(shù)問題的研究。他把無窮集這一詞匯引入數(shù)學(xué)，“我們把全體自然數(shù)組成的集合簡(jiǎn)稱作自然數(shù)集，用字母N來表示?！笨低袪栭_始關(guān)注這樣的問題：像自然數(shù)那樣的無窮集合和像實(shí)數(shù)集那樣的無窮集合存在著怎樣的關(guān)系？他提出用一一對(duì)應(yīng)準(zhǔn)則來比較無窮集元素的個(gè)數(shù)。1873年11月29日，康托爾在給戴德金的信中將上述問題以更明顯的形式提出來：全體正整數(shù)集合N和全體實(shí)數(shù)集合R能否建立一一對(duì)應(yīng)？這個(gè)問題看起來似乎不成問題，因?yàn)镹是離散的，R是連續(xù)的，但康托爾認(rèn)為這個(gè)問題也許并不是那么簡(jiǎn)單，不能過分相信直覺。

1878年康托爾明確提出了“基數(shù)”或“等勢(shì)”的概念：給定兩個(gè)集合M和N，如果能根據(jù)某種規(guī)則在它們之間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（即對(duì)于其中一集合的每個(gè)元素，另一個(gè)集合中有且僅有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)），就稱這兩個(gè)集合有相同的“基數(shù)”或者說“等勢(shì)”。由于一個(gè)無窮集可以和它的真子集建立一一對(duì)應(yīng)，如正整數(shù)和正偶數(shù)之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，也就是說無窮集合可以和它的真子集等勢(shì)，即個(gè)數(shù)相同。這與傳統(tǒng)觀念“全體大于部分”相矛盾，而康托爾認(rèn)為這恰恰是無窮集的特征。在這個(gè)定義下，正整數(shù)集{1，2，3，4…}和正偶數(shù)集{2，4，6，8…}之間具有相同個(gè)數(shù)，他稱其為可數(shù)集?？蓴?shù)集（countable set）是能與自然數(shù)集N建立一一對(duì)應(yīng)的集合，又稱可列集。1895年他證明了有理數(shù)集是可數(shù)的，他還證明了全體實(shí)代數(shù)的集合也是可數(shù)的，而直覺上實(shí)代數(shù)似乎要比有理數(shù)多得多。他證明了實(shí)數(shù)集的勢(shì)大于自然數(shù)集。他證明在無窮集之間還存在著無窮多個(gè)層次，對(duì)無窮大建立了一個(gè)完整的序列，他稱為“超限數(shù)”，他用希伯萊字母表中第一個(gè)字母“阿列夫”來表示超限數(shù)，“阿列夫零”表示自然數(shù)集的基數(shù)，2的“阿列夫零”次冪表示實(shí)數(shù)集的基數(shù)，最終他建立了關(guān)于無限的阿列夫譜系，它可以無限延長(zhǎng)下去。這種觀念在數(shù)學(xué)上稱為實(shí)無限思想?？低袪柕膶?shí)無限思想在當(dāng)時(shí)遭到一些數(shù)學(xué)家的批評(píng)與攻擊。然而康托爾并未就此止步，他以前所未有的方式，繼續(xù)正面探討無窮。他在實(shí)無限觀念基礎(chǔ)上進(jìn)一步得出一系列結(jié)論，創(chuàng)立了令人振奮的、意義十分深遠(yuǎn)的理論。這一理論使人們真正進(jìn)入了一個(gè)難以捉摸的奇特的無限世界。

中學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的只是集合論的最基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)于復(fù)雜而重要的無窮集合的性質(zhì)課本上并未涉及。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生或許覺得一切都很簡(jiǎn)單，根本無法想象它在誕生之日起所遭到的激烈反對(duì)，康托爾成為這一激烈爭(zhēng)論的犧牲品，在猛烈的攻擊與過度的用腦思考中，他得了精神分裂癥，幾次陷入精神崩潰。然而集合論前后歷經(jīng)二十余年，最終獲得了世界的公認(rèn)?？低袪柤险摰慕?，不僅是數(shù)學(xué)發(fā)展史上一座高聳的里程碑，甚至還是人類思維發(fā)展史上的一座里程碑。

參考文獻(xiàn)：

[1]葉飛.再談對(duì)中學(xué)生數(shù)學(xué)“無限”觀念的教育.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007.

篇7

[關(guān)鍵詞]:復(fù)數(shù)教學(xué) 數(shù)學(xué)思想 應(yīng)用

一、前言

教學(xué)過程是一種特殊的認(rèn)知過程，通過數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)思想，會(huì)有利于完善和發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于開發(fā)智力和發(fā)展數(shù)學(xué)能力，也能促進(jìn)數(shù)學(xué)觀念的形成，為此，本文將探索“復(fù)數(shù)教學(xué)如何突出數(shù)學(xué)思想”的問題。

基本數(shù)學(xué)思想是高度概括得到的，它們的概括性是有層次之分的，中學(xué)數(shù)學(xué)教材中最高層次的基本數(shù)學(xué)思想是：“公理化思想”、“結(jié)構(gòu)思想”和“集合對(duì)應(yīng)思想”。因此，筆者認(rèn)為，復(fù)數(shù)教學(xué)突出數(shù)學(xué)思想可歸結(jié)為突出“公理化思想”、“結(jié)構(gòu)思想”和“集合對(duì)應(yīng)思想”。

數(shù)學(xué)思想體系是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)和核心，于是，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，理所當(dāng)然地應(yīng)該給予數(shù)學(xué)思想的教學(xué)以重要的甚至核心的地位，筆者認(rèn)為，對(duì)復(fù)數(shù)全章的教學(xué)應(yīng)采取科學(xué)的的教學(xué)方法，以達(dá)到突出數(shù)學(xué)思想的目的。

二、數(shù)學(xué)思想在復(fù)數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

1.通讀掌握

通讀掌握，是指通讀復(fù)數(shù)全章內(nèi)容并掌握全章的邏輯演繹過程，經(jīng)教師啟發(fā)、引導(dǎo)、總結(jié)使學(xué)生掌握了該章的大致邏輯演繹過程：由記數(shù)的需要建立了自然數(shù)，自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集N；為表示相反意義的量滿足記數(shù)法的要求把N擴(kuò)充到整數(shù)集Z；為解決測(cè)量、等分的需要把Z擴(kuò)充到有理數(shù)集Q；為表示“無公度線段”的需要把Q擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集R；由解方程的需要把R擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集C，由復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R且a是實(shí)部；b是虛部) 用r(cosθ+isinθ)表示復(fù)數(shù)的三角形式。由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式復(fù)數(shù)的加、減、乘（包括乘方）、除四則運(yùn)算；由復(fù)數(shù)的三角形式復(fù)數(shù)的乘、除、乘方、開方運(yùn)算解方程。這樣，使學(xué)生從整體上對(duì)全章產(chǎn)生了印象、形象、想象，最后能用語言闡述全章的邏輯演繹過程，不僅為學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)奠定了基礎(chǔ)，而且還重點(diǎn)突出了公理化思想。

2.深刻理解

深刻理解是指深刻理解復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的相等、其軛復(fù)數(shù)、復(fù)平面、向量、復(fù)數(shù)的模和輻角、二項(xiàng)方程的概念。概念的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，概念的教學(xué)過程是“引入、理解、深化、應(yīng)用”，引入是指引入新概念的必要性及從需要、類化、類比、實(shí)例等方法引入新概念；理解是指理解概念的形成過程；深化是指明確概念的內(nèi)涵和外延，概念在結(jié)構(gòu)中所處的位置及引伸、聯(lián)系、變化。例如，通過啟發(fā)、引導(dǎo)使學(xué)生掌握復(fù)數(shù)的引入是解方程的需要，復(fù)數(shù)的形成是i與實(shí)數(shù)的線性組合（這里i2=-1,實(shí)數(shù)與i進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)保持實(shí)數(shù)集的加、乘運(yùn)算律）；復(fù)數(shù)的內(nèi)涵是a+bi(a,b∈R)，它的外延是當(dāng)b=0時(shí)就是實(shí)數(shù)、當(dāng)b≠0時(shí)叫做虛數(shù)，復(fù)數(shù)在數(shù)系表中處于最高層次的位置，它有代數(shù)、幾何（點(diǎn)或向量）、三角三種表現(xiàn)形式；復(fù)數(shù)成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中普遍使用的一種數(shù)學(xué)工具，因此，必須重點(diǎn)突出其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想。

3.分段進(jìn)行

分段進(jìn)行，是指將復(fù)數(shù)的運(yùn)算分成兩段進(jìn)行教學(xué)，第一段是以復(fù)數(shù)的代數(shù)形式來表述復(fù)數(shù)的概念：先規(guī)定了復(fù)數(shù)的加法和乘法滿足實(shí)數(shù)集的運(yùn)算律，又規(guī)定了復(fù)數(shù)的加減法是復(fù)數(shù)加法的逆運(yùn)算、復(fù)數(shù)除法是復(fù)數(shù)乘法的逆運(yùn)算，從而得出復(fù)數(shù)的減法和除法運(yùn)算法則，從復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果得出：任意兩個(gè)復(fù)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍是復(fù)數(shù)。第二段是以復(fù)數(shù)的三角形式來表述復(fù)數(shù)的概念，由復(fù)數(shù)（代數(shù)形式）的乘法運(yùn)算法則和運(yùn)算律及兩角和的正、余弦公式推導(dǎo)出復(fù)數(shù)（三角形式）的乘法運(yùn)算法則。用數(shù)學(xué)歸納法可以證明，由兩個(gè)復(fù)數(shù)（三角形式）的積推廣到N個(gè)復(fù)數(shù)（三角形式）的積，當(dāng)這N個(gè)復(fù)數(shù)都相等時(shí)就得出復(fù)數(shù)（三角形式）的乘方法則，根據(jù)復(fù)數(shù)除法的定義得出復(fù)數(shù)（三角形式）的除法的運(yùn)算法則，根據(jù)n次方根的定義和復(fù)數(shù)（三角形式）相等的條件及正、余弦函數(shù)的周期性得出復(fù)數(shù)（三角形式）的開方運(yùn)算法則，通過這段教材（法則、例題、習(xí)題）的教學(xué)，不僅為學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)抓住了重點(diǎn)，使學(xué)生能牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，并積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高分析問題和解決問題的能力，而且還重點(diǎn)突出了集合間的運(yùn)算關(guān)系思想和數(shù)學(xué)模型思想。

4.加強(qiáng)聯(lián)系

加強(qiáng)聯(lián)系是指通過本章教學(xué)，把一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)發(fā)展成知識(shí)“鏈”，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，研究各知識(shí)點(diǎn)之間轉(zhuǎn)化的條件，用聯(lián)系、運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)來研究各知識(shí)點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化，展示給學(xué)生一個(gè)動(dòng)態(tài)的知識(shí)“再生產(chǎn)”過程，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)與代數(shù)、平面幾何、解析幾何、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等的聯(lián)系。如復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)與方程、復(fù)數(shù)與因式分解、復(fù)數(shù)的模與實(shí)數(shù)的絕對(duì)值、復(fù)數(shù)與數(shù)學(xué)歸納法、復(fù)數(shù)與向量、點(diǎn)與向量、復(fù)數(shù)平面與坐標(biāo)平面、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除、乘方、開方的幾何意義、復(fù)數(shù)與它的模和輻角、復(fù)數(shù)與兩角和的正、余弦及用復(fù)數(shù)求角、兩點(diǎn)間距離、曲線方程、動(dòng)點(diǎn)軌跡等，這樣，不僅使學(xué)生思路開闊，善于聯(lián)想，有助于發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高靈活運(yùn)用和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)能力，而且還重點(diǎn)突出了變換思想和集合間的關(guān)系思想。

5.提煉思想

提煉思想是指啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生從本章數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法中提煉數(shù)學(xué)思想。（1）從本章的邏輯演繹過程中可提煉出公理化思想，使學(xué)生基本掌握；由“群―環(huán)―域”和由“良序―全序―偏序”過程中，可向?qū)W生滲透公理化思想。（2）從數(shù)的擴(kuò)充過程中可提煉出整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的結(jié)構(gòu)思想，使學(xué)生掌握，可向?qū)W生滲透：自然數(shù)集對(duì)乘法形成群結(jié)構(gòu)思想，整數(shù)集對(duì)加、乘法形成環(huán)結(jié)構(gòu)思想；自然數(shù)集是良序集，整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集是偏序集，由良序、全序、偏序構(gòu)成序結(jié)構(gòu)思想；從復(fù)數(shù)平面中可提煉出二維向量空間思想，使學(xué)生掌握。（3）本章中有豐富的數(shù)學(xué)模型,如N,Z,Q,R,a+bi(a,b∈R),z(a,b), oz,r(cosθ+isinθ),平行四邊形法則(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i，d=(x2-x1)2+(y2-y1)2，[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosθ+isinθ)(n∈N)等，從中可提煉出數(shù)學(xué)模型思想，使學(xué)生掌握；從復(fù)數(shù)的加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算中可提煉出集合間運(yùn)算和復(fù)數(shù)集、復(fù)平面、以原點(diǎn)為始點(diǎn)的二維向量間的一一對(duì)應(yīng)及曲線與方程等可提煉出集合間的等價(jià)關(guān)系思想；從復(fù)數(shù)集包含實(shí)數(shù)集及邏輯演繹等可提煉出序關(guān)系思想；從復(fù)數(shù)與點(diǎn)的互化、復(fù)數(shù)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算等可提煉數(shù)學(xué)思想的方法，從而進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想的形成和發(fā)展。

三、結(jié)束語

通過以上的教學(xué)，學(xué)生能從整體上較好地掌握全章的內(nèi)容以及以復(fù)數(shù)為出發(fā)點(diǎn)的有條理地串聯(lián)全章各個(gè)知識(shí)點(diǎn)及它們之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善和發(fā)展，開發(fā)學(xué)生的智力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，使學(xué)生逐漸產(chǎn)生了推理意識(shí)、整體意識(shí)、抽象意識(shí)、化歸意識(shí)等，這將促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念的形成。

參考文獻(xiàn):

[1]陳福平.在排列組合單元進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的認(rèn)識(shí)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2001，(8)：19-21.

篇8

對(duì)于兩個(gè)集合M與N,它們的構(gòu)成一般不同,我們忽略它們的構(gòu)成,而考慮一個(gè)自然的問題:這兩個(gè)集合的元素的數(shù)量哪個(gè)多哪個(gè)少?

如果集合M是有限的,那么它的元素的數(shù)量可以由某個(gè)自然數(shù)(即其元素的數(shù)目)來表達(dá)。在這種情形之下,為了比較集合M與N的數(shù)量,只要計(jì)算一下M與N的元素的個(gè)數(shù),然后比較一下所得到的這兩個(gè)數(shù)目大小就可以了。同樣,假若集合M與N中,一個(gè)是有限的,另一個(gè)是無限的,那么很自然地可以認(rèn)為無限集合包含著比有限集合更多的元素。然而,如果兩個(gè)集合M與N都是無限集合,那么用簡(jiǎn)單地計(jì)算元素的個(gè)數(shù)的方法是什么也得不到的,所以立刻引起這樣的問題,即是否所有的無限集合的元素的數(shù)量都是一樣的,或者是否存在元素?cái)?shù)量互相不同的無限集合?假如后者是正確的,那么用什么方法可以比較無限集合的元素?cái)?shù)量呢?這就需要“一一對(duì)應(yīng)”的思想。

數(shù)學(xué)中還有一類非常重要的對(duì)應(yīng),那就是映射。集合A到集合B的一個(gè)映射是A到B的滿足下列條件的一個(gè)對(duì)應(yīng):對(duì)于A中每一個(gè)元素,B中都有唯一一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)。特別地,如果A中不同的元素對(duì)應(yīng)于B中的元素也不同,就稱為單射,如果B中每一個(gè)元素都有A中一個(gè)元素對(duì)應(yīng)之,則稱滿射。同時(shí)具備兩點(diǎn)的映射稱為一一映射。映射是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個(gè)基本的概念。數(shù)學(xué)中的映射主要有以下幾種:

①數(shù)集到數(shù)集里的映射。函數(shù)就是這類映射。

②數(shù)集到點(diǎn)集的映射。實(shí)數(shù)集到數(shù)軸上的點(diǎn)集的映射,復(fù)數(shù)集到平面點(diǎn)集的映射。它是我們實(shí)現(xiàn)代數(shù)、幾何問題互化的理論根基。

③幾何圖形集合到數(shù)集里的映射。在幾何測(cè)量中,圖形集合中每一個(gè)圖形與一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)―這圖形的測(cè)度相對(duì)應(yīng)。

④點(diǎn)集到點(diǎn)集里的映射。幾何變換就是這種映射。

數(shù)(數(shù)組)與形的映射對(duì)應(yīng)導(dǎo)致數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)和形(或者說數(shù)量關(guān)系和空間形式)都是數(shù)學(xué)的研究對(duì)象,并且由數(shù)學(xué)中不同的分支學(xué)科來研究。17世紀(jì)以后,由于建立了實(shí)數(shù)集與直線上點(diǎn)集的一一對(duì)應(yīng)、有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)的集合與坐標(biāo)平面上點(diǎn)集的一一對(duì)應(yīng),從而在二元方程f(x,y)=0的集合與平面曲線集合之間建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系,實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合,導(dǎo)致解析幾何學(xué)的產(chǎn)生,數(shù)量關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì),圖形性質(zhì)可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系,幾何問題能用代數(shù)方法來研究,代數(shù)由于運(yùn)用幾何模型而具有鮮明的直觀性。正如戈丁所說:“解析幾何是下面的事實(shí)的系統(tǒng)應(yīng)用:在實(shí)數(shù)與直線上的點(diǎn)之間,在實(shí)數(shù)與平面上的點(diǎn)之間,以及在實(shí)數(shù)三元組與空間中的點(diǎn)之間,都存在著自然的對(duì)應(yīng)。于是數(shù)的計(jì)算可以用幾何的方式來解釋,而幾何問題可以重新表述為代數(shù)問題?！崩?常常用線段圖使數(shù)量關(guān)系形象化,其實(shí)質(zhì)就是用線段的長(zhǎng)短表示數(shù)量的大小,借助線段長(zhǎng)度的和、差、倍、分關(guān)系表示數(shù)量關(guān)系。由于蘊(yùn)涵在題意中的數(shù)量關(guān)系直觀地表示出來了,因而能調(diào)動(dòng)學(xué)生的形象思維,以支持他們的邏輯思維活動(dòng),這樣就有利于分析題意,從而找到解題途徑。數(shù)形結(jié)合對(duì)于初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)幾乎是不可缺少的,可讓學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)有直觀感受。

形與形的映射對(duì)應(yīng)導(dǎo)致變換思想。變換思想主要有數(shù)的變換、式的變換、名數(shù)的變換與形的變換等。例如,分?jǐn)?shù)與小數(shù)、百分?jǐn)?shù)的互化,假分?jǐn)?shù)與帶分?jǐn)?shù)或整數(shù)的互化,都是數(shù)的變換。式的變換的目的是為了簡(jiǎn)便計(jì)算,它是以運(yùn)算律、運(yùn)算性質(zhì)作為變換的依據(jù)。名數(shù)的變換反映了用不同的計(jì)量單位量同一個(gè)量時(shí)得到的形式上不同的結(jié)果。形的變換有分割、拼合、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移等。

利用對(duì)應(yīng)思想可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換而有效解決一些看上去不易解決的問題。

例1:有40支乒乓球隊(duì)參加比賽。比賽采用淘汰制,最后產(chǎn)生冠軍隊(duì)。共需賽多少場(chǎng)?

分析:每賽一場(chǎng)淘汰一支球隊(duì),每淘汰一支球隊(duì)就得賽一場(chǎng)。這樣,就可以在安排的賽場(chǎng)集合和被淘汰的球隊(duì)集合之間建立一一對(duì)應(yīng)。因此,這兩個(gè)有限集的元素個(gè)數(shù)相等。為了產(chǎn)生1個(gè)冠軍隊(duì),40支球隊(duì)需要淘汰40-1=39支球隊(duì)。因此,也就需要安排39場(chǎng)比賽。

在這里,由于我們發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)有限集之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,使得我們有可能將求一個(gè)有限集的元素個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求與之對(duì)等的另一個(gè)有限集元素的個(gè)數(shù)。

例2:如圖1,是一個(gè)城區(qū)的街道示意圖,問從A到B最近路線有幾種走法?

分析:所謂的最近走法,就是只按兩個(gè)方向走:向下(記作|)、向左(記作―)。顯然一種走法就對(duì)應(yīng)著“― ― ― ― | | | |”的一個(gè)排列,而它們的一個(gè)排列也同樣對(duì)應(yīng)著一種走法,是一個(gè)一一對(duì)應(yīng)。而排列的條件是8個(gè)位置選出4個(gè)(不區(qū)分)位置放“―”,剩下的安排“|”,共C種。

例3:集合S={1,2,…,16}的五元子集S1={a,a,a,a,a}中,任何兩元素之差不為1,這樣的子集S有多少個(gè)?

分析:由于S中的每個(gè)元素都在S中且任兩個(gè)之差不為1,不妨設(shè)a,a,a,a,a為上升排列,作子集S′={a,a-1,a-2,a-3,a-4},則S′與S一一對(duì)應(yīng),而S′是{1,2,…,12}的五元子集,故共有C個(gè)。

實(shí)際上,此問題等價(jià)于:有16名學(xué)生,其中女生5名,要排成一排,其中任何兩名女生不得相鄰,問共有多少種不同的排法?

對(duì)應(yīng)是人的思維對(duì)兩個(gè)集合間聯(lián)系的把握,對(duì)應(yīng)將各種類別、各種層次的對(duì)象聯(lián)系起來,呈現(xiàn)出它們之間某些相似或相同的屬性,使各種數(shù)學(xué)對(duì)象能夠相互結(jié)合、轉(zhuǎn)化。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該掌握對(duì)應(yīng)思想。

參考文獻(xiàn):

篇9

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般來說要經(jīng)歷概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的應(yīng)用(包括概念所涉及的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用)等階段,而學(xué)生對(duì)抽象性東西的理解、掌握卻是最困難的,特別是職高生,他們的思維能力較弱,認(rèn)知水平較低。所以,職高數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容,就是要想方設(shè)法創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景,克服概念的抽象性。

根據(jù)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的方式,結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),我們可以用下列幾種方法來創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景。

一、從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā),創(chuàng)設(shè)聯(lián)系實(shí)際的問題情景

因?yàn)閿?shù)學(xué)概念的產(chǎn)生、發(fā)展有各自不同的途徑,有的是直接從現(xiàn)實(shí)生活的模型中抽象出來的,所以,數(shù)學(xué)概念教學(xué)要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平,盡可能地模擬客觀實(shí)際情況,讓學(xué)生能從熟悉的生活、生產(chǎn)和其它活動(dòng)的實(shí)際問題中,經(jīng)歷由感性到理性、由實(shí)踐到認(rèn)識(shí)的過程,然后形成準(zhǔn)確、完整的概念。因此,教師提供給學(xué)生所學(xué)概念的直觀背景材料,顯然應(yīng)該是學(xué)生熟悉的,且是能從中親身體驗(yàn)思維加工過程的。

如在“角的概念的推廣”教學(xué)中,“推廣”的主要內(nèi)容是:從原有的0°―360°的角,推廣到正、負(fù)任意大、小的角。重點(diǎn)的、也是首先的,是解決正、負(fù)角問題。這一概念,可看成是原有0°―360°角內(nèi)部衍生出來的,但更多的成分可看成是實(shí)際現(xiàn)實(shí)模型中抽象出來的,因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)生活中普遍存在兩種方向相反的角。因此,本概念教學(xué)的設(shè)計(jì)重心是:著力選擇生活模型抽象出正、負(fù)角。

選擇什么模型呢?進(jìn)入我思考范圍的有:A例:時(shí)鐘的指針形成的角。B例:用扳手對(duì)螺帽擰緊、擰松形成的角。C例:醫(yī)院B超顯示屏上扇形面上掃描線,左轉(zhuǎn)與右轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)形成的角,等等。C例符合概念模型,但不為大多數(shù)學(xué)生所熟悉,非但不能較好地為概念教學(xué)服務(wù),而且要增加B超掃描屏幕的解釋,影響教學(xué)進(jìn)程,不取為好。A例雖然能演示相反方向的角,但缺乏現(xiàn)實(shí)生活意義,不足以說明正、負(fù)角引進(jìn)的必要性,也不可取。B例事例簡(jiǎn)單、鮮明、突出、有真實(shí)感,在擰緊、擰松中,學(xué)生易感知兩種相反方向角的形成,是一個(gè)好例子。

這里,學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)是正、負(fù)數(shù)引進(jìn)中的原有認(rèn)識(shí):用正、負(fù)區(qū)分具有相反意義的兩個(gè)量,即對(duì)正、負(fù)數(shù)產(chǎn)生的認(rèn)識(shí)。學(xué)生在感知扳手對(duì)螺帽的擰緊、擰松過程中,能較好地認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中是有兩種不同方向的角,并且原有的記述方法已經(jīng)不能區(qū)分出這兩種角。在此基礎(chǔ)上,我設(shè)計(jì)以下問題進(jìn)行教學(xué):

1.怎樣區(qū)分這兩種不同方向的角呢?

2.你遇到過類似的兩種相反意義的量的問題嗎?

3.它是如何解決的呢?能用它的方法解決本問題嗎?

如此,順利地進(jìn)行角的概念的推廣教學(xué)。

二、回顧已有概念的擴(kuò)展過程,創(chuàng)設(shè)再擴(kuò)展概念的問題情景

有些數(shù)學(xué)概念是已有概念的擴(kuò)展,若能揭示已有概念的擴(kuò)展規(guī)律,便可以水到渠成的引入新概念。

如復(fù)數(shù)概念的教學(xué),先回顧已經(jīng)歷過的幾次數(shù)集擴(kuò)展的事實(shí):引進(jìn)負(fù)數(shù)數(shù)集擴(kuò)展到有理數(shù),引進(jìn)無理數(shù)數(shù)集擴(kuò)展到實(shí)數(shù)。后提出問題:

1.這些數(shù)集擴(kuò)展的原因及其規(guī)律如何?(實(shí)際問題的需要使得在已有的數(shù)集內(nèi)有些運(yùn)算無法進(jìn)行)

數(shù)集的擴(kuò)展過程體現(xiàn)了如下規(guī)律:

(1)每次擴(kuò)展都增加規(guī)定了新的元素;

(2)在原數(shù)集內(nèi)成立的運(yùn)算規(guī)律,在新數(shù)集內(nèi)仍然成立;

(3)每次擴(kuò)展后的新數(shù)集里能解決原數(shù)集不能解決的問題。

有了上述準(zhǔn)備后,教師提出問題:負(fù)數(shù)不能開平方的事實(shí)說明實(shí)數(shù)集不夠完善,因而提出將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充為一個(gè)更為完整的數(shù)集的必要性。那么,怎樣解決這個(gè)問題呢?

2.借鑒上述規(guī)律,為了擴(kuò)充實(shí)數(shù)集,引入新元素i,并作相關(guān)的規(guī)定,這樣學(xué)生對(duì)i的引入就不會(huì)感到疑惑,對(duì)復(fù)數(shù)集概念的建立也不會(huì)覺得突然,使思維很自然地步入知識(shí)發(fā)生和形成的軌道中,順利地進(jìn)行算數(shù)概念的擴(kuò)展,同時(shí)為概念的理解和進(jìn)一步研究奠定基礎(chǔ)。

三、引導(dǎo)新、舊概念對(duì)比,創(chuàng)設(shè)概念間遷移的問題情景

學(xué)生感知和理解事物的一般方式是由學(xué)生的已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)來決定的。新的概念不是被同化到現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,就是改造這個(gè)現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)以接納新概念。所以,在概念教學(xué)中,教師要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)。許多數(shù)學(xué)概念間存在著一定的聯(lián)系,教師若能將新舊概念間的聯(lián)系點(diǎn)設(shè)計(jì)成問題情景,引導(dǎo)學(xué)生將新的概念轉(zhuǎn)化為已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念,建立起新舊概念間的聯(lián)系,便可以使學(xué)生牢固地掌握新的概念。

四、通過具體實(shí)驗(yàn),創(chuàng)設(shè)概念直觀化模型的問題情景

篇10

sinx是對(duì)邊比斜邊。sinx函數(shù)，即正弦函數(shù)，三角函數(shù)的一種。正弦函數(shù)是三角函數(shù)的一種。對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)x都對(duì)應(yīng)著唯一的角（弧度制中等于這個(gè)實(shí)數(shù)），而這個(gè)角又對(duì)應(yīng)著唯一確定的正弦值sinx，這樣，對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)x都有唯一確定的值sinx與它對(duì)應(yīng)，按照這個(gè)對(duì)應(yīng)法則所建立的函數(shù)，表示為y=sinx，叫做正弦函數(shù)。

函數(shù)（function）的定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義，函數(shù)的兩個(gè)定義本質(zhì)是相同的，只是敘述概念的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，而近代定義是從集合、映射的觀點(diǎn)出發(fā)。函數(shù)的近代定義是給定一個(gè)數(shù)集A，假設(shè)其中的元素為x，對(duì)A中的元素x施加對(duì)應(yīng)法則f，記作f（x），得到另一數(shù)集B，假設(shè)B中的元素為y，則y與x之間的等量關(guān)系可以用y=f（x）表示，函數(shù)概念含有三個(gè)要素：定義域A、值域B和對(duì)應(yīng)法則f。其中核心是對(duì)應(yīng)法則f，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征。

（來源：文章屋網(wǎng) ）