摘要：高等數(shù)學(xué)是高等職業(yè)教育必修的基礎(chǔ)課，其理論基礎(chǔ)和思想方法不僅為專業(yè)課學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ)，還是技能發(fā)展的支撐工具。高等數(shù)學(xué)在高素質(zhì)技能型人才的培養(yǎng)方面占據(jù)非常重要的地位。微積分教學(xué)作為高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要模塊，其教學(xué)成效重要性不言而喻。本文對(duì)微積分的教學(xué)進(jìn)行研究，探討微積分的案例教學(xué)如何實(shí)現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：教學(xué)成效;微分學(xué);積分學(xué);案例教學(xué)

高職院校以培養(yǎng)高素質(zhì)技術(shù)型人才為主要方向的高等教育目的，其在課程設(shè)置需要依照高等職業(yè)院校學(xué)生的特點(diǎn)和專業(yè)需要。高等數(shù)學(xué)的教學(xué)展開(kāi)情況直接影響了技術(shù)型人才的技能素養(yǎng)和終身發(fā)展的需求。

一、發(fā)展簡(jiǎn)史

微積分的發(fā)展體現(xiàn)著人類認(rèn)識(shí)是感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程。早期萌芽時(shí)期始于公元前七世紀(jì)上半頁(yè)，表現(xiàn)為對(duì)圖形的長(zhǎng)度，面積和體積的研究，比如窮竭法，割圓術(shù)等都體現(xiàn)了微積分思維的雛形。發(fā)展成型于十七世紀(jì)，此時(shí)科學(xué)的理論研究著力于速率、極值、切線等問(wèn)題，特別是描述運(yùn)動(dòng)與變化的無(wú)限小算法等，后來(lái)，牛頓和萊布尼茨各自獨(dú)立地提出微積分系統(tǒng)的理論，使得微積分成為一門數(shù)學(xué)學(xué)科。自此以后，連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、無(wú)窮小以及函數(shù)收斂等得到一系列數(shù)學(xué)家的繼續(xù)深化研究和改善，微積分建立在牢固的理論基礎(chǔ)上。初等數(shù)學(xué)無(wú)法解決的問(wèn)題隨著微積分理論迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡魅力。

二、教學(xué)案例的設(shè)計(jì)

摘要：微積分對(duì)于大多數(shù)的獨(dú)立院校財(cái)經(jīng)類學(xué)生而言，是一門比較抽象的課程，沒(méi)有直觀性的理解，學(xué)習(xí)起來(lái)具有一定的難度，而建模是將知識(shí)加以利用從而解決實(shí)際問(wèn)題，因此建模對(duì)學(xué)生的微積分學(xué)習(xí)具有一定的促進(jìn)作用，可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并且加深對(duì)知識(shí)的理解及應(yīng)用，論文就兩者之間的融合進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：微積分；數(shù)學(xué)建模

當(dāng)今部分獨(dú)立院校致力于培養(yǎng)學(xué)生為應(yīng)用型人才，使學(xué)生通過(guò)本科階段的學(xué)習(xí)培養(yǎng)，具有一定的綜合能力與知識(shí)素養(yǎng)，能夠在管理、生產(chǎn)服務(wù)建設(shè)等方面具有持續(xù)發(fā)展能力的應(yīng)用型人才。對(duì)于獨(dú)立院校經(jīng)管類學(xué)生來(lái)說(shuō)，微積分是一門重要的基礎(chǔ)類課程，與后續(xù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)、專業(yè)課程的學(xué)習(xí)是緊密相關(guān)的。因此需要學(xué)好微積分來(lái)為其他學(xué)科的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。微積分具有較強(qiáng)理論性，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，內(nèi)容抽象等特征，對(duì)于獨(dú)立經(jīng)管院校的學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)起來(lái)會(huì)有些吃力，晦澀難懂，往往存在生搬硬套，只會(huì)套用公式做題，知其然而不知其所以然。對(duì)于獨(dú)立院校，需要教師在教學(xué)過(guò)程中，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的深入理解，盡量做到學(xué)以致用，從而有利于學(xué)生的后續(xù)發(fā)展，為實(shí)現(xiàn)將學(xué)生培養(yǎng)為應(yīng)用型人才而打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)建模是通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的觀察分析、在一定的設(shè)定條件下，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行抽象簡(jiǎn)化，通過(guò)設(shè)定變量與參數(shù)，利用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)變量間的關(guān)系，然后需要運(yùn)用數(shù)學(xué)或者統(tǒng)計(jì)等相關(guān)軟件對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行近似求解，最后通過(guò)求解的結(jié)果來(lái)解釋、驗(yàn)證或者預(yù)測(cè)某些現(xiàn)象與問(wèn)題。下面對(duì)數(shù)學(xué)建模思想在微積分教學(xué)中的作用進(jìn)行探討。

一、數(shù)學(xué)建模思想在微積分教學(xué)中的作用

數(shù)學(xué)建模能夠較好的培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用理解能力，同時(shí)提升學(xué)生的創(chuàng)造能力。因此，將數(shù)學(xué)建模思想融入微積分課程課程的教學(xué)中，是一件非常有意義的事，下面來(lái)具體進(jìn)行介紹：（一）增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣獨(dú)立院校經(jīng)管專業(yè)的學(xué)生，一般數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱，在授課過(guò)程中如果全程貫穿抽象的理論與計(jì)算，學(xué)生更會(huì)覺(jué)得學(xué)習(xí)枯燥乏味，從而對(duì)微積分的學(xué)習(xí)提不起興趣。數(shù)學(xué)一般具有銜接性非常強(qiáng)的特點(diǎn)，而微積分的學(xué)習(xí)通常需要兩個(gè)學(xué)期，學(xué)生如果中間有幾節(jié)課落下，就會(huì)對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生較大的影響，甚至影響整門課程學(xué)習(xí)效果。所以，在教學(xué)過(guò)程中，融入一些生活中的實(shí)際例子，然后利用微積分方法進(jìn)行恰當(dāng)?shù)慕鉀Q，會(huì)使學(xué)生覺(jué)得微積分沒(méi)有那么晦澀難懂，抽象乏味，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)的興趣。（二）加深對(duì)知識(shí)的理解與提高對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力在授課過(guò)程中，通過(guò)融入適當(dāng)?shù)膽?yīng)用模型，可以幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的深入理解。比如，在學(xué)習(xí)兩個(gè)重要極限的知識(shí)之后，利用極限來(lái)計(jì)算復(fù)利，然后讓學(xué)生在課下查資料，分成小組討論，對(duì)房貸中的等額本息與等額本金兩種貸款方式的進(jìn)行理解計(jì)算，課上教師再加以進(jìn)一步的講解，這樣可以加深學(xué)生對(duì)極限的理解與應(yīng)用。在學(xué)習(xí)微分時(shí)，可以讓學(xué)生對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一些問(wèn)題進(jìn)行近似計(jì)算，在這個(gè)過(guò)程中，既使得學(xué)生理解了微分的意義，又促進(jìn)了學(xué)生對(duì)為微分的應(yīng)用能力的提升。

二、建模思想融入微積分教學(xué)的途徑

摘要：微積分作為數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ),是學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)學(xué)的必備知識(shí),著重討論了微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中最基本的一些應(yīng)用，計(jì)算邊際成本、邊際收入、邊際利潤(rùn)并解釋其經(jīng)濟(jì)意義,尋求最小生產(chǎn)成本或制定獲得最大利潤(rùn)的一系列策略。

關(guān)鍵詞：微積分；邊際分析；彈性；成本；收入；利潤(rùn)；最大值；最小值

1導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

1.1邊際分析在經(jīng)濟(jì)分析中的的應(yīng)用

1.1.1邊際需求與邊際供給

設(shè)需求函數(shù)Q=f（p）在點(diǎn)p處可導(dǎo)（其中Q為需求量，P為商品價(jià)格），則其邊際函數(shù)Q’=f’(p)稱為邊際需求函數(shù)，簡(jiǎn)稱邊際需求。類似地，若供給函數(shù)Q=Q(P)可導(dǎo)（其中Q為供給量，P為商品價(jià)格），則其邊際函數(shù)Q=Q(p)稱為邊際供給函數(shù)，簡(jiǎn)稱邊際供給。

摘要:文章主要探討了牛頓和萊布尼茲所處的時(shí)代背景以及他們的哲學(xué)思想對(duì)其創(chuàng)立廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域的基本數(shù)學(xué)工具———微積分的影響。

關(guān)鍵詞:牛頓;萊布尼茲;微積分;哲學(xué)思想

今天,微積分已成為基本的數(shù)學(xué)工具而被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。恩格斯說(shuō)過(guò):“在一切理論成就中,未有象十七世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了,如果在某個(gè)地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績(jī),那就正是在這里?！盵1](p.244)本文試從牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立“被看作人類精神的最高勝利”的微積分的時(shí)代背景及哲學(xué)思想對(duì)其展開(kāi)剖析。

一、牛頓所處的時(shí)代背景及其哲學(xué)思想

“牛頓(IsaacNewton,1642-1727)1642年生于英格蘭。⋯⋯,1661年,入英國(guó)劍橋大學(xué),1665年,倫敦流行鼠疫,牛頓回到鄉(xiāng)間,終日思考各種問(wèn)題,運(yùn)用他的智慧和數(shù)年來(lái)獲得的知識(shí),發(fā)明了流數(shù)術(shù)(微積分)、萬(wàn)有引力和光的分析?！盵2](p.155)

1665年5月20日,牛頓的手稿中開(kāi)始有“流數(shù)術(shù)”的記載?！读鲾?shù)的介紹》和《用運(yùn)動(dòng)解決問(wèn)題》等論文中介紹了流數(shù)(微分)和積分,以及解流數(shù)方程的方法與積分表。1669年,牛頓在他的朋友中散發(fā)了題為《運(yùn)用無(wú)窮多項(xiàng)方程的分析學(xué)》的小冊(cè)子,在這里,牛頓不僅給出了求一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的瞬時(shí)變化率的普遍方法,而且證明了面積可以由求變化率的逆過(guò)程得到。因?yàn)槊娣e也是用無(wú)窮小面積的和來(lái)表示從而獲得的。所以牛頓證明了這樣的和能由求變化率的逆過(guò)程得到(更精確地說(shuō),和的極限能夠由反微分得到),這個(gè)事實(shí)就是我們現(xiàn)在所講的微積分基本定理。這里“,牛頓使用的是無(wú)窮小方法,把變量的無(wú)限小增量叫做“瞬”,瞬是無(wú)窮小量,是不可分量,或是微元,牛頓通過(guò)舍棄“瞬”求得變化率?！盵3](p.199)1671年牛頓將他關(guān)于微積分研究的成果整理成《流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)》(1736),在這里,他認(rèn)為變量是連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的,他把變量叫做流,變量的變化率叫做流數(shù)。牛頓更清楚地陳述了微積分的基本問(wèn)題:已知兩個(gè)流之間的關(guān)系,求它們流數(shù)之間的關(guān)系,以及它的逆問(wèn)題?！读鲾?shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)》是一部較完整的微積分著作。書的后半部分通過(guò)20個(gè)問(wèn)題廣泛地介紹了流數(shù)法各無(wú)窮級(jí)數(shù)的應(yīng)用。1676年,牛頓寫出了《求曲邊形的面積》(1704),在這里,牛頓的微積分思想發(fā)生了重大變化,他放棄了微元或無(wú)窮小量,而采用了最初比和最后比的方法。

【摘要】大學(xué)物理是本科院校理工科學(xué)生的主要必修課程。研究微積分在力學(xué)中的主要應(yīng)用，幫助學(xué)生重視微積分理論與技能學(xué)習(xí)，提升物理學(xué)習(xí)效果，同時(shí)對(duì)數(shù)理教學(xué)活動(dòng)提供一點(diǎn)參考。

【關(guān)鍵詞】微積分;導(dǎo)數(shù);微分;積分

一、導(dǎo)數(shù)在力學(xué)中的應(yīng)用

（一）根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義

假設(shè)一元函數(shù)在某點(diǎn)一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)給該點(diǎn)以增量（仍在同鄰域）時(shí)函數(shù)產(chǎn)生相應(yīng)增量。若函數(shù)增量與自變量增量比值，在自變量增量趨于零時(shí)的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).又稱函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)。

（二）導(dǎo)數(shù)在力學(xué)中的應(yīng)用

一、微積分在數(shù)學(xué)教育中的必要性

隨著社會(huì)的不斷發(fā)展，微積分及其相關(guān)知識(shí)應(yīng)用越來(lái)越廣泛。新課改也要求將微積分加入到教學(xué)中來(lái)，其必要性是因?yàn)樗鼘?duì)很多學(xué)科、專業(yè)都有重要影響。同時(shí)，隨著微積分對(duì)于現(xiàn)代生活的影響越來(lái)越廣泛，微積分成為教學(xué)內(nèi)容也可以說(shuō)是社會(huì)對(duì)教育的要求。是社會(huì)發(fā)展的必然趨勢(shì)?？茖W(xué)技術(shù)發(fā)展的越快，數(shù)學(xué)的應(yīng)用也越來(lái)越多，從而對(duì)數(shù)學(xué)的要求也會(huì)越來(lái)越高。這就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)教學(xué)產(chǎn)生影響，教學(xué)的內(nèi)容會(huì)相應(yīng)的隨著社會(huì)需求而改變。為了滿足科技對(duì)人才的需要，教學(xué)內(nèi)容就會(huì)增加新知識(shí)，以此適應(yīng)時(shí)代的發(fā)展。例如，網(wǎng)絡(luò)知識(shí)的增加、概率統(tǒng)計(jì)學(xué)以及微積分知識(shí)的加入，都是為了社會(huì)的發(fā)展而加入到教學(xué)中的。如今我們所面對(duì)的世界已經(jīng)進(jìn)入了信息時(shí)代，為了適應(yīng)新時(shí)代的發(fā)展，微積分自然而然的就進(jìn)入了高中教學(xué)中。高中作為我國(guó)基礎(chǔ)教育的最后階段，有著十分重要的作用。微積分之所以出現(xiàn)在高中也是為了推動(dòng)可持續(xù)發(fā)展。無(wú)論高中畢業(yè)后是否繼續(xù)學(xué)習(xí)，微積分都會(huì)在以后的生活中起到積極作用。對(duì)于大學(xué)生來(lái)說(shuō)，高中的微積分教育是繼續(xù)深造的基礎(chǔ)；對(duì)于將要開(kāi)始工作的學(xué)生來(lái)說(shuō)微積分對(duì)新知識(shí)的掌握也有很大幫助?？傊?，在現(xiàn)代社會(huì)微積分是一項(xiàng)重要的基礎(chǔ)知識(shí)。微積分的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生思維的發(fā)展有著積極的影響。微積分中的以“直”代“曲”、以“局部”研究“整體”，從“有限”認(rèn)識(shí)“無(wú)限”等思想，都是初等數(shù)學(xué)中從未涉及的。這些思想和方法有利于學(xué)生形成辯證邏輯思維，對(duì)學(xué)生的跳躍性思維有重要影響。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育對(duì)人的思維的影響。這種從直到曲，從局部到整體，從有限到無(wú)限的思維認(rèn)識(shí)，會(huì)成為學(xué)生在學(xué)習(xí)生涯中得到的寶貴知識(shí)。

二、微積分在數(shù)學(xué)教育中的價(jià)值

通過(guò)微積分的課程，可以加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)教育的嚴(yán)謹(jǐn)性，從而達(dá)到優(yōu)化教學(xué)的作用。鍛煉學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，提升他們應(yīng)對(duì)問(wèn)題時(shí)的反應(yīng)能力，也會(huì)使學(xué)生不自覺(jué)的用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題。微積分的教育價(jià)值體現(xiàn)在，兼顧不同層次的學(xué)生要，對(duì)不同的層次研究不同的教法，準(zhǔn)確把握不同階段的學(xué)生對(duì)微積分知識(shí)的掌握情況做好定位。在數(shù)學(xué)教育中，嚴(yán)謹(jǐn)、精確是其最大的特點(diǎn)。而利用微積分相關(guān)的知識(shí)可以增加數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。同時(shí)，它還可以使高中階段的一些繁瑣的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，能夠輕易的解決難題，解題步驟也會(huì)讓人眼前一亮?？梢?jiàn)微積分知識(shí)擴(kuò)展了數(shù)學(xué)教學(xué)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)解題的多樣性思維的鍛煉。微積分對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題和鍛煉思維能力方面有重要作用。微積分會(huì)通過(guò)大量的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和具體的實(shí)際案例所得出一些概念。例如通過(guò)研究增長(zhǎng)率、膨脹率、效率、密度、速度等反映導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的實(shí)例，用來(lái)引導(dǎo)學(xué)生感受由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，了解瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，感受微積分在研究函數(shù)和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，體會(huì)微積分的思想及其內(nèi)涵。微積分還有助于幫助學(xué)生解決一些實(shí)際生活中存在的問(wèn)題，對(duì)于相關(guān)學(xué)科的理解學(xué)習(xí)也有幫助，從而開(kāi)發(fā)學(xué)生在解決問(wèn)題方面的能力，為學(xué)生解決問(wèn)題積累經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)。同時(shí)，鍛煉思維能力，也是微積分進(jìn)入數(shù)學(xué)教育的目的之一。微積分中包含有重要的數(shù)學(xué)思想和解題的思維方法，這些思想和方法會(huì)促進(jìn)學(xué)生辯證邏輯思維的形成。掌握了微積分的知識(shí)，更有利于學(xué)生從微積分的高度重新的角度認(rèn)識(shí)初等數(shù)學(xué)中的知識(shí)，這會(huì)加深學(xué)生的理解，更利于掌握初等數(shù)學(xué)，更明確清晰地了解其知識(shí)內(nèi)容。同時(shí)，有利于加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的體驗(yàn)，無(wú)論是初等數(shù)學(xué)知識(shí)還是高等數(shù)學(xué)知識(shí)他們都是有統(tǒng)一性存在的。通過(guò)學(xué)習(xí)這種更加靈活的思維模式，提高學(xué)生的思維能力。

三、微積分的作用以及對(duì)數(shù)學(xué)教育的影響

微積分的出現(xiàn)可以說(shuō)推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展速度。微積分讓數(shù)學(xué)更生動(dòng)，例如，微積分對(duì)于描述運(yùn)動(dòng)的事物有幾大幫助，可以描述變化的過(guò)程。甚至可以說(shuō)，數(shù)學(xué)界因微積分的出現(xiàn)而發(fā)生了改變。微積分的出現(xiàn)不單單是推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)開(kāi)創(chuàng)了許多新的數(shù)學(xué)分支，例如：微分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)、離散數(shù)學(xué)等等。這些新的分支不斷地推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)教育中，微積分的不斷創(chuàng)新更利于學(xué)生在思維方面的不斷創(chuàng)新。使得數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)增添了更多的趣味性。微積分還對(duì)其他一些相關(guān)學(xué)科有促進(jìn)作用。由于數(shù)學(xué)本就是工具學(xué)科，對(duì)自然學(xué)科等發(fā)展都有重要影響。對(duì)物理學(xué)的影響更是不言而喻，很多的物理學(xué)問(wèn)題都要靠微積分作答。偉大的牛頓就是用微積分學(xué)及微分方程從萬(wàn)有引力定律導(dǎo)出了開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律。除此之外還有很多就不一一列舉了。不可否認(rèn)微積分的出現(xiàn)對(duì)社會(huì)和科學(xué)都有巨大貢獻(xiàn)。而微積分在教育中的作用同樣不可忽視，微積分的出現(xiàn)是對(duì)數(shù)學(xué)教育的推動(dòng)。它讓數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容更豐富，在教學(xué)中更具實(shí)用性。它使得數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系的更緊密，更靈活，著更有助于加深高中生對(duì)微積分的印象和興趣。讓微積分不知不覺(jué)滲透到他們的生活與學(xué)習(xí)中。微積分對(duì)于研究變化規(guī)律十分有幫助，因此只要涉及到與變化有關(guān)的學(xué)科都可以用到微積分。在人類發(fā)展的進(jìn)程中微積分做出了舉足輕重的貢獻(xiàn)。如今，微積分更是被應(yīng)用到各個(gè)行業(yè)，無(wú)論是社會(huì)還是經(jīng)濟(jì)的變化由于微積分有著不可分割的聯(lián)系。此外，微積分還參與著人們的日常生活，以及各種科技工程等。微積分在高中教學(xué)中出現(xiàn)，對(duì)于為國(guó)家輸送人才有很大幫助。這就體現(xiàn)了微積分在高中數(shù)學(xué)中的存在價(jià)值，雖然暫時(shí)來(lái)說(shuō)微積分教育并不成熟，仍然存在很多不足，但綜上所述，微積分教育在高中數(shù)學(xué)教育中出現(xiàn)時(shí)有必要的。

摘要:2017版新課標(biāo)對(duì)高中微積分的內(nèi)容和要求做出了較大調(diào)整，使得在微積分教學(xué)時(shí)遇到了一定困難。本文以新課標(biāo)為出發(fā)點(diǎn)，歸納新課標(biāo)中關(guān)于微積分的內(nèi)容和要求的主要變化，揭示現(xiàn)階段高中生在學(xué)習(xí)微積分中存在的問(wèn)題，并針對(duì)這些問(wèn)題提出具體的教學(xué)建議和策略，為新課標(biāo)背景下高中微積分的教學(xué)提供一定思考和改革策略。

關(guān)鍵詞:新課程標(biāo)準(zhǔn)；微積分；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)

隨著課程標(biāo)準(zhǔn)的不斷改革，微積分在高中階段越來(lái)越受到重視。教育部頒布《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱新課標(biāo)），對(duì)微積分的教學(xué)提出了更高的要求。事實(shí)上，微積分中所蘊(yùn)含的美育價(jià)值、思維價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，對(duì)高中生辯證思維的發(fā)展、解題思路的拓展和后續(xù)學(xué)習(xí)都有著十分重要的影響。因此，在新課標(biāo)下，高中微積分教學(xué)成為數(shù)學(xué)教師亟需思考和研究的新課題。微積分在高中數(shù)學(xué)中經(jīng)歷了多次改革，廣大數(shù)學(xué)教育工作者針對(duì)歷次改革的新內(nèi)容、新要求，對(duì)高中微積分教學(xué)提出了許多建議。如孟季和［1］在《中學(xué)微積分教材教法》中，對(duì)適應(yīng)1978年教學(xué)大綱改革的微積分教學(xué)的教法進(jìn)行了探討；楊鐘玄［2］根據(jù)新《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》的改革情況，結(jié)合當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)課本弊端，提出要將數(shù)列極限的定義由抽象的“ε－N”符號(hào)語(yǔ)言改成更為直觀語(yǔ)言的建議；匡繼昌［3］尖銳地指出教學(xué)大綱刪去極限內(nèi)容的錯(cuò)誤性，并表示這種無(wú)極限的導(dǎo)數(shù)模式不是創(chuàng)新，而是一種退步；李倩等［4］對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中所列出的高中微積分內(nèi)容從教學(xué)價(jià)值、教學(xué)實(shí)施方面進(jìn)行了不同的探討，認(rèn)為高中微積分教學(xué)要充分體現(xiàn)高中微積分和大學(xué)微積分對(duì)學(xué)生的不同要求，不能讓學(xué)生產(chǎn)生對(duì)運(yùn)用微積分知識(shí)過(guò)度依賴的心理。因此，高中課程改革中微積分教學(xué)方法研究一直是數(shù)學(xué)教師教學(xué)研究的熱點(diǎn)課題。另一方面，雖然我國(guó)數(shù)學(xué)教育工作者關(guān)于高中微積分教學(xué)研究較為廣泛，但是在新課標(biāo)框架下，探討高中微積分教學(xué)的研究卻不多。本文首先總結(jié)歸納新課標(biāo)中微積分內(nèi)容及其要求變化，然后剖析高中生學(xué)習(xí)微積分普遍存在的問(wèn)題，最后有針對(duì)性地提出在新課標(biāo)背景下高中微積分教學(xué)的幾點(diǎn)策略。

1新課標(biāo)中微積分內(nèi)容和要求的變化

新課標(biāo)對(duì)于微積分內(nèi)容和要求做出了較大調(diào)整，尤其是對(duì)于理工科學(xué)生，其在內(nèi)容的難度、深度、廣度以及學(xué)習(xí)目標(biāo)等方面都有很大的提高。表1以新課標(biāo)A類為例，比較了其與2003年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》的異同。經(jīng)過(guò)比較和分析，新標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于微積分的變化可歸納為以下三個(gè)方面：1．1注重與大學(xué)數(shù)學(xué)的接軌。在2003版的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，考慮到高中生的認(rèn)知水平，當(dāng)時(shí)我國(guó)高中數(shù)學(xué)涉及微積分的知識(shí)無(wú)論是從內(nèi)容的深度、廣度和難度上都較為淺顯。在世界范圍內(nèi)，相對(duì)于其他發(fā)達(dá)國(guó)家和部分地區(qū)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中有關(guān)微積分內(nèi)容，我國(guó)高中數(shù)學(xué)微積分內(nèi)容的難度排名也相對(duì)靠后［5］。從表1可看出，新課標(biāo)在微積分內(nèi)容和結(jié)構(gòu)上作出了調(diào)整。在內(nèi)容上，數(shù)列極限、函數(shù)極限、連續(xù)函數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、定積分的理論知識(shí)部分有明顯的擴(kuò)充和具體要求。在結(jié)構(gòu)上，逾越極限直接通過(guò)大量的實(shí)例來(lái)理解導(dǎo)數(shù)的概念，修改為先學(xué)極限，再?gòu)臉O限的基礎(chǔ)上給出導(dǎo)數(shù)這一數(shù)學(xué)定義，該教學(xué)結(jié)構(gòu)與大學(xué)微積分基本一致。另外，新課標(biāo)改善了高中和大學(xué)微積分內(nèi)容的斷點(diǎn)問(wèn)題，在知識(shí)的建構(gòu)上逐步與大學(xué)微積分接軌，其課程的連貫性和延續(xù)性得到進(jìn)一步增強(qiáng)。1．2注重?cái)?shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言是一種簡(jiǎn)潔、高效的思考與表達(dá)方式［6］。一直以來(lái)，關(guān)于是否在高中階段引入極限符號(hào)語(yǔ)言一直存在爭(zhēng)議。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）解讀》中明確指出高中學(xué)習(xí)極限的弊端：若按照先學(xué)極限再學(xué)導(dǎo)數(shù)的順序，極限的抽象概念會(huì)對(duì)理解導(dǎo)數(shù)思想和本質(zhì)產(chǎn)生不利影響［7］。也有不少數(shù)學(xué)教育學(xué)者指出，高中極限內(nèi)容的刪減只會(huì)對(duì)學(xué)生理解微積分會(huì)產(chǎn)生障礙。新課標(biāo)再一次增設(shè)了極限內(nèi)容，對(duì)極限內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求由了解上升到理解的層面，不僅給出了極限的數(shù)學(xué)符號(hào)定義，并且要求學(xué)生掌握極限的相關(guān)性質(zhì)及其證明。此外，有關(guān)連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分的概念，新課標(biāo)也都給出了嚴(yán)格的定義和證明，這充分體現(xiàn)了新課標(biāo)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的表達(dá)能力的重視。1．3注重微積分的實(shí)際應(yīng)用。微積分是研究現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是解決其他領(lǐng)域技術(shù)的重要工具。新課標(biāo)更加強(qiáng)調(diào)借助幾何直觀和物理實(shí)際背景來(lái)引入微積分思想，并且對(duì)微積分的實(shí)際應(yīng)用能力提出了更高的要求。事實(shí)上，微積分在研究數(shù)學(xué)的函數(shù)變化、物理學(xué)的物體變速運(yùn)動(dòng)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)的生產(chǎn)優(yōu)化等問(wèn)題中起到關(guān)鍵作用。如在初等數(shù)學(xué)中，學(xué)生對(duì)于曲邊圖形面積和旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算往往倍感無(wú)從下手，但從微積分的極限思想出發(fā)，將曲邊圖形和旋轉(zhuǎn)體劃分為無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)限小的面積微元和體積微元，再近似求和，便能有效地推導(dǎo)出曲邊圖形和旋轉(zhuǎn)體積的求解公式。又如在物理的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題中，對(duì)于常見(jiàn)的勻速直線運(yùn)動(dòng)等簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)形式，學(xué)生往往能得心應(yīng)手，而對(duì)于變速直線運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，很多學(xué)生往往一籌莫展，但如果使用微積分工具便能很好地解決［8］。由此可見(jiàn)，提升微積分的實(shí)際應(yīng)用能力是適應(yīng)新時(shí)代數(shù)學(xué)教育發(fā)展，培養(yǎng)應(yīng)用型人才的有效手段。

2高中生學(xué)習(xí)微積分存在的問(wèn)題

摘要：《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》指出，全面推進(jìn)高校課程思政建設(shè)是落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的戰(zhàn)略舉措。微積分課程思政的實(shí)施在于教師的引導(dǎo)和挖掘，教師在教學(xué)中堅(jiān)持以學(xué)生為中心，做好頂層設(shè)計(jì)，實(shí)施寓教于樂(lè)，做到教書育人兩手抓，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)的同時(shí)，樹(shù)立正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀。該文通過(guò)微積分知識(shí)點(diǎn)與課程思政元素的結(jié)合，實(shí)現(xiàn)微積分課程思政的有效開(kāi)展。

關(guān)鍵詞：微積分；課程思政；教書育人

微積分作為一門典型的理工科專業(yè)基礎(chǔ)課程，對(duì)后續(xù)課程和專業(yè)學(xué)習(xí)至關(guān)重要。正如李克強(qiáng)總理在2021年全國(guó)兩會(huì)上對(duì)青年學(xué)生說(shuō)的幾句話：“不管你們將來(lái)從事什么職業(yè)、有什么樣的志向，一定要注意加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)，打牢基本功和培育創(chuàng)新能力是并行不悖的，樹(shù)高千尺，營(yíng)養(yǎng)還在根部。把基礎(chǔ)打牢，將來(lái)就可以旁通，行行都可以寫出精彩”[2]。而微積分恰好就是這樣的一門基礎(chǔ)課。作為理、工、經(jīng)、管、文、法各專業(yè)的通識(shí)教育必修課，微積分是一門學(xué)時(shí)長(zhǎng)、課時(shí)緊、內(nèi)容多、知識(shí)難的基礎(chǔ)課程。如何結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，使微積分課堂教學(xué)與思想政治理論教學(xué)同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)，實(shí)現(xiàn)全程、全方位育人的新理念呢？本文從以下幾個(gè)方面進(jìn)行了探索：

1微積分課程思政的實(shí)施對(duì)教師的要求迫在眉睫

1.1專任教師正確認(rèn)識(shí)開(kāi)展課程思政的必要性和緊迫性

2021年年初，一個(gè)網(wǎng)名叫“離燈冬眠”的25歲女生，因?yàn)橛螒驒C(jī)被母親砸爛，選擇自殺離開(kāi)這個(gè)世界，在遺書中說(shuō)游戲是她人生唯一的追求和樂(lè)趣，失去了游戲就失去了人生的樂(lè)趣，這樣的案例讓教育工作者不得不思考，我們現(xiàn)在培養(yǎng)的部分大學(xué)生，專業(yè)知識(shí)有了，但是世界觀、人生觀、價(jià)值觀嚴(yán)重偏離人生正確的軌道，大學(xué)畢業(yè)就失去了人生目標(biāo)和崇高理想。因此，在專業(yè)教學(xué)中開(kāi)展課程思政，幫助學(xué)生樹(shù)立正確的“三觀”，不但必要而且迫在眉睫。作為一名高校數(shù)學(xué)教師，不但要傳授數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)技能，還要通過(guò)課堂思政教會(huì)學(xué)生如何做人、做事，形成正確的“三觀”，摒棄“思政教育是思政教師的工作，思政教育跟數(shù)學(xué)教學(xué)沒(méi)有關(guān)系”的錯(cuò)誤思想，把課堂思政真正落到實(shí)處，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)的同時(shí)，接受思想政治教育，真正成長(zhǎng)為有理想、有信念的時(shí)代新人[3]。

一、符號(hào)邏輯：“通用數(shù)學(xué)語(yǔ)言”

萊布尼茨對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的最早探索和最初貢獻(xiàn)是試圖沿著笛卡爾和霍布斯的思路建構(gòu)所謂的“通用語(yǔ)言”。這種語(yǔ)言是一種用來(lái)代替自然語(yǔ)言的人工語(yǔ)言，它通過(guò)字母和符號(hào)進(jìn)行邏輯分析與綜合，把一般邏輯推理的規(guī)則改變?yōu)檠菟阋?guī)則，以便更精確更敏捷地進(jìn)行推理。（［1］，p．8）或者說(shuō)，“通用語(yǔ)言”是一套表達(dá)思想和事物的符號(hào)系統(tǒng)，利用這些符號(hào)可以進(jìn)行演算并推出各種知識(shí)。在《論組合術(shù)》中，二十歲的萊布尼茨曾立志要?jiǎng)?chuàng)設(shè)“一個(gè)一般的方法，在這個(gè)方法中所有推理的真實(shí)性都要簡(jiǎn)化為一種計(jì)算。同時(shí)，這會(huì)成為一種通用語(yǔ)言或文字，但與那些迄今為止設(shè)想出來(lái)的全然不同；因?yàn)樗锩娴姆?hào)甚至詞匯要指導(dǎo)推理；錯(cuò)誤，除去那些事實(shí)上的錯(cuò)誤，只會(huì)是計(jì)算上的錯(cuò)誤。形成或者發(fā)明這種語(yǔ)言或者記號(hào)會(huì)是非常困難的，但是可以不借助任何詞典就很容易懂得它?！保ǎ?］，p．123）在1679年9月8日給惠更斯的信中他又寫道，有一個(gè)“完全不同于代數(shù)的新符號(hào)語(yǔ)言，它對(duì)于精確而自然地在腦子里再現(xiàn)（不用圖形）依賴于想象的一切有很大的好處。……它的主要效用在于能夠通過(guò)記號(hào)〔符號(hào)〕的運(yùn)算完成結(jié)論和推理，這些記號(hào)不經(jīng)過(guò)非常精細(xì)的推敲或使用大量的點(diǎn)和線會(huì)把它們混淆起來(lái)，因而不得不作出無(wú)窮多個(gè)無(wú)用的試驗(yàn)；另一方面，這個(gè)方法會(huì)確切而簡(jiǎn)單地導(dǎo)向〔所需要的〕結(jié)果。我相信力學(xué)差不多可以象幾何學(xué)一樣用這種方法去處理?！保ǎ?］，p．151～152）

綜合萊布尼茨零零碎碎的設(shè)想，他的宏偉規(guī)劃大體旨在創(chuàng)造兩種工具：其一是通用語(yǔ)言，其二是推理演算（calaulusratiocinator）。前者的主要使命是消除現(xiàn)存語(yǔ)言的局限性和不規(guī)則性，使新語(yǔ)言變成世界上人人會(huì)用的具有簡(jiǎn)明符號(hào)、合理規(guī)則的語(yǔ)言，規(guī)定符號(hào)的演變規(guī)則與運(yùn)算規(guī)則，使邏輯演變依照一條明確的道路進(jìn)行下去，進(jìn)而解決所有可用語(yǔ)言表達(dá)的問(wèn)題。

為此，萊布尼茨做了兩方面的努力：一是尋找能夠代表所有概念并可認(rèn)作最根本的不可分析的符號(hào)；二是給出表述諸如斷定、合取、析取、否定、全稱、特殊、條件聯(lián)結(jié)等形式概念的設(shè)計(jì)。關(guān)于第一方面，萊布尼茨首次設(shè)想用數(shù)目代表原初概念，而邏輯演算則用如同算術(shù)中的乘或除來(lái)代替。他認(rèn)為用這種數(shù)字的不同方式排列組合，進(jìn)行各種運(yùn)算，就可產(chǎn)生無(wú)窮多的復(fù)合概念。這一思想后來(lái)改進(jìn)為以素?cái)?shù)代表基本概念，而復(fù)合詞項(xiàng)即可借分解相應(yīng)的數(shù)字成為它們的素?cái)?shù)因子來(lái)加以分析。以“人是理智動(dòng)物”為例，用素?cái)?shù)“3”代表“動(dòng)物”、“5”代表“理智”，則“人”即以“15＝3．5”代表。為了更好地構(gòu)設(shè)“通用語(yǔ)言”，萊布尼茨又以設(shè)想的“人類概念字母表”為語(yǔ)言詞匯基礎(chǔ)創(chuàng)制了一些邏輯符號(hào)，如“∪”（并）、“∩”（交）等，一直沿用下來(lái)。

關(guān)于第二方面，萊布尼茨的工作大致可以1679、1686、1690三個(gè)年代為標(biāo)志劃分為三個(gè)階段。（［4］，pp．271～273）

第一階段，萊布尼茨改進(jìn)從數(shù)字代替概念以其演算，代之以對(duì)普通命題經(jīng)驗(yàn)分析為基礎(chǔ)的代數(shù)邏輯。他以全稱肯定命題“a是b”的形式開(kāi)始，提出五條基本演算規(guī)則：（1）ab是ba（交換律）；（2）a是aa（重言律）；（3）a是a（同一原則）；（4）ab是a或ab是b（化簡(jiǎn)原則）；（5）如a是b且b是c，則a是c（傳遞原則）。以此為據(jù)，他證明了同一和包含兩個(gè)邏輯系詞之間的重要關(guān)系，即，如a是b且b是a，則a與b是同一的。進(jìn)而，他又提出四個(gè)定理：（1）如a是b且a是c，則a是bc；（2）如a是bc，則a是b且a是c；（3）如a是b，則ac是bc；（4）如a是b且c是d，則ac是bd。由此可見(jiàn)，萊布尼茨在第一階段的邏輯演算已相當(dāng)完善和科學(xué)化，為邏輯的系統(tǒng)化打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（1646～1716）對(duì)數(shù)學(xué)有兩項(xiàng)突出貢獻(xiàn)：發(fā)明了符號(hào)邏輯和微積分。由于這兩項(xiàng)成就分屬不同的數(shù)學(xué)分支，人們也往往將其看作萊布尼茨的兩種不同工作，忽視了它們之間的一致性，這為研究萊布尼茨的數(shù)學(xué)思想、完整地理解數(shù)學(xué)史和科學(xué)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律帶來(lái)不少困難。本文的目的就是試圖理解的揭示這種一致性。

一、符號(hào)邏輯：“通用數(shù)學(xué)語(yǔ)言”

萊布尼茨對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的最早探索和最初貢獻(xiàn)是試圖沿著笛卡爾和霍布斯的思路建構(gòu)所謂的“通用語(yǔ)言”。這種語(yǔ)言是一種用來(lái)代替自然語(yǔ)言的人工語(yǔ)言，它通過(guò)字母和符號(hào)進(jìn)行邏輯分析與綜合，把一般邏輯推理的規(guī)則改變?yōu)檠菟阋?guī)則，以便更精確更敏捷地進(jìn)行推理。（［1］，p．8）或者說(shuō)，“通用語(yǔ)言”是一套表達(dá)思想和事物的符號(hào)系統(tǒng)，利用這些符號(hào)可以進(jìn)行演算并推出各種知識(shí)。在《論組合術(shù)》中，二十歲的萊布尼茨曾立志要?jiǎng)?chuàng)設(shè)“一個(gè)一般的方法，在這個(gè)方法中所有推理的真實(shí)性都要簡(jiǎn)化為一種計(jì)算。同時(shí)，這會(huì)成為一種通用語(yǔ)言或文字，但與那些迄今為止設(shè)想出來(lái)的全然不同；因?yàn)樗锩娴姆?hào)甚至詞匯要指導(dǎo)推理；錯(cuò)誤，除去那些事實(shí)上的錯(cuò)誤，只會(huì)是計(jì)算上的錯(cuò)誤。形成或者發(fā)明這種語(yǔ)言或者記號(hào)會(huì)是非常困難的，但是可以不借助任何詞典就很容易懂得它?！保ǎ?］，p．123）在1679年9月8日給惠更斯的信中他又寫道，有一個(gè)“完全不同于代數(shù)的新符號(hào)語(yǔ)言，它對(duì)于精確而自然地在腦子里再現(xiàn)（不用圖形）依賴于想象的一切有很大的好處?！闹饕в迷谟谀軌蛲ㄟ^(guò)記號(hào)〔符號(hào)〕的運(yùn)算完成結(jié)論和推理，這些記號(hào)不經(jīng)過(guò)非常精細(xì)的推敲或使用大量的點(diǎn)和線會(huì)把它們混淆起來(lái)，因而不得不作出無(wú)窮多個(gè)無(wú)用的試驗(yàn)；另一方面，這個(gè)方法會(huì)確切而簡(jiǎn)單地導(dǎo)向〔所需要的〕結(jié)果。我相信力學(xué)差不多可以象幾何學(xué)一樣用這種方法去處理?！保ǎ?］，p．151～152）

綜合萊布尼茨零零碎碎的設(shè)想，他的宏偉規(guī)劃大體旨在創(chuàng)造兩種工具：其一是通用語(yǔ)言，其二是推理演算（calaulusratiocinator）。前者的主要使命是消除現(xiàn)存語(yǔ)言的局限性和不規(guī)則性，使新語(yǔ)言變成世界上人人會(huì)用的具有簡(jiǎn)明符號(hào)、合理規(guī)則的語(yǔ)言，規(guī)定符號(hào)的演變規(guī)則與運(yùn)算規(guī)則，使邏輯演變依照一條明確的道路進(jìn)行下去，進(jìn)而解決所有可用語(yǔ)言表達(dá)的問(wèn)題。

為此，萊布尼茨做了兩方面的努力：一是尋找能夠代表所有概念并可認(rèn)作最根本的不可分析的符號(hào)；二是給出表述諸如斷定、合取、析取、否定、全稱、特殊、條件聯(lián)結(jié)等形式概念的設(shè)計(jì)。關(guān)于第一方面，萊布尼茨首次設(shè)想用數(shù)目代表原初概念，而邏輯演算則用如同算術(shù)中的乘或除來(lái)代替。他認(rèn)為用這種數(shù)字的不同方式排列組合，進(jìn)行各種運(yùn)算，就可產(chǎn)生無(wú)窮多的復(fù)合概念。這一思想后來(lái)改進(jìn)為以素?cái)?shù)代表基本概念，而復(fù)合詞項(xiàng)即可借分解相應(yīng)的數(shù)字成為它們的素?cái)?shù)因子來(lái)加以分析。以“人是理智動(dòng)物”為例，用素?cái)?shù)“3”代表“動(dòng)物”、“5”代表“理智”，則“人”即以“15＝3．5”代表。為了更好地構(gòu)設(shè)“通用語(yǔ)言”，萊布尼茨又以設(shè)想的“人類概念字母表”為語(yǔ)言詞匯基礎(chǔ)創(chuàng)制了一些邏輯符號(hào)，如“∪”（并）、“∩”（交）等，一直沿用下來(lái)。

關(guān)于第二方面，萊布尼茨的工作大致可以1679、1686、1690三個(gè)年代為標(biāo)志劃分為三個(gè)階段。（［4］，pp．271～273）